Sattumanvarainen yhteensattuma

Sattuma voidaan todistaa hyvin yksinkertaisella kokeella: viskaamalla noppaa vaikkapa sata kertaa ja laskemalla lukemien keskiarvo. Lähes täysin varmasti se on lähellä lukemaa 3,5. Tämä johtuu siitä, että kun noppaa heitetään riittävän monta kertaa, sattumanvaraisuus ja todennäköisyys lähestyvät toisiaan.

Juuri koskaan heittosarjassa ei esiinny kaikkia numeroita yhtä paljon, vaikka heitettyjen noppien keskiarvo onkin sama tai lähelle sama kuin nopan silmien keskiarvo. Eikä varsinkaan numeroita esiinny samalla tavalla kahdessa sadan heiton sarjassa- sattuma työssään tässäkin.

Itse asiassa, heittämällä riittävän monta numerosarjaa nopalla, voitaisiin viimein havaita, että numerosarjatkin esiintyvät tietyllä säännönmukaisuudella, mutta silti mitenkään ei olisi mahdollista ennustaa edes sitä, mikä numero seuraavalla yhden nopan heitolla tulee. Tämä on ennustamaton tapahtuma on sattuma, sen olemassaolo on kiistämätön.

Mikäli sattumaa ei olisi, noppien arvo määräytyisi jollakin muulla tavalla (kohtalo?). Tällaista kohtalon voimaa ei ole millään mittarilla kuitenkaan kyetty mittaamaan.

Olet siis väärässä, nimenomaan sattuma on todistettu. Sen sijaan ennaltamääräytymistä ei ole kyetty ennustamaan, vaan vain sattumaan kahlittu keskiarvo monista tapahtumista.

"ilmeisesti usko sattumuksiinkin tuntee joitakin rajoja"

Sattuman rajat ovat yhtä kuin toteutuneet sattumat. Toteutumaton sattuma ei näet vaikuta mihinkään, eihän tuossa sattumanmahdollisuudessa määritettyä tapahtumaa, josta seuraisi jokin vaikutus maailmankaikkeuteen, koskaan tapahtunut.

Ei ole toteutunut sellaista sattumaa, jonka vaikutuksesta voisi muuttua kuolleesta ruumiista henkiolennoksi ja vielä moikkailla tuttuja viikkotolkulla jälkikäteen.

Kas näin kirjoitti:

Sattuma voidaan todistaa hyvin yksinkertaisella kokeella: viskaamalla noppaa vaikkapa sata kertaa ja laskemalla lukemien keskiarvo. Lähes täysin varmasti se on lähellä lukemaa 3,5. Tämä johtuu siitä, että kun noppaa heitetään riittävän monta kertaa, sattumanvaraisuus ja todennäköisyys lähestyvät toisiaan.

Juuri koskaan heittosarjassa ei esiinny kaikkia numeroita yhtä paljon, vaikka heitettyjen noppien keskiarvo onkin sama tai lähelle sama kuin nopan silmien keskiarvo. Eikä varsinkaan numeroita esiinny samalla tavalla kahdessa sadan heiton sarjassa- sattuma työssään tässäkin.

Itse asiassa, heittämällä riittävän monta numerosarjaa nopalla, voitaisiin viimein havaita, että numerosarjatkin esiintyvät tietyllä säännönmukaisuudella, mutta silti mitenkään ei olisi mahdollista ennustaa edes sitä, mikä numero seuraavalla yhden nopan heitolla tulee. Tämä on ennustamaton tapahtuma on sattuma, sen olemassaolo on kiistämätön.

Mikäli sattumaa ei olisi, noppien arvo määräytyisi jollakin muulla tavalla (kohtalo?). Tällaista kohtalon voimaa ei ole millään mittarilla kuitenkaan kyetty mittaamaan.

Olet siis väärässä, nimenomaan sattuma on todistettu. Sen sijaan ennaltamääräytymistä ei ole kyetty ennustamaan, vaan vain sattumaan kahlittu keskiarvo monista tapahtumista.

"ilmeisesti usko sattumuksiinkin tuntee joitakin rajoja"

Sattuman rajat ovat yhtä kuin toteutuneet sattumat. Toteutumaton sattuma ei näet vaikuta mihinkään, eihän tuossa sattumanmahdollisuudessa määritettyä tapahtumaa, josta seuraisi jokin vaikutus maailmankaikkeuteen, koskaan tapahtunut.

Ei ole toteutunut sellaista sattumaa, jonka vaikutuksesta voisi muuttua kuolleesta ruumiista henkiolennoksi ja vielä moikkailla tuttuja viikkotolkulla jälkikäteen.

Lue lisää

Edesmenneen tieteenhistorian ja -filosofian opettajani K.V. Laurikaisen hengessä olen hiukan eri mieltä.

Itse en pidä sattumaa todistettuna. Sellaisia ilmiöitä toki on, jotka nyt vaikuttavat ja lajimme olomassaolon aikana tulevat vaikuttamaankin satunnaisilta, mutta se, onko kyseessä aito sattuma, onkin jo monimutkaisempi juttu.

On selvä, että ihmiskunta katoaa jo kauan ennen kuin kaikista ilmiöistä tiedetään niin paljon, että ne kyetään selittämään puhtaasti matematiikan/fysiikan lakeja soveltaen, mutta sitä ennen moni nyt satunnaisena pidetty ilmiö on varmasti saanut selityksensä.

Mielestäni paremminkin vaikuttaa siltä, että kaikki ilmiöt ovat pohjimmiltaan selitettävissä, kunhan niihin vaikuttavista tekijöistä tiedetään riittävästi. Tuo *riittävästi* on tässä se avainsana.

Nopanheitto on tietysti meille satunnaiselta vaikuttava ja tuottaa meille arkitilanteessa ennalta-arvaamattomia tuloksia, mutta jos tilanne hallitaan täydellisesti, tilanne on toinen: esim. jos robotti heittää tunnetuissa olosuhteissa ominaisuuksiltaan tunnettua noppaa täsmälleen tietyllä voimalla tiettyyn suuntaan ja tunnettuun tilaan, niin lopputuloksen pitäisi olla jokaisella kerralla laskettavissa. "Sattuman" osuus ainakin minimoituisi tuolla järjestelyllä melkoisesti, ja jos tulos edelleen olisi odottamaton, niin tällöin on edelleenkin todennäköistä, että jokin vaikuttava tekijä on vain jäänyt huomioimatta - ei siitä, että tulos olisi sattumaa.

Olen kuullut väitteen, että kvanttimekaniikkaan ja elektronin olemukseen liittyy aitoa satunnaisuutta. Saattaa olla, en mene kieltämään, kun en kvanttimekaniikasta juuri mitään koskaan ole ymmärtänyt, mutta epäilenpä hiukan, että tässäkin tapauksessa kyse on tiedon puutteesta.

Saa korjata, jos olen väärässä.

illuminatus kirjoitti:

Edesmenneen tieteenhistorian ja -filosofian opettajani K.V. Laurikaisen hengessä olen hiukan eri mieltä.

Itse en pidä sattumaa todistettuna. Sellaisia ilmiöitä toki on, jotka nyt vaikuttavat ja lajimme olomassaolon aikana tulevat vaikuttamaankin satunnaisilta, mutta se, onko kyseessä aito sattuma, onkin jo monimutkaisempi juttu.

On selvä, että ihmiskunta katoaa jo kauan ennen kuin kaikista ilmiöistä tiedetään niin paljon, että ne kyetään selittämään puhtaasti matematiikan/fysiikan lakeja soveltaen, mutta sitä ennen moni nyt satunnaisena pidetty ilmiö on varmasti saanut selityksensä.

Mielestäni paremminkin vaikuttaa siltä, että kaikki ilmiöt ovat pohjimmiltaan selitettävissä, kunhan niihin vaikuttavista tekijöistä tiedetään riittävästi. Tuo *riittävästi* on tässä se avainsana.

Nopanheitto on tietysti meille satunnaiselta vaikuttava ja tuottaa meille arkitilanteessa ennalta-arvaamattomia tuloksia, mutta jos tilanne hallitaan täydellisesti, tilanne on toinen: esim. jos robotti heittää tunnetuissa olosuhteissa ominaisuuksiltaan tunnettua noppaa täsmälleen tietyllä voimalla tiettyyn suuntaan ja tunnettuun tilaan, niin lopputuloksen pitäisi olla jokaisella kerralla laskettavissa. "Sattuman" osuus ainakin minimoituisi tuolla järjestelyllä melkoisesti, ja jos tulos edelleen olisi odottamaton, niin tällöin on edelleenkin todennäköistä, että jokin vaikuttava tekijä on vain jäänyt huomioimatta - ei siitä, että tulos olisi sattumaa.

Olen kuullut väitteen, että kvanttimekaniikkaan ja elektronin olemukseen liittyy aitoa satunnaisuutta. Saattaa olla, en mene kieltämään, kun en kvanttimekaniikasta juuri mitään koskaan ole ymmärtänyt, mutta epäilenpä hiukan, että tässäkin tapauksessa kyse on tiedon puutteesta.

Saa korjata, jos olen väärässä.

Lue lisää

Muistan, kun joskus teinipoikana riideltiin kaverin kanssa, voiko nuppineulan terän huipun mitata. Aina voidaan mitata tarkemmin, mutta aina voidaan myös siirtää vaadittua mittaustarkkuutta suuremmaksi, kuin mihin sen hetkinen tarkin mittari kykenee.

Mutta jos asetamme terän kärjelle esineen, huomaamme heti, oliko se keskellä vai ei, sillä hiukankin vinossa oleva esinen tietysti putoaa.

Nyt, jos teemme tämän tuhat kertaa, ja katsomme mihin suuntaan esine kullakin kerralla kaatui, ja korjaamme joka kerta esineen asentoa kohti tasapainoa, saamme aina vain tarkemmin tietää, missä kohdassa keskipiste on. Huomaamme samalla, että esineen kaaatumissuuntien keskiarvo lähestyy koko ajan toisiaan. Havaitsemme siis säännönmukaisuutta. Mutta tasapainon parantuessa kykymme ennustaa, mihin suuntaan esine seuraavalla kerralla kaatuu, päinvastoin heikkenee.

Väitän, että kaatumissuunnan ennustaminen on sitä vaikeampaa, mitä *paremmin* suuntaan vaikuttavat voimat otetaan huomioon.

illuminatus kirjoitti:

Edesmenneen tieteenhistorian ja -filosofian opettajani K.V. Laurikaisen hengessä olen hiukan eri mieltä.

Itse en pidä sattumaa todistettuna. Sellaisia ilmiöitä toki on, jotka nyt vaikuttavat ja lajimme olomassaolon aikana tulevat vaikuttamaankin satunnaisilta, mutta se, onko kyseessä aito sattuma, onkin jo monimutkaisempi juttu.

On selvä, että ihmiskunta katoaa jo kauan ennen kuin kaikista ilmiöistä tiedetään niin paljon, että ne kyetään selittämään puhtaasti matematiikan/fysiikan lakeja soveltaen, mutta sitä ennen moni nyt satunnaisena pidetty ilmiö on varmasti saanut selityksensä.

Mielestäni paremminkin vaikuttaa siltä, että kaikki ilmiöt ovat pohjimmiltaan selitettävissä, kunhan niihin vaikuttavista tekijöistä tiedetään riittävästi. Tuo *riittävästi* on tässä se avainsana.

Nopanheitto on tietysti meille satunnaiselta vaikuttava ja tuottaa meille arkitilanteessa ennalta-arvaamattomia tuloksia, mutta jos tilanne hallitaan täydellisesti, tilanne on toinen: esim. jos robotti heittää tunnetuissa olosuhteissa ominaisuuksiltaan tunnettua noppaa täsmälleen tietyllä voimalla tiettyyn suuntaan ja tunnettuun tilaan, niin lopputuloksen pitäisi olla jokaisella kerralla laskettavissa. "Sattuman" osuus ainakin minimoituisi tuolla järjestelyllä melkoisesti, ja jos tulos edelleen olisi odottamaton, niin tällöin on edelleenkin todennäköistä, että jokin vaikuttava tekijä on vain jäänyt huomioimatta - ei siitä, että tulos olisi sattumaa.

Olen kuullut väitteen, että kvanttimekaniikkaan ja elektronin olemukseen liittyy aitoa satunnaisuutta. Saattaa olla, en mene kieltämään, kun en kvanttimekaniikasta juuri mitään koskaan ole ymmärtänyt, mutta epäilenpä hiukan, että tässäkin tapauksessa kyse on tiedon puutteesta.

Saa korjata, jos olen väärässä.

Lue lisää

Kun Gödel osoitti, ettei matemaattinen järjestelmä voi muodostua pelkästään todistetuista lauseista, vaan aina tarvitaan todistamattomia aksioomia, minusta tämä voitaneen yleistää myös fysikaalisiin järjestelmiin, esim. luonnontieteisiin.

Siis luonnontieteellistä järjestelmää ei voida rakentaa pelkästään havaintojen tai faktojen varaan, vai aina jää myös joitakin todistamattomia lähtökohtia jäljelle.

Sattuma on nähdäkseni tämmöinen "tietämättömyyden kaatopaikka". Näppärä käsite, joka auttaa eteenpäin niin ettei tarvitse juuttua yhden kohdan tietämättömyyteen. Kvanttifysiikan sattuma ei tässä eroa mitenkään muusta sattumasta, paitsi ehkä siten, että jotkut Heisenbergin epätarkkuusperiaatteet yms. ovat "varmistamassa", ettemme koskaan tule tietämäänkään. Monesta muusta satunnaisuudestahan tätä ei voida sanoa, kuten nyt vaikka ruletin kuulan "satunnaisesta" poukkoilusta.

Luoja on sitten myös tieteen keinoin todistamaton lähtökohta (esim. uskontunnustuksissa mainittu). Usko Luojaan ei välttämättä sulje pois uskoa sattumaan (leipuri ja rusinapulla), mutta ehkä vähentää sattuman "tarvetta". Tai voidaan sanoa, että sattuma on inhimillinen näkökulma tähän maailman "rusinapullaan".

Menisin siis melkeinpä väitämään, että voidaan todistaa, ettei sattuman olemassaoloa voida todistaa. Avaa melkoiset "uskon" näköalat ateismin suuntaan (-;

Kas näin kirjoitti:

Sattuma voidaan todistaa hyvin yksinkertaisella kokeella: viskaamalla noppaa vaikkapa sata kertaa ja laskemalla lukemien keskiarvo. Lähes täysin varmasti se on lähellä lukemaa 3,5. Tämä johtuu siitä, että kun noppaa heitetään riittävän monta kertaa, sattumanvaraisuus ja todennäköisyys lähestyvät toisiaan.

Juuri koskaan heittosarjassa ei esiinny kaikkia numeroita yhtä paljon, vaikka heitettyjen noppien keskiarvo onkin sama tai lähelle sama kuin nopan silmien keskiarvo. Eikä varsinkaan numeroita esiinny samalla tavalla kahdessa sadan heiton sarjassa- sattuma työssään tässäkin.

Itse asiassa, heittämällä riittävän monta numerosarjaa nopalla, voitaisiin viimein havaita, että numerosarjatkin esiintyvät tietyllä säännönmukaisuudella, mutta silti mitenkään ei olisi mahdollista ennustaa edes sitä, mikä numero seuraavalla yhden nopan heitolla tulee. Tämä on ennustamaton tapahtuma on sattuma, sen olemassaolo on kiistämätön.

Mikäli sattumaa ei olisi, noppien arvo määräytyisi jollakin muulla tavalla (kohtalo?). Tällaista kohtalon voimaa ei ole millään mittarilla kuitenkaan kyetty mittaamaan.

Olet siis väärässä, nimenomaan sattuma on todistettu. Sen sijaan ennaltamääräytymistä ei ole kyetty ennustamaan, vaan vain sattumaan kahlittu keskiarvo monista tapahtumista.

"ilmeisesti usko sattumuksiinkin tuntee joitakin rajoja"

Sattuman rajat ovat yhtä kuin toteutuneet sattumat. Toteutumaton sattuma ei näet vaikuta mihinkään, eihän tuossa sattumanmahdollisuudessa määritettyä tapahtumaa, josta seuraisi jokin vaikutus maailmankaikkeuteen, koskaan tapahtunut.

Ei ole toteutunut sellaista sattumaa, jonka vaikutuksesta voisi muuttua kuolleesta ruumiista henkiolennoksi ja vielä moikkailla tuttuja viikkotolkulla jälkikäteen.

Lue lisää

Kas näin(aiemmin):[Tämä sattumateoria on pätevämpi kuin ID, sillä se ei vaadi suunnittelijaolentoa ...]
Sitten kun otat noppaesimerkin, unohdat mainita, että noppa on huolellisesti suunniteltu antamaan tasainen jakauma. Eli et ole poistanut suunnittelijaolentoa, ainoastaan piilottanut (-;

Muutoin sattuman on sellainen "jäännösselitys", että kaikki muut selitykset pitäisi ensin saada poistettua.

Eli jos meillä on nopan (tai minkä tahansa "sattumageneraattorin") tuottama merkkijono, tulokset tms niin siitä jonosta pitäisi pystyä osoittamaan, ettei sitä ole voinut tuottaa mikään muu kuin sattuma. Ja tätähän ei pystytä tekemään. Voitko väittää, ettei silmälukuja 1,1,3,2,6 voisi saada muutenkin kuin "sattumalta"?

En siis pidä todistustasi sattuman olemassaolosta mitenkään pätevänä tai suunnittelua poissulkevana. Sattumaan nimenomaan uskotaan ja se monasti kätevääkin.

Kas näin kirjoitti:

Muistan, kun joskus teinipoikana riideltiin kaverin kanssa, voiko nuppineulan terän huipun mitata. Aina voidaan mitata tarkemmin, mutta aina voidaan myös siirtää vaadittua mittaustarkkuutta suuremmaksi, kuin mihin sen hetkinen tarkin mittari kykenee.

Mutta jos asetamme terän kärjelle esineen, huomaamme heti, oliko se keskellä vai ei, sillä hiukankin vinossa oleva esinen tietysti putoaa.

Nyt, jos teemme tämän tuhat kertaa, ja katsomme mihin suuntaan esine kullakin kerralla kaatui, ja korjaamme joka kerta esineen asentoa kohti tasapainoa, saamme aina vain tarkemmin tietää, missä kohdassa keskipiste on. Huomaamme samalla, että esineen kaaatumissuuntien keskiarvo lähestyy koko ajan toisiaan. Havaitsemme siis säännönmukaisuutta. Mutta tasapainon parantuessa kykymme ennustaa, mihin suuntaan esine seuraavalla kerralla kaatuu, päinvastoin heikkenee.

Väitän, että kaatumissuunnan ennustaminen on sitä vaikeampaa, mitä *paremmin* suuntaan vaikuttavat voimat otetaan huomioon.

Lue lisää

Tässä meillä on jälleen kysymys, joka tullee säilymään avoimena niin kauan kuin meissä henki pihisee :)

Tietenkin on selvä, että meillä on läjittäin ilmiöitä, joiden satunnaisuus vaikuttaa kiistattomalta, mutta ovatko ne loppupeleissä sitä on toinen asia.

Rehellisyyden nimissä vertaapa kysymystä sattuman olemassaolosta vaikka ID-kreationistien väitteisiin jonkun ilmiön suunnittelusta: mistä suunnittelun tunnistaa vs. mistä sattuman tunnistaa?

>>Väitän, että kaatumissuunnan ennustaminen on sitä vaikeampaa, mitä *paremmin* suuntaan vaikuttavat voimat otetaan huomioon.

tuttumies kirjoitti:

Kun Gödel osoitti, ettei matemaattinen järjestelmä voi muodostua pelkästään todistetuista lauseista, vaan aina tarvitaan todistamattomia aksioomia, minusta tämä voitaneen yleistää myös fysikaalisiin järjestelmiin, esim. luonnontieteisiin.

Siis luonnontieteellistä järjestelmää ei voida rakentaa pelkästään havaintojen tai faktojen varaan, vai aina jää myös joitakin todistamattomia lähtökohtia jäljelle.

Sattuma on nähdäkseni tämmöinen "tietämättömyyden kaatopaikka". Näppärä käsite, joka auttaa eteenpäin niin ettei tarvitse juuttua yhden kohdan tietämättömyyteen. Kvanttifysiikan sattuma ei tässä eroa mitenkään muusta sattumasta, paitsi ehkä siten, että jotkut Heisenbergin epätarkkuusperiaatteet yms. ovat "varmistamassa", ettemme koskaan tule tietämäänkään. Monesta muusta satunnaisuudestahan tätä ei voida sanoa, kuten nyt vaikka ruletin kuulan "satunnaisesta" poukkoilusta.

Luoja on sitten myös tieteen keinoin todistamaton lähtökohta (esim. uskontunnustuksissa mainittu). Usko Luojaan ei välttämättä sulje pois uskoa sattumaan (leipuri ja rusinapulla), mutta ehkä vähentää sattuman "tarvetta". Tai voidaan sanoa, että sattuma on inhimillinen näkökulma tähän maailman "rusinapullaan".

Menisin siis melkeinpä väitämään, että voidaan todistaa, ettei sattuman olemassaoloa voida todistaa. Avaa melkoiset "uskon" näköalat ateismin suuntaan (-;

Lue lisää

>>Kun Gödel osoitti, ettei matemaattinen järjestelmä voi muodostua pelkästään todistetuista lauseista, vaan aina tarvitaan todistamattomia aksioomia, minusta tämä voitaneen yleistää myös fysikaalisiin järjestelmiin, esim. luonnontieteisiin.Siis luonnontieteellistä järjestelmää ei voida rakentaa pelkästään havaintojen tai faktojen varaan, vai aina jää myös joitakin todistamattomia lähtökohtia jäljelle.>Sattuma on nähdäkseni tämmöinen "tietämättömyyden kaatopaikka". Näppärä käsite, joka auttaa eteenpäin niin ettei tarvitse juuttua yhden kohdan tietämättömyyteen.> Kvanttifysiikan sattuma ei tässä eroa mitenkään muusta sattumasta, paitsi ehkä siten, että jotkut Heisenbergin epätarkkuusperiaatteet yms. ovat "varmistamassa", ettemme koskaan tule tietämäänkään. Monesta muusta satunnaisuudestahan tätä ei voida sanoa, kuten nyt vaikka ruletin kuulan "satunnaisesta" poukkoilusta.>Luoja on sitten myös tieteen keinoin todistamaton lähtökohta (esim. uskontunnustuksissa mainittu). Usko Luojaan ei välttämättä sulje pois uskoa sattumaan (leipuri ja rusinapulla), mutta ehkä vähentää sattuman "tarvetta". Tai voidaan sanoa, että sattuma on inhimillinen näkökulma tähän maailman "rusinapullaan".>Menisin siis melkeinpä väitämään, että voidaan todistaa, ettei sattuman olemassaoloa voida todistaa. Avaa melkoiset "uskon" näköalat ateismin suuntaan (-;

illuminatus kirjoitti:

>>Kun Gödel osoitti, ettei matemaattinen järjestelmä voi muodostua pelkästään todistetuista lauseista, vaan aina tarvitaan todistamattomia aksioomia, minusta tämä voitaneen yleistää myös fysikaalisiin järjestelmiin, esim. luonnontieteisiin.Siis luonnontieteellistä järjestelmää ei voida rakentaa pelkästään havaintojen tai faktojen varaan, vai aina jää myös joitakin todistamattomia lähtökohtia jäljelle.>Sattuma on nähdäkseni tämmöinen "tietämättömyyden kaatopaikka". Näppärä käsite, joka auttaa eteenpäin niin ettei tarvitse juuttua yhden kohdan tietämättömyyteen.> Kvanttifysiikan sattuma ei tässä eroa mitenkään muusta sattumasta, paitsi ehkä siten, että jotkut Heisenbergin epätarkkuusperiaatteet yms. ovat "varmistamassa", ettemme koskaan tule tietämäänkään. Monesta muusta satunnaisuudestahan tätä ei voida sanoa, kuten nyt vaikka ruletin kuulan "satunnaisesta" poukkoilusta.>Luoja on sitten myös tieteen keinoin todistamaton lähtökohta (esim. uskontunnustuksissa mainittu). Usko Luojaan ei välttämättä sulje pois uskoa sattumaan (leipuri ja rusinapulla), mutta ehkä vähentää sattuman "tarvetta". Tai voidaan sanoa, että sattuma on inhimillinen näkökulma tähän maailman "rusinapullaan".>Menisin siis melkeinpä väitämään, että voidaan todistaa, ettei sattuman olemassaoloa voida todistaa. Avaa melkoiset "uskon" näköalat ateismin suuntaan (-;

Lue lisää

Olemme nyt päässeet eräässä asiassa vaarallisen lähelle yksimielisyyttä. Ei kerrota ainakaan tästä kenellekään, ettei tule mitään pahoja puheita sopupeleista tms. (-;

tuttumies kirjoitti:

Olemme nyt päässeet eräässä asiassa vaarallisen lähelle yksimielisyyttä. Ei kerrota ainakaan tästä kenellekään, ettei tule mitään pahoja puheita sopupeleista tms. (-;

Rasti seinään :)

tuttumies kirjoitti:

Kun Gödel osoitti, ettei matemaattinen järjestelmä voi muodostua pelkästään todistetuista lauseista, vaan aina tarvitaan todistamattomia aksioomia, minusta tämä voitaneen yleistää myös fysikaalisiin järjestelmiin, esim. luonnontieteisiin.

Siis luonnontieteellistä järjestelmää ei voida rakentaa pelkästään havaintojen tai faktojen varaan, vai aina jää myös joitakin todistamattomia lähtökohtia jäljelle.

Sattuma on nähdäkseni tämmöinen "tietämättömyyden kaatopaikka". Näppärä käsite, joka auttaa eteenpäin niin ettei tarvitse juuttua yhden kohdan tietämättömyyteen. Kvanttifysiikan sattuma ei tässä eroa mitenkään muusta sattumasta, paitsi ehkä siten, että jotkut Heisenbergin epätarkkuusperiaatteet yms. ovat "varmistamassa", ettemme koskaan tule tietämäänkään. Monesta muusta satunnaisuudestahan tätä ei voida sanoa, kuten nyt vaikka ruletin kuulan "satunnaisesta" poukkoilusta.

Luoja on sitten myös tieteen keinoin todistamaton lähtökohta (esim. uskontunnustuksissa mainittu). Usko Luojaan ei välttämättä sulje pois uskoa sattumaan (leipuri ja rusinapulla), mutta ehkä vähentää sattuman "tarvetta". Tai voidaan sanoa, että sattuma on inhimillinen näkökulma tähän maailman "rusinapullaan".

Menisin siis melkeinpä väitämään, että voidaan todistaa, ettei sattuman olemassaoloa voida todistaa. Avaa melkoiset "uskon" näköalat ateismin suuntaan (-;

Lue lisää

"Kun Gödel osoitti, ettei matemaattinen järjestelmä voi muodostua pelkästään todistetuista lauseista, vaan aina tarvitaan todistamattomia aksioomia, minusta tämä voitaneen yleistää myös fysikaalisiin järjestelmiin, esim. luonnontieteisiin."

Missäköhän Gödel näin todisti? Ettet vain olisi ymmärtänyt väärin Gödelin epätäydellisyyslauseiden sisältöä?

tuttumies kirjoitti:

Kas näin(aiemmin):[Tämä sattumateoria on pätevämpi kuin ID, sillä se ei vaadi suunnittelijaolentoa ...]
Sitten kun otat noppaesimerkin, unohdat mainita, että noppa on huolellisesti suunniteltu antamaan tasainen jakauma. Eli et ole poistanut suunnittelijaolentoa, ainoastaan piilottanut (-;

Muutoin sattuman on sellainen "jäännösselitys", että kaikki muut selitykset pitäisi ensin saada poistettua.

Eli jos meillä on nopan (tai minkä tahansa "sattumageneraattorin") tuottama merkkijono, tulokset tms niin siitä jonosta pitäisi pystyä osoittamaan, ettei sitä ole voinut tuottaa mikään muu kuin sattuma. Ja tätähän ei pystytä tekemään. Voitko väittää, ettei silmälukuja 1,1,3,2,6 voisi saada muutenkin kuin "sattumalta"?

En siis pidä todistustasi sattuman olemassaolosta mitenkään pätevänä tai suunnittelua poissulkevana. Sattumaan nimenomaan uskotaan ja se monasti kätevääkin.

Lue lisää

Satunnaisuutta ei voi todistaa. Tästä on varsin hyvä artikkeli verkossa:
http://www.umcs.maine.edu/~chaitin/sciamer.html

Satunnaisuutta tai informaation määrää on vaikea mitata edes yksinkertaisissa tapauksissa:
http://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_complexity

Näiden pohjalta puheet esimerkiksi DNA:n informaatiosisällön mittaamisesta ovat aika pehmeää tavaraa, kun Kolmogorovin kompleksisuus voidaan matemaattisesti todistaa suureeksi, joka ei ole laskettavissa (uncomputable).

Kas näin kirjoitti:

Muistan, kun joskus teinipoikana riideltiin kaverin kanssa, voiko nuppineulan terän huipun mitata. Aina voidaan mitata tarkemmin, mutta aina voidaan myös siirtää vaadittua mittaustarkkuutta suuremmaksi, kuin mihin sen hetkinen tarkin mittari kykenee.

Mutta jos asetamme terän kärjelle esineen, huomaamme heti, oliko se keskellä vai ei, sillä hiukankin vinossa oleva esinen tietysti putoaa.

Nyt, jos teemme tämän tuhat kertaa, ja katsomme mihin suuntaan esine kullakin kerralla kaatui, ja korjaamme joka kerta esineen asentoa kohti tasapainoa, saamme aina vain tarkemmin tietää, missä kohdassa keskipiste on. Huomaamme samalla, että esineen kaaatumissuuntien keskiarvo lähestyy koko ajan toisiaan. Havaitsemme siis säännönmukaisuutta. Mutta tasapainon parantuessa kykymme ennustaa, mihin suuntaan esine seuraavalla kerralla kaatuu, päinvastoin heikkenee.

Väitän, että kaatumissuunnan ennustaminen on sitä vaikeampaa, mitä *paremmin* suuntaan vaikuttavat voimat otetaan huomioon.

Lue lisää

Itse itseäni korjaten:

"kaatumissuunnan ennustaminen on sitä vaikeampaa, mitä *paremmin* suuntaan vaikuttavat voimat otetaan huomioon"

Mitä keskemmäksi esinettä siirretään nuppineulan kärjellä, sitä huonommin sen tasapainoon, esim. kaatumiseen vasemmalle vai oikealle, vaikuttaavat voimat tunnetaan, sillä niiden erot heikkenevät, ja katoavat lopulta mittauskyvyn ulottumattomiin. Siis korjaamalla paikkaa vaikuttavia voimia ei tiedetäkään paremmin vaan huonommin, siitä ennustamisen vaikeus johtuukin :)

Sori, oma moka :)

Kas näin kirjoitti:

Itse itseäni korjaten:

"kaatumissuunnan ennustaminen on sitä vaikeampaa, mitä *paremmin* suuntaan vaikuttavat voimat otetaan huomioon"

Mitä keskemmäksi esinettä siirretään nuppineulan kärjellä, sitä huonommin sen tasapainoon, esim. kaatumiseen vasemmalle vai oikealle, vaikuttaavat voimat tunnetaan, sillä niiden erot heikkenevät, ja katoavat lopulta mittauskyvyn ulottumattomiin. Siis korjaamalla paikkaa vaikuttavia voimia ei tiedetäkään paremmin vaan huonommin, siitä ennustamisen vaikeus johtuukin :)

Sori, oma moka :)

Lue lisää

#"kaatumissuunnan ennustaminen on sitä vaikeampaa, mitä *paremmin* suuntaan vaikuttavat voimat otetaan huomioon"#

Oli joskus TKK:lla kvanttimekaniikassa tenttitehtävinä:

- Pallo pomppii toisen päällä. Koska se putoaa?

- Kynä seisoo kärjellään. Koska se kaatuu?

Varsinkin tuo eka on mukava...

putoaa? kirjoitti:

#"kaatumissuunnan ennustaminen on sitä vaikeampaa, mitä *paremmin* suuntaan vaikuttavat voimat otetaan huomioon"#

Oli joskus TKK:lla kvanttimekaniikassa tenttitehtävinä:

- Pallo pomppii toisen päällä. Koska se putoaa?

- Kynä seisoo kärjellään. Koska se kaatuu?

Varsinkin tuo eka on mukava...

Lue lisää

>>Oli joskus TKK:lla kvanttimekaniikassa tenttitehtävinä:
- Pallo pomppii toisen päällä. Koska se putoaa?
- Kynä seisoo kärjellään. Koska se kaatuu?

illuminatus kirjoitti:

>>Oli joskus TKK:lla kvanttimekaniikassa tenttitehtävinä:
- Pallo pomppii toisen päällä. Koska se putoaa?
- Kynä seisoo kärjellään. Koska se kaatuu?

Ekaan näistä laskuharjoitusten assari käytti muistaakseni yli 17 A4 - sivua tiukkaa vääntöä ennen kuin antoi periksi. Sai jonkun lopputuloksen, josta totesi prujussa että tulos on todennäköisesti väärä. Pallon kaareva pinta tekee matematiikasta mielenkiintoista tokan vuoden korkeakouluopiskelijalle.

Tehtävä esiteltiin pelotteena kvantin laskareissa ja se ilmaantui säännöllisesti tentteihin. Kaikki siis suorittivat kurssin välikokeilla. Välikokeet kuuluvat laskuharjoitusassistentin korjattavaksi, tentit olisi joutunut tarkistamaan kurssin luennoitsija ;=)

Oikeat vastaukset saat itse laskea tai kysellä Juhani Kurkijärveltä. Fiksu mies mutta oletti opiskelijoidensa tekevän työtä arvosanojen eteen...

Lähtökohta on joka tapauksessa Heisenbergin epätarkkuusperiaate, josta saadaan suuruusluokka pallon satunnaiselle sivusuuntaiselle liikemäärälle ja sivusuutaiselle paikalle. Kun tiedetään että pallo hyppelehtii sivusuunnassa niin riittävän pitkän ajan kuluessa satunnaisliike vie kontaktipisteen kaarevan pinnan riittävästi alaspäin viettävälle alueelle, jolloin siitä aiheutuva sivuttaisen voiman komponentti alkaa hiljakseen siirtää palloa reunaa kohti.

The derivation of an exact formula is left as a trivial exercise for the interested student.

ja kommentti kirjoitti:

Ekaan näistä laskuharjoitusten assari käytti muistaakseni yli 17 A4 - sivua tiukkaa vääntöä ennen kuin antoi periksi. Sai jonkun lopputuloksen, josta totesi prujussa että tulos on todennäköisesti väärä. Pallon kaareva pinta tekee matematiikasta mielenkiintoista tokan vuoden korkeakouluopiskelijalle.

Tehtävä esiteltiin pelotteena kvantin laskareissa ja se ilmaantui säännöllisesti tentteihin. Kaikki siis suorittivat kurssin välikokeilla. Välikokeet kuuluvat laskuharjoitusassistentin korjattavaksi, tentit olisi joutunut tarkistamaan kurssin luennoitsija ;=)

Oikeat vastaukset saat itse laskea tai kysellä Juhani Kurkijärveltä. Fiksu mies mutta oletti opiskelijoidensa tekevän työtä arvosanojen eteen...

Lähtökohta on joka tapauksessa Heisenbergin epätarkkuusperiaate, josta saadaan suuruusluokka pallon satunnaiselle sivusuuntaiselle liikemäärälle ja sivusuutaiselle paikalle. Kun tiedetään että pallo hyppelehtii sivusuunnassa niin riittävän pitkän ajan kuluessa satunnaisliike vie kontaktipisteen kaarevan pinnan riittävästi alaspäin viettävälle alueelle, jolloin siitä aiheutuva sivuttaisen voiman komponentti alkaa hiljakseen siirtää palloa reunaa kohti.

The derivation of an exact formula is left as a trivial exercise for the interested student.

Lue lisää

>>Lähtökohta on joka tapauksessa Heisenbergin epätarkkuusperiaate, josta saadaan suuruusluokka pallon satunnaiselle sivusuuntaiselle liikemäärälle ja sivusuutaiselle paikalle. Kun tiedetään että pallo hyppelehtii sivusuunnassa niin riittävän pitkän ajan kuluessa satunnaisliike vie kontaktipisteen kaarevan pinnan riittävästi alaspäin viettävälle alueelle, jolloin siitä aiheutuva sivuttaisen voiman komponentti alkaa hiljakseen siirtää palloa reunaa kohti.

ja kommentti kirjoitti:

Ekaan näistä laskuharjoitusten assari käytti muistaakseni yli 17 A4 - sivua tiukkaa vääntöä ennen kuin antoi periksi. Sai jonkun lopputuloksen, josta totesi prujussa että tulos on todennäköisesti väärä. Pallon kaareva pinta tekee matematiikasta mielenkiintoista tokan vuoden korkeakouluopiskelijalle.

Tehtävä esiteltiin pelotteena kvantin laskareissa ja se ilmaantui säännöllisesti tentteihin. Kaikki siis suorittivat kurssin välikokeilla. Välikokeet kuuluvat laskuharjoitusassistentin korjattavaksi, tentit olisi joutunut tarkistamaan kurssin luennoitsija ;=)

Oikeat vastaukset saat itse laskea tai kysellä Juhani Kurkijärveltä. Fiksu mies mutta oletti opiskelijoidensa tekevän työtä arvosanojen eteen...

Lähtökohta on joka tapauksessa Heisenbergin epätarkkuusperiaate, josta saadaan suuruusluokka pallon satunnaiselle sivusuuntaiselle liikemäärälle ja sivusuutaiselle paikalle. Kun tiedetään että pallo hyppelehtii sivusuunnassa niin riittävän pitkän ajan kuluessa satunnaisliike vie kontaktipisteen kaarevan pinnan riittävästi alaspäin viettävälle alueelle, jolloin siitä aiheutuva sivuttaisen voiman komponentti alkaa hiljakseen siirtää palloa reunaa kohti.

The derivation of an exact formula is left as a trivial exercise for the interested student.

Lue lisää

"Oikeat vastaukset saat itse laskea tai kysellä Juhani Kurkijärveltä"
Valitettavasti Juhanilta ei voi enää kysyä mitään.. RIP

Gödelin haamu kirjoitti:

"Kun Gödel osoitti, ettei matemaattinen järjestelmä voi muodostua pelkästään todistetuista lauseista, vaan aina tarvitaan todistamattomia aksioomia, minusta tämä voitaneen yleistää myös fysikaalisiin järjestelmiin, esim. luonnontieteisiin."

Missäköhän Gödel näin todisti? Ettet vain olisi ymmärtänyt väärin Gödelin epätäydellisyyslauseiden sisältöä?

Lue lisää

Timo Tossavainen:[...että logiikan ja ylipäätänsä ihmisten ajattelun epätäydellisyyden takia (vrt. kuuluisa Gödelin epätäydellisyyslause, esim. Väänänen 1987) minkä tahansa epätriviaalin teorian alaan intuitiivisesti kuuluvien kaikkien väitteiden totuusarvoa ei pystytä edes periaatteessa selvittämään pelkästään kyseisen aksioomajärjestelmän sisällä. Esimerkiksi kokonaislukujen teoria on tällä tavalla epätäydellinen.]
http://sokl.joensuu.fi/verkkojulkaisut/tutkivaope/tossavainen.htm

Se, että minä olen mahdollisesti ymmärtänyt väärin Gödelin, ei ole sinänsä mikään ihme. Enemmistö ihmiskunnasta ei joka tapauksessa ole ymmärtänyt häntä. (-;

tuttumies kirjoitti:

Timo Tossavainen:[...että logiikan ja ylipäätänsä ihmisten ajattelun epätäydellisyyden takia (vrt. kuuluisa Gödelin epätäydellisyyslause, esim. Väänänen 1987) minkä tahansa epätriviaalin teorian alaan intuitiivisesti kuuluvien kaikkien väitteiden totuusarvoa ei pystytä edes periaatteessa selvittämään pelkästään kyseisen aksioomajärjestelmän sisällä. Esimerkiksi kokonaislukujen teoria on tällä tavalla epätäydellinen.]
http://sokl.joensuu.fi/verkkojulkaisut/tutkivaope/tossavainen.htm

Se, että minä olen mahdollisesti ymmärtänyt väärin Gödelin, ei ole sinänsä mikään ihme. Enemmistö ihmiskunnasta ei joka tapauksessa ole ymmärtänyt häntä. (-;

Lue lisää

Olen melko varma että tuon voisi muotoilla vielä muutamaa pykälää paremmin. Tuollaisenaan koko väittämä on tyhjä: Matemaattiset aksioomathan ovat perusta jolla koko matematiikka lepää, ja tuo perusta on myös abstrakti ja perustuu lukusuhteiden jäsentelyyn. Ei ole olemassa edes teoreettista universumia, jossa 1 1 ei olisi 2. Ainoa mikä näitä sääntöjä voi repiä rikki on tarkastelun kohteen muuttaminen kesken laskun. Puhdas matematiikka ei kuitenkaan ole fysikaalisista olioista riippuvaista, vaan se käsittelee pelkästään abstrakteja relaatioita. Kaksi happimolekyyliä ja neljä vetymolekyyliä esimerkiksi voidaan laskea kuudeksi hiukkaseksi, mutta kun "ravistamme koeputkea" niin saamme kaksi vesimolekyyliä; 2 4=2. Tällaisia ajatusleikkejä voi harrastaa fysikaalisen maailman kontekstissa, kuten ala-asteen opettajani joka esitti ilokseni kysymyksen joka aiheutti useimmissa pettymystä ja suuttumusta, ja meissä lopuissa huvitusta: Miten 1 1=1? ... Viisas Opettaja piirtää taululle kaksi heinäkasaa jotka yhdistetään yhdeksi heinäkasaksi. Naurettavaa kusetusta, harhaanjohtamista, käsitteillä kikkailua, ja loistavan vapauttavaa!

En kuitenkaan millään ymmärrä mikä sinun tai Timo Tossavaisen varsinainen implikaatio voisi olla? 1 1=2 ja kaikki matemaattisista aksioomista johtamamme teoreemat noudattavat niitä ja kertovat erehtymättömästi lukujen ja funktioiden suhteista eri avaruuksissa. Korkeammassa matematiikassa leikitään jo vähän eri tasoilla, mutta kaikille yhteistä on se että se toimii (matematiikassa ei ole (kuin näennäisiä) ristiriitoja), ja se ettei sillä ole todellista rajapintaa todellisuuteen.

tuttumies kirjoitti:

Timo Tossavainen:[...että logiikan ja ylipäätänsä ihmisten ajattelun epätäydellisyyden takia (vrt. kuuluisa Gödelin epätäydellisyyslause, esim. Väänänen 1987) minkä tahansa epätriviaalin teorian alaan intuitiivisesti kuuluvien kaikkien väitteiden totuusarvoa ei pystytä edes periaatteessa selvittämään pelkästään kyseisen aksioomajärjestelmän sisällä. Esimerkiksi kokonaislukujen teoria on tällä tavalla epätäydellinen.]
http://sokl.joensuu.fi/verkkojulkaisut/tutkivaope/tossavainen.htm

Se, että minä olen mahdollisesti ymmärtänyt väärin Gödelin, ei ole sinänsä mikään ihme. Enemmistö ihmiskunnasta ei joka tapauksessa ole ymmärtänyt häntä. (-;

Lue lisää

No tuosta Tossavaisen väittämästähän ei millään tavalla seuraa tuo sinun väittämäsi:

"Kun Gödel osoitti, ettei matemaattinen järjestelmä voi muodostua pelkästään todistetuista lauseista, vaan aina tarvitaan todistamattomia aksioomia, minusta tämä voitaneen yleistää myös fysikaalisiin järjestelmiin, esim. luonnontieteisiin."

Itseasiassa kaikki matemaattiset systeemit rakentuvat sen varaan, että tietyt perusasiat eli aksioomat ovat "tosia". Se, että ovatko ne oikeasti "tosia" on pohjimmaltaan irrelevanttia. Tärkeämpää on se, että onko formaali systeemi konsistentti, eli eihän ole olemassa propositiota, joka olisi todistuva systeemissä, niin että sen negaatio olisi myös todistuva tässä systeemissä (jolloin mikä tahansa väite olisi todistuva tässä systeemissä). Se, mitä Gödel osoitti ensimmäisessään epätäydellisyyslauseessaan on, että jos T on formaali systeemi, joka "pitää sisällään tietyt lukuteorian ominaisuudet", niin voidaan konstruoida aritmeettinen väite, joka on tosi, mutta joka ei ole todistuva T:ssä. Toinen Gödelin epätäydellisyyslause taas "sanoo", että jos T lisäksi "sisältää keinot puhua omasta todistavuudestaan", niin silloin väite "T konsistenssi" voidaan todistaa T:ssä jos ja vain jos T ei ole konsistentti.

Jos on kerran epävarma omasta ymmärryksestään, niin eikö siitä kannattaisi mainita omassa viestissään varoituksen sanana, ennenkuin rupeaa vetämään siitä mitään filosofisia implikaatioita?

Gödelin haamu kirjoitti:

No tuosta Tossavaisen väittämästähän ei millään tavalla seuraa tuo sinun väittämäsi:

"Kun Gödel osoitti, ettei matemaattinen järjestelmä voi muodostua pelkästään todistetuista lauseista, vaan aina tarvitaan todistamattomia aksioomia, minusta tämä voitaneen yleistää myös fysikaalisiin järjestelmiin, esim. luonnontieteisiin."

Itseasiassa kaikki matemaattiset systeemit rakentuvat sen varaan, että tietyt perusasiat eli aksioomat ovat "tosia". Se, että ovatko ne oikeasti "tosia" on pohjimmaltaan irrelevanttia. Tärkeämpää on se, että onko formaali systeemi konsistentti, eli eihän ole olemassa propositiota, joka olisi todistuva systeemissä, niin että sen negaatio olisi myös todistuva tässä systeemissä (jolloin mikä tahansa väite olisi todistuva tässä systeemissä). Se, mitä Gödel osoitti ensimmäisessään epätäydellisyyslauseessaan on, että jos T on formaali systeemi, joka "pitää sisällään tietyt lukuteorian ominaisuudet", niin voidaan konstruoida aritmeettinen väite, joka on tosi, mutta joka ei ole todistuva T:ssä. Toinen Gödelin epätäydellisyyslause taas "sanoo", että jos T lisäksi "sisältää keinot puhua omasta todistavuudestaan", niin silloin väite "T konsistenssi" voidaan todistaa T:ssä jos ja vain jos T ei ole konsistentti.

Jos on kerran epävarma omasta ymmärryksestään, niin eikö siitä kannattaisi mainita omassa viestissään varoituksen sanana, ennenkuin rupeaa vetämään siitä mitään filosofisia implikaatioita?

Lue lisää

Harvinaisen selkeästä vastauksesta!

Gödelin haamu kirjoitti:

No tuosta Tossavaisen väittämästähän ei millään tavalla seuraa tuo sinun väittämäsi:

"Kun Gödel osoitti, ettei matemaattinen järjestelmä voi muodostua pelkästään todistetuista lauseista, vaan aina tarvitaan todistamattomia aksioomia, minusta tämä voitaneen yleistää myös fysikaalisiin järjestelmiin, esim. luonnontieteisiin."

Itseasiassa kaikki matemaattiset systeemit rakentuvat sen varaan, että tietyt perusasiat eli aksioomat ovat "tosia". Se, että ovatko ne oikeasti "tosia" on pohjimmaltaan irrelevanttia. Tärkeämpää on se, että onko formaali systeemi konsistentti, eli eihän ole olemassa propositiota, joka olisi todistuva systeemissä, niin että sen negaatio olisi myös todistuva tässä systeemissä (jolloin mikä tahansa väite olisi todistuva tässä systeemissä). Se, mitä Gödel osoitti ensimmäisessään epätäydellisyyslauseessaan on, että jos T on formaali systeemi, joka "pitää sisällään tietyt lukuteorian ominaisuudet", niin voidaan konstruoida aritmeettinen väite, joka on tosi, mutta joka ei ole todistuva T:ssä. Toinen Gödelin epätäydellisyyslause taas "sanoo", että jos T lisäksi "sisältää keinot puhua omasta todistavuudestaan", niin silloin väite "T konsistenssi" voidaan todistaa T:ssä jos ja vain jos T ei ole konsistentti.

Jos on kerran epävarma omasta ymmärryksestään, niin eikö siitä kannattaisi mainita omassa viestissään varoituksen sanana, ennenkuin rupeaa vetämään siitä mitään filosofisia implikaatioita?

Lue lisää

Mitenkähän vastauksesi pitää ymmärtää?
Väitätkö, että matemaattinen järjestelmä voi muodostua pelkästään todistetuista lauseista?

Gödelin haamu kirjoitti:

No tuosta Tossavaisen väittämästähän ei millään tavalla seuraa tuo sinun väittämäsi:

"Kun Gödel osoitti, ettei matemaattinen järjestelmä voi muodostua pelkästään todistetuista lauseista, vaan aina tarvitaan todistamattomia aksioomia, minusta tämä voitaneen yleistää myös fysikaalisiin järjestelmiin, esim. luonnontieteisiin."

Itseasiassa kaikki matemaattiset systeemit rakentuvat sen varaan, että tietyt perusasiat eli aksioomat ovat "tosia". Se, että ovatko ne oikeasti "tosia" on pohjimmaltaan irrelevanttia. Tärkeämpää on se, että onko formaali systeemi konsistentti, eli eihän ole olemassa propositiota, joka olisi todistuva systeemissä, niin että sen negaatio olisi myös todistuva tässä systeemissä (jolloin mikä tahansa väite olisi todistuva tässä systeemissä). Se, mitä Gödel osoitti ensimmäisessään epätäydellisyyslauseessaan on, että jos T on formaali systeemi, joka "pitää sisällään tietyt lukuteorian ominaisuudet", niin voidaan konstruoida aritmeettinen väite, joka on tosi, mutta joka ei ole todistuva T:ssä. Toinen Gödelin epätäydellisyyslause taas "sanoo", että jos T lisäksi "sisältää keinot puhua omasta todistavuudestaan", niin silloin väite "T konsistenssi" voidaan todistaa T:ssä jos ja vain jos T ei ole konsistentti.

Jos on kerran epävarma omasta ymmärryksestään, niin eikö siitä kannattaisi mainita omassa viestissään varoituksen sanana, ennenkuin rupeaa vetämään siitä mitään filosofisia implikaatioita?

Lue lisää

wikipedia:

"Aksiooma on matematiikassa peruskäsitteiden epäsuora määritelmä, jota käytetään päättelyssä muiden tulosten todistamiseen."

Tästä voisi päätellä, että tarvitaan aksioomia. Missä "tuttumies" meni mönkään? Oliko ainoa erehdys liittää Gödelin nimi mukaan itsestään selvään asiaan?

Gödelin haamu kirjoitti:

No tuosta Tossavaisen väittämästähän ei millään tavalla seuraa tuo sinun väittämäsi:

"Kun Gödel osoitti, ettei matemaattinen järjestelmä voi muodostua pelkästään todistetuista lauseista, vaan aina tarvitaan todistamattomia aksioomia, minusta tämä voitaneen yleistää myös fysikaalisiin järjestelmiin, esim. luonnontieteisiin."

Itseasiassa kaikki matemaattiset systeemit rakentuvat sen varaan, että tietyt perusasiat eli aksioomat ovat "tosia". Se, että ovatko ne oikeasti "tosia" on pohjimmaltaan irrelevanttia. Tärkeämpää on se, että onko formaali systeemi konsistentti, eli eihän ole olemassa propositiota, joka olisi todistuva systeemissä, niin että sen negaatio olisi myös todistuva tässä systeemissä (jolloin mikä tahansa väite olisi todistuva tässä systeemissä). Se, mitä Gödel osoitti ensimmäisessään epätäydellisyyslauseessaan on, että jos T on formaali systeemi, joka "pitää sisällään tietyt lukuteorian ominaisuudet", niin voidaan konstruoida aritmeettinen väite, joka on tosi, mutta joka ei ole todistuva T:ssä. Toinen Gödelin epätäydellisyyslause taas "sanoo", että jos T lisäksi "sisältää keinot puhua omasta todistavuudestaan", niin silloin väite "T konsistenssi" voidaan todistaa T:ssä jos ja vain jos T ei ole konsistentti.

Jos on kerran epävarma omasta ymmärryksestään, niin eikö siitä kannattaisi mainita omassa viestissään varoituksen sanana, ennenkuin rupeaa vetämään siitä mitään filosofisia implikaatioita?

Lue lisää

Ensiksikin on todettava, että olen vailla täyttä ymmärrystä matematiikasta. Mutta eipä tämä nyt olekaan matematiikan foorumi. Sitten pientä puolustelua:
Pekonen:[Rokottajana toimi Kurt Gödel (1906-1978), epäilemättä historian suurin loogikko Aristoteleen jälkeen. Gödelin kuuluisat epätäydellisyyslauseet osoittavat, että matematiikka ei sulkeudu itseensä: Matematiikassa on aina väittämiä, joita ei voida todistaa oikeiksi eikä vääriksi, asetettiinpa matematiikan perustana oleva aksioomajärjestelmä millä tavalla tahansa.]
http://www.netn.fi/298/netn_298_aristo6.html
Minusta tuossa on sanottu jotain samaa kuin minunkin Gödelin nimen sisältämässä lauseessa. Se, että Pekonenkin voi olla väärässä, on tietenkin mahdollista. Mutta on lähes mahdotonta, että Pekonen olisi ainoa väärässäolija (-;

Gh:[os on kerran epävarma omasta ymmärryksestään, niin eikö siitä kannattaisi mainita omassa viestissään varoituksen sanana, ennenkuin rupeaa vetämään siitä mitään filosofisia implikaatioita?]
Viestistäsi voisi saada senkin käsityksen, ettet itse ole epävarma?
Minusta tuo varoitus on jo tuolla ylimmässä otsikossa: "Keskustelu". Keskustelun kuluessa virheitä voidaan sitten korjailla. Niinkuin tässäkin nyt käynee ilmi, ei minun virheeni ollut sen isompi kuin sinunkaan, vai miltä sinusta nyt tuntuu?

tuttumies kirjoitti:

Ensiksikin on todettava, että olen vailla täyttä ymmärrystä matematiikasta. Mutta eipä tämä nyt olekaan matematiikan foorumi. Sitten pientä puolustelua:
Pekonen:[Rokottajana toimi Kurt Gödel (1906-1978), epäilemättä historian suurin loogikko Aristoteleen jälkeen. Gödelin kuuluisat epätäydellisyyslauseet osoittavat, että matematiikka ei sulkeudu itseensä: Matematiikassa on aina väittämiä, joita ei voida todistaa oikeiksi eikä vääriksi, asetettiinpa matematiikan perustana oleva aksioomajärjestelmä millä tavalla tahansa.]
http://www.netn.fi/298/netn_298_aristo6.html
Minusta tuossa on sanottu jotain samaa kuin minunkin Gödelin nimen sisältämässä lauseessa. Se, että Pekonenkin voi olla väärässä, on tietenkin mahdollista. Mutta on lähes mahdotonta, että Pekonen olisi ainoa väärässäolija (-;

Gh:[os on kerran epävarma omasta ymmärryksestään, niin eikö siitä kannattaisi mainita omassa viestissään varoituksen sanana, ennenkuin rupeaa vetämään siitä mitään filosofisia implikaatioita?]
Viestistäsi voisi saada senkin käsityksen, ettet itse ole epävarma?
Minusta tuo varoitus on jo tuolla ylimmässä otsikossa: "Keskustelu". Keskustelun kuluessa virheitä voidaan sitten korjailla. Niinkuin tässäkin nyt käynee ilmi, ei minun virheeni ollut sen isompi kuin sinunkaan, vai miltä sinusta nyt tuntuu?

Lue lisää

"Ensiksikin on todettava, että olen vailla täyttä ymmärrystä matematiikasta."

Ja sen kyllä huomaa. Sanomalla

"Kun Gödel osoitti, ettei matemaattinen järjestelmä voi muodostua pelkästään todistetuista lauseista, vaan aina tarvitaan todistamattomia aksioomia"

osoitat, että et ymmärrä matematiikan perusteista mitään. Aksioomat ovat lähtöoletuksia, jotain mitä vain oletetaan, että matemaattista rakennetta päästäisiin tutkimaan. Jos tautologiat suljetaan pois, niin löysästi sanottuna mitään ei voida todistaa, mikäli mitään ei oleteta. Koska jo määritelmällisesti aksioomia ei todisteta (tosin ei myöskään oleteta niiden olevan tosia, vaan ne ovat lähinnä rajoitteita), niin väitteesi siitä, että Gödel todisti aksioomien tarpeellisuuden, ei vain kerro, että et ymmärrä mitään Gödelin epätäydellisyyslauseista, vaan myös sen, että sinulla on suuria aukkoja logiikan ja matemaatikan perusteissa! Tossavaisen ja Pekosen väittämät ovat kyllä ihan oikein (löysästi ajateltuna. kun niissä ei erimerkiksi listata Gödelin epätäydellisyyslauseiden oletuksia ja esimerkiksi Pekonen vetää yhtäsuuruusmerkit formaalien systeemien ja matematiikan välille ja täten sulkee tavallaan kategoriateoreettisen lähestymistavan matematiikan ulkopuolelle), mutta ilmeisesti ymmärtämättömyyksissäsi et vain tajua niiden sanovan juuri samaa kuin mitä minä. Gödelin lauseilla ei ole mitään tekemistä aksioomien olemassa olon tai "tarvittavuuden" kanssa. Itseasiassa todistaessaan ensimmäisen epätäydellisyyslauseensa Gödel lähti liikkeelle lukuteorian aksioomista, olettaa, että ne muodostavat konsistentin (tarkkaan ottaen omega-konsistentin) systeemin ja konstruoi väitteen, joka on tosi, mutta jota ei voi todistaa näistä aksioomista. Lisäksi tämä voidaan tehdä missä tahansa lukuteorian laajennuksessa. Tähän Tossavainen ja Pekonen viittaavat sanoessaan, että "kaikkien väitteiden totuusarvoa ei pystytä edes periaatteessa selvittämään pelkästään kyseisen aksioomajärjestelmän sisällä" tai "matematiikassa on aina väittämiä joita ei voida todistaa oikeiksi eikä vääriksi". Tosin jos ihan tarkkoja ollaan, niin Gödelin lauseet ja niiden laajennukset koskevat vain tiettyjä formaaleja systeemeja ja täten eivät koske ollenkaan metakielisiä päättelyitä, joiden kanssa suurinosa matemaatikoista pelaa. Toisaalta voidaan helposti konstruoida formaaleja systeemeja, jotka ovat konsistentteja ja "täydellisiä Gödelin mielessä".

periaate kirjoitti:

wikipedia:

"Aksiooma on matematiikassa peruskäsitteiden epäsuora määritelmä, jota käytetään päättelyssä muiden tulosten todistamiseen."

Tästä voisi päätellä, että tarvitaan aksioomia. Missä "tuttumies" meni mönkään? Oliko ainoa erehdys liittää Gödelin nimi mukaan itsestään selvään asiaan?

Lue lisää

No ensimmäinen oli tietenkin tuo Gödelin veto mukaan. Toisen oli se puhe "todistamattomista aksioomista". Muinaisille kreikkalaisillehan aksioomat olivat itsestäänselviä välttämättömiä totuuksia, mutta nykyinen matematiikka käsittelee niitä paljon laajemmalla ottella. Onko kunta-aksioomat totta? Ovatko vektoriavaruuden aksioomat itsestäänselviä? Ovatko Peonon aksioomat välttämättömiä (ei ole ainakaan lukuteorian muotoilussa)? Kaikenkaikkiaan jäi semmoinen kuva, että tuttumies ei tiennyt yhtään mistä puhuu.

Gödelin haamu kirjoitti:

"Ensiksikin on todettava, että olen vailla täyttä ymmärrystä matematiikasta."

Ja sen kyllä huomaa. Sanomalla

"Kun Gödel osoitti, ettei matemaattinen järjestelmä voi muodostua pelkästään todistetuista lauseista, vaan aina tarvitaan todistamattomia aksioomia"

osoitat, että et ymmärrä matematiikan perusteista mitään. Aksioomat ovat lähtöoletuksia, jotain mitä vain oletetaan, että matemaattista rakennetta päästäisiin tutkimaan. Jos tautologiat suljetaan pois, niin löysästi sanottuna mitään ei voida todistaa, mikäli mitään ei oleteta. Koska jo määritelmällisesti aksioomia ei todisteta (tosin ei myöskään oleteta niiden olevan tosia, vaan ne ovat lähinnä rajoitteita), niin väitteesi siitä, että Gödel todisti aksioomien tarpeellisuuden, ei vain kerro, että et ymmärrä mitään Gödelin epätäydellisyyslauseista, vaan myös sen, että sinulla on suuria aukkoja logiikan ja matemaatikan perusteissa! Tossavaisen ja Pekosen väittämät ovat kyllä ihan oikein (löysästi ajateltuna. kun niissä ei erimerkiksi listata Gödelin epätäydellisyyslauseiden oletuksia ja esimerkiksi Pekonen vetää yhtäsuuruusmerkit formaalien systeemien ja matematiikan välille ja täten sulkee tavallaan kategoriateoreettisen lähestymistavan matematiikan ulkopuolelle), mutta ilmeisesti ymmärtämättömyyksissäsi et vain tajua niiden sanovan juuri samaa kuin mitä minä. Gödelin lauseilla ei ole mitään tekemistä aksioomien olemassa olon tai "tarvittavuuden" kanssa. Itseasiassa todistaessaan ensimmäisen epätäydellisyyslauseensa Gödel lähti liikkeelle lukuteorian aksioomista, olettaa, että ne muodostavat konsistentin (tarkkaan ottaen omega-konsistentin) systeemin ja konstruoi väitteen, joka on tosi, mutta jota ei voi todistaa näistä aksioomista. Lisäksi tämä voidaan tehdä missä tahansa lukuteorian laajennuksessa. Tähän Tossavainen ja Pekonen viittaavat sanoessaan, että "kaikkien väitteiden totuusarvoa ei pystytä edes periaatteessa selvittämään pelkästään kyseisen aksioomajärjestelmän sisällä" tai "matematiikassa on aina väittämiä joita ei voida todistaa oikeiksi eikä vääriksi". Tosin jos ihan tarkkoja ollaan, niin Gödelin lauseet ja niiden laajennukset koskevat vain tiettyjä formaaleja systeemeja ja täten eivät koske ollenkaan metakielisiä päättelyitä, joiden kanssa suurinosa matemaatikoista pelaa. Toisaalta voidaan helposti konstruoida formaaleja systeemeja, jotka ovat konsistentteja ja "täydellisiä Gödelin mielessä".

Lue lisää

todistelisit itse itseäsi vastaan. Kovin on sekavaa kirjoituksesi.

periaate kirjoitti:

todistelisit itse itseäsi vastaan. Kovin on sekavaa kirjoituksesi.

Mitkä kohdat ovat mielestäsi epäselviä ja mitä kohtia et ymmärrä? Sitten ihan mielenkiinnosta, oletko käynyt Gödelin epätäydellisyyslauseen todistusta koskaan matemaattisesti läpi ja entä ymmärrätkö niissä esiintyvien käsitteiden sisältöä. Kuten, että mikä on formaali systeemi, aksiooma tai predikatiivin esitettävyys jossain teoriassa?

Gödelin haamu kirjoitti:

Mitkä kohdat ovat mielestäsi epäselviä ja mitä kohtia et ymmärrä? Sitten ihan mielenkiinnosta, oletko käynyt Gödelin epätäydellisyyslauseen todistusta koskaan matemaattisesti läpi ja entä ymmärrätkö niissä esiintyvien käsitteiden sisältöä. Kuten, että mikä on formaali systeemi, aksiooma tai predikatiivin esitettävyys jossain teoriassa?

Lue lisää

oli niin huono etten saa siitä mitään tolkkua.
tasoa 1-/3.

periaate kirjoitti:

oli niin huono etten saa siitä mitään tolkkua.
tasoa 1-/3.

Gödelin epätäydellisyyslauseissa lähdetään tietyistä aksioomista, ja osoitetaan, että tässä aksioomaattisessa systeemissä on olemassa tosia väittämiä, jotka eivät kuitenkaan ole todistuvia alussa oletetuista aksioomista. Ne eivät siis osoita millään tavalla aksioomien tarvetta. Ne osoittavat, että aksioomista ei voida aina todistaa kaikkia tosia väittämiä.

periaate kirjoitti:

oli niin huono etten saa siitä mitään tolkkua.
tasoa 1-/3.

Tämä asia pitää selvittää perusteellisesti.

Lähetin lauseen

"Kun Gödel osoitti, ettei matemaattinen järjestelmä voi muodostua pelkästään todistetuista lauseista, vaan aina tarvitaan todistamattomia aksioomia"

tarkistettavaksi matemaatikkoystävälleni ja kysyin onko lauseessa jotain muuta vikaa kuin maininta Gödelistä. Odottelen vastausta.

periaate kirjoitti:

Tämä asia pitää selvittää perusteellisesti.

Lähetin lauseen

"Kun Gödel osoitti, ettei matemaattinen järjestelmä voi muodostua pelkästään todistetuista lauseista, vaan aina tarvitaan todistamattomia aksioomia"

tarkistettavaksi matemaatikkoystävälleni ja kysyin onko lauseessa jotain muuta vikaa kuin maininta Gödelistä. Odottelen vastausta.

Lue lisää

Vastausta odotellessa voisit vastata esittämääni kysymykseen:

"Väitätkö, että matemaattinen järjestelmä voi muodostua pelkästään todistetuista lauseista?"

Gödelin haamu kirjoitti:

Gödelin epätäydellisyyslauseissa lähdetään tietyistä aksioomista, ja osoitetaan, että tässä aksioomaattisessa systeemissä on olemassa tosia väittämiä, jotka eivät kuitenkaan ole todistuvia alussa oletetuista aksioomista. Ne eivät siis osoita millään tavalla aksioomien tarvetta. Ne osoittavat, että aksioomista ei voida aina todistaa kaikkia tosia väittämiä.

Lue lisää

Oman ei-matemaatikkojärkeni mukaan, jos aksiomaattisessa systeemissä on 'tosi väittämä', jota ei voi todistaa alussa oletetuista aksioomista, niin silloin tämä 'tosi väittämä' on todistamaton aksiooma tässä systeemissä.
Ainakaan sitä ei voi todistaa tässä systeemissä.
En edelleenkään ymmärrä mitä ajat takaa. Ehkä olen vain tyhmä.

periaate kirjoitti:

Vastausta odotellessa voisit vastata esittämääni kysymykseen:

"Väitätkö, että matemaattinen järjestelmä voi muodostua pelkästään todistetuista lauseista?"

"Väitätkö, että matemaattinen järjestelmä voi muodostua pelkästään todistetuista lauseista?"

Mitä tarkoitat matemaattisella järjestelmällä? Jos tarkoitat matemaattisella järjestelmällä "pelkästään formaalia systeemiä", niin se koostuu formaalista kielestä ja päättelysäännöistä, eli vastaus on ei. Jos tarkoitat matemaattisella järjestelmällä formaalia systeemiä ja sen teoreemia, niin vastaus on ei. Jos taas tarkoitat matemaattisella järjestelmällä formaalin systeemin tuottamia teoreemia, niin silloin se koostuu jo määritelmän perusteella, heh, todistetuista hyvin-muodostetuista ilmaisuista, joista aksioomat ovat osa, eli vastaus on kyllä.

Jos mennään formaalien systeemien ulkopuolelle, niin en osaa edes arvailla mitä matemaattinen järjestelmä mahtaa meinata...

Jos nyt puhutaan tuosta tuttumiehen kommentista, niin hänen puhuessaan matemaattisista järjestelmistä ajattelin hänen ekaksi puhuvan juuri formaaleista systeemeistä. Mutta hän puhuu aksioomista todistumattomina, mutta kun ne ovat jo todistuvia jo määritelmän perusteella. Katso vaikka
http://mark.math.helsinki.fi/matlog/luentoteksti1.pdf
sivu 3 kohta T2 tai sivu 41 kohta T2
(huomaa, että itse käytän hieman eri terminologiaa kuin tuo pruju, mutta sama idea, aksioomat määritellään todistuviksi).

Tietenkin hän saattoi yrittää tarkoittaa, että aksioomia ei voi todistaa "tosiksi" formaalissa systeemin puitteissa, mutta taas siinäkään ei ole mitään järkeä.

periaate kirjoitti:

Oman ei-matemaatikkojärkeni mukaan, jos aksiomaattisessa systeemissä on 'tosi väittämä', jota ei voi todistaa alussa oletetuista aksioomista, niin silloin tämä 'tosi väittämä' on todistamaton aksiooma tässä systeemissä.
Ainakaan sitä ei voi todistaa tässä systeemissä.
En edelleenkään ymmärrä mitä ajat takaa. Ehkä olen vain tyhmä.

Lue lisää

"Oman ei-matemaatikkojärkeni mukaan, jos aksiomaattisessa systeemissä on 'tosi väittämä', jota ei voi todistaa alussa oletetuista aksioomista, niin silloin tämä 'tosi väittämä' on todistamaton aksiooma tässä systeemissä."

Gödelin ensimmäisen epätäydellisyyslauseen idea onkin juuri se, että jos valitaan tietyntyyppisiset aksioomat A, niin silti on on olemassa väite L, joka on tosi, mutta ei todistu noista aksioomista. Otetaan uusi systeemi A' , jossa on A lisättynä väitteellä L. Tällöin väite L on todistuva aksioomista A', mutta silti tämä uusi systeemi sisältää toden väitteen L', joka ei todistu aksioomista A'. Ja tätä voi jatkaa vaikka kuinka pitkälle. Koskaan ei päästä sellaiseen aksioomajoukkoon, joka todistaisi kaikki todet väitteet.

Kuuluisia esimerkkejä "epätäydellisistä" formaaleista systeemeisä on vaikka ZF-joukko-oppi. Olettean, että ZF-joukko-oppi on ristiriidaton, niin valinta-aksioomaa tai sen vastaväitettä ei voida todistaa ZF-aksioomista. Kuitenkin ZF-aksioomat varastettuna joko valinta-aksioomalla tai sen vastaväitteellä muodostavat ristiriidattoman formaalin systeemin (olettean, että ZF on alun perin ristiriidaton). Kuitenkin järki sanoo, että joko valinta-aksiooma on tosi tai ei. Toinen on hyvä esimerkki on tietenkin paralleeliaksiooma. Paralleeliaksiooma pitää paikkaansa tasossa, mutta ei pallon pinnalla. Mutta ei, totuudella ei ole oikeastaan mitään tekemistä aksioomien kanssa (ainakaan nykymatematiikassa). Tärkeämpää on, että muodostaako aksioomien systeemi ristiriidattoman järjestelmän ja onko se täydellinen.

Voi kuulostaa tietenkin maallikosta ristiriitaiselta, mutta matemaattisen harrastaneisuuden jälkeen tuo on hyvin loogista.

Tietenkin on tärkeää huomata, että Gödelin epätäydellisyys lause pätee vain tiettyihin formaaleihin systeemeihin. Jos vaikkapa lukuteorian aksioomiksi valittaisiin jokainen lukuteorian tosi väite, niin meillä olisi siinä mielessä täydellinen systeemi, että jokainen lukuteorian tosi väite olisi todistuva näistä aksioomista, mutta vastapainona meillä ei olisi mitään mahdollisuutta sanoa mikä väite on nyt aksioomana tai ei, joten emme pääsisi puusta pitkälle.

Gödelin henki kirjoitti:

"Väitätkö, että matemaattinen järjestelmä voi muodostua pelkästään todistetuista lauseista?"

Mitä tarkoitat matemaattisella järjestelmällä? Jos tarkoitat matemaattisella järjestelmällä "pelkästään formaalia systeemiä", niin se koostuu formaalista kielestä ja päättelysäännöistä, eli vastaus on ei. Jos tarkoitat matemaattisella järjestelmällä formaalia systeemiä ja sen teoreemia, niin vastaus on ei. Jos taas tarkoitat matemaattisella järjestelmällä formaalin systeemin tuottamia teoreemia, niin silloin se koostuu jo määritelmän perusteella, heh, todistetuista hyvin-muodostetuista ilmaisuista, joista aksioomat ovat osa, eli vastaus on kyllä.

Jos mennään formaalien systeemien ulkopuolelle, niin en osaa edes arvailla mitä matemaattinen järjestelmä mahtaa meinata...

Jos nyt puhutaan tuosta tuttumiehen kommentista, niin hänen puhuessaan matemaattisista järjestelmistä ajattelin hänen ekaksi puhuvan juuri formaaleista systeemeistä. Mutta hän puhuu aksioomista todistumattomina, mutta kun ne ovat jo todistuvia jo määritelmän perusteella. Katso vaikka
http://mark.math.helsinki.fi/matlog/luentoteksti1.pdf
sivu 3 kohta T2 tai sivu 41 kohta T2
(huomaa, että itse käytän hieman eri terminologiaa kuin tuo pruju, mutta sama idea, aksioