Viitsisikö joku viisaampi kertoa, mitä tarkoittaa funktion tasainen jatkuvuus? Tarkka määritelmä ei oikein aukea. Jos joku osaisi sanoa asian hyvin yksinkertaisesti! Mulla tulee tasaisesta jatkuvuudesta mieleen tasainen kasvu/väheneminen, mutta ei ne taida olla sama asia...
Funkrtion tasainen jatkuvuus
puupää
172498
0Äänestä
Muut lukivat myös
Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastainen viesti.
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 17
Vanhimmat
f on jatkuva pisteessä x, joss kaikille epsilon > 0 on olemassa delta > 0 siten, että |f(x)-f(y)| < epsilon aina kun |x-y| < delta.
f on tasaisesti jatkuva, joss kaikille epsilon > 0 on olemassa delta > 0 siten, että |f(x)-f(y)| < epsilon aina kun |x-y| < delta.
Nuo on aika karkeasti tuossa yllä nyt, mutta idea on se, että tasaisessa jatkuvuudessa sama epsilon-delta-pari käy kaikille alkioille siinä joukossa, missä funktio on tasaisesti jatkuva.
Esimerkiksi suorat ovat tasaisesti jatkuvia R:ssä, mutta toisen asteen polynomi x^2 ei ole nimenomaan R:ssä (todistus harjoitustehtävä ;D ). Mutta kaikki jatkuvat funktiot taas ovat tasaisesti jatkuvia suljetuilla väleillä. Avoimilla väleillä (tai puoliavoimilla) ei näin välttämättä käy (miksi?).
"Mulla tulee tasaisesta jatkuvuudesta mieleen tasainen kasvu/väheneminen, mutta ei ne taida olla sama asia..."
Ei ole sama asia. Esim. suljetulla välillä jatkuva funktio ei välttämättä ole tasaisesti kasvava/vähenevä, mutta on aina tasaisesti jatkuva.
Kiitos vastauksesta! Täytyy vielä pureskella tota määritelmää...
Tämä jäi itseltäni aikanaan selvittämättä, joten opiskellaan yhdessä. Käytän A-universaali- ja E-eksistentiaalikvanttorina.
Olkoon D ja U jotkut R:n epätyhjät osajoukot (ei pisteitä). Olkoon f kuvaus D -> U. Nyt f on tasaisesti jatkuva jos (käytän normaalia metriikkaa (mikä se on virallisesti?))
A e>0 E d>0 A x,y in D: |x-y| < d => |f(x)-f(y)| < e
Hmm. Siis jokaiselle e on olemassa sellainen d, että kaikissa x ja y pätee, että jos |x-y| < d, niin |f(x) - f(y)| < e. Ok, tässä on siis kyse siitä, että d riippuu vain ja ainoastaan e:stä, sillä ei ole merkitystä missä tarkastelu tehdään (pisteet x ja y).
Nyt aina kun valitaan jotkin pisteet x ja y, niin voidaan olla varmoja, että funktion arvojet ko. pisteissä f(x) ja f(y) eivät eroa toisistaan kuin tietyn verran. Eli jos valitset pisteet x1 ja x2 ja eroitus |x1 - x2| on vaikkapa a, niin tasaisesti jatkuvan funktion f tapauksessa erotus |f(x1) - f(x2)| < g(a) missä g on jokin f:stä, mutta ei tutkintapaikasta riippuva funktio.
Suora y=2x on selvästi tasaisesti jatkuva. Nimittäin aina kun valitset pisteet x1 ja x2, joiden eroitus on, vaikkapa, 2, niin voit olla varma, että funktion y arvojen eroitus kyseisissä pisteissä on aina korkeintaan 4 eli kaksi kertaa pisteiden x1 ja x2 välinen etäisyys.
Eiköhän se noin mene. Viisaammat vielä varmistakoot.
