Pallo

Ympyrän yhtälö on x^2 y^2=r^2
eli y=SQRT(r^2-x^2) välillä -r=

Yksi tapa on laskea integraali pallokoordinaatistossa. Tämä on vähän hämärän näköinen, jos pallokoordinaatisto ei ole tuttu, mutta näinkin sen saa.

Tilavuuden integraali on tietenkin yleisessä muodossa:
v=∫dV

sitten voidaan muistaa tai kuvia piirtelemällä päätellä, että pallokoordinaatistossa tilavuusalkio on:
dV=rdθrcos(θ)dφdr = r²cos(θ)dθdφ

sitten sijoitetaan integraaliin
∫dV=∫r²dr∫cos(θ)dθ∫dφ
(lasketaan nuo integraalit erikseen ja kerrotaan keskenään)

ja asetetaan pallon integrointirajoiksi
r=0..r, φ=0..2π ja θ=-π/2..π/2

sieltä se sitten tulee.

Integroimalla puoliympyrän pyörähdyskappaleen tilavuus.