Nähdäkseni ero normaaliin jatkuvuuteen on oikeastaan aika selkeä. Funktio on tasaisesti jatkuva *joukossa* kun normaali jatkuvuus on pisteittäistä. Siis normaali jatkuvuus pisteessä c määritellään:
A e>0 E d>0 (x in D ja |x - c| < d) -> |f(x)-f(c)| < e
Tässä tutkitaan jatkuvuutta pisteen c suhteen, eli joudutaan valitsemaan (tai saadaan valita) d paitsi e:n, niin myös c:n mukaan.
Osaisiko joku antaa esimerkin tasaisesti jatkuvasta, mutta ei jatkuvasta funktiosta? Näyttäisi, että tasainen jatkuvuus implikoi jatkuvuuden, mutta ei toisinpäin.
f: ]0,1] -> R, f(x) = 1/x
On jatkuva, muttei tasaisesti jatkuva.
Jos on f: ]0,1] -> R, f(x) = 1/x, niin esim. valitsemalla jotkin x1 ja x2 (ol. x2 > x1), niin'
|1/x1 - 1/x2| = |x2/x1x2-x1/x1x2| = |(x2-x1)/x1x2|.
Oletetaan nyt, että jokaiselle e > 0, on sellainen d, että kun |x2-x1| < d, niin |(x2-x1)/x1x2| < e. Jos x2=0.2 ja x1=0.1, niin |f(x1)-f(x2)| = |1/0.1 - 1/0.2| = 5 < 5.1. Nyt siis olisi olemassa sellainen d > 0, että kun |x1-x2| < d, niin |f(x1) - f(x2)| < 5.1.
Tutkitaan jotain väliä ja valitaan pisteet x ja y (y > x). Jos f(y)-f(x) = (y-x)/yx < 5.1 niin on jokin kiinteä d jolla em. ehto pätee. Koska y > x ja y - x < d, niin x > y - d ja y < x - d, jolloin f(y) - f(x) = (y-x)/yx > (y-y d)/yx = d/yx > d/x*(x-d) = d/(x^2 - xd) eli d/(x^2 - xd) < 5.1 josta d < 5.1*(x^2 - xd) = 5.1x^2 - 5.1xd, siis d < 5.1x^2 - 5.1xd -> 0 < 5.1x^2-5.1xd-d.
Nyt oikean puolen diskriminantti on 5.1^2d^2-4*5.1*d = d(5.1^2d - 20.4) joka on suurempi kuin nolla kun 5.1^2*d-20.4 > 0, eli d > 20.4/5.1^2 = 4*5.1/5.1^2 = 4/5.1 ~ 0.78 siis d > 0.79. Mutta selvästi jos x=0.001 ja y=0.9, niin |1/0.001 - 1/0.9| = |1000-10/9| > 5.1.
Huhhuh, olenpas ruosteessa. Voi olla väärinkin (merkkivirheen huomaan heti) ja vinoon ajateltu, vastuu on lukijalla.
Väite: Funktio f: ]0,1] -> R, f(x)=1/x ei ole tasaisesti jatkuva.
TOD:
Antiteesi: Onpas!
Valitaan epsilon = 1/2. Koska f oli tasaisesti jatkuva, niin on olemassa sellainen delta > 0, jolle
|f(x)-f(y)| < 1/2 aina, kun |x-y| < delta, missä x,y \in ]0,1].
Olkoon nyt x_n=1/n ja y_n=1/(n 1), missä n on kokonaisluku. Tällöin |x_n-y_n| = 1/[n(n 1)] -> 0, kun n kasvaa rajatta. Siis löydetään jokin riittävän suuri kokonaisluku n_delta, jolle |x_n-y_n| < delta, kun n > n_delta.
Tästä kuitenkin seuraa, että |f(x_n)-f(y_n)|=|n-n-1|=1 > epsilon, mikä on ristiriita => väite.
Valitaan edelleen e = 0.5. Nyt on olemassa sellainen d > 0, että kun |x - y| < d, niin |f(x) - f(y)| e, kaikilla n in N -> RR.
Eikö tuo riittäisi?
Jos ihan tarkkoja ollaan, niin pitäisi vielä mainita, että |x-y| < d, kun n > n_epsilon, missä n_epsilon löytyy, sillä |x-y| -> 0, kun n kasvaa rajatta.
täytyy myöntää etten vieläkään ymmärrä miksi tuo pitää todeta. Malttaisitko vääntää vähän rautalankaa?
f on tasaisesti jatkuva => Epsilonille e=1/2 löydetään delta > 0 siten, että |f(x)-f(y)| < e AINA, KUN |x-y| < delta.
Nimenomaan "AINA, KUN"! Tehtävänä antiteesissa on näyttää, että löydetään sellaiset x ja y, että |x-y| < delta, mutta onkin |f(x)-f(y)| >= e, mikä on vastoin tasaisen jatkuvuuden määritelmää. Tämän vuoksi tuo on tärkeä mainita. Toivottavasti asia selkeni?
Joo, nyt valkeni. Pitää siis todeta, että oli |x-y| mitä tahansa, niin ehto ei pidä. Jos |x-y|
Funktion jatkuvuus on pisteittäinen ominaisuus. Jos funktio on jatkuva jossain, siinä kohdassa ei ole hyppyä tai koloa. Tämä ei nyt ole tietenkään tarkasti sanottu.
Tasainen jatkuvuus on jonkin välin ominaisuus. Jotta funktio olisi tasaisesti jatkuva, pitää sen olla jatkuva joka pisteessä, eikä se saa zuumata äärettömyyksiin välin ääripisteissä. Taas olen epätarkka!
Tuolla olisi jo esimerkki, että 1/x ei ole tasaisesti jatkuva, kun vaikkapa lähestytään nollaa plussan puolelta. Jos ollaan tarpeeksi lähellä nollaa, voidaan hyvin pienellä x:n muutoksella muuttaa 1/x:n arvoa paljon. Silloin löytyy aina väli, joka kumoaa oletuksen, että pienellä välillä tapahtuu pieni muutos, mikä taas on epätarkka esitys määritelmästä.
http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi?category=2000000000000020&conference=4000000000000027&posting=22000000017524264
Tuossa on jukepuken todistus. Sitä kannattaa miettiä, selittelyni ovat vain pientä evästä.
Kiitos selventävästä kommentista. Kaipasin juuri tämän tyylistä kuvainnollista esimerkkiä. Nyt tasainen jatkuvuus tuntuu paljon ymmärrettävämmältä käsitteeltä.
Ymmärsin viestistäsi että et ymmärrä eroa tasaisen jatkuvuuden ja jatkuvuuden välillä. Niinpä koitan selittää sitä
Tasainen jatkuvuus tarkoittaa sitä, että (pieni) muutos muuttujan arvossa x vastaa pientä muutosta funktion arvossa f(x) ja LISÄKSI tämä muutos on riippumaton tarkastelupisteestä. Siis funktion arvon muutokset riippuvat vain x:n muutoksesta.
Esim affiini R^n:n funktio f(x)=(a^T)x b on tasaisesti jatkuva.(a^T tarkoittaa vektorin a transpoosia). R:ssä tämä on tuttu suora. Seuraa suoraan tasaisen jatkuvuuden määritelmästä, valitse deltaksi vain epsilon/(a^T):n normi ja sovella Caucy-Schwarzia, valittu delta ei selvästikään riipu tarkastelupisteestä.
Triviaali esimerkki funktiosta joka ei ole tasaisesti jatkuva on f(x)=1/x. Kun tarkastelupiste x lähenee nollaa niin funktion muutokset räjähtävät äärettömään.
Tasaisen jatkuvuuden käsite yleistyy myös yleisiin metrisiin avaruuksiin, jossa etäisyysmittana on yleinen metriikka. Määritelmä ei eroa R:n ja R^n:n tasaisen jatkuvuuden määritelmästä muutenkuin että itseiarvon (normin) sijaan käytetään yleistä metristä kuvausta
kauheen tarkka määritelmä, mut tasainen jatkuvuus tarkottaa suunnilleen sitä, että funktion derivaatta pysyy kaikkialla äärellisenä
Yritä kellua järvessä,jotta huomaat,jatkuuko
sinun funktioteoriasi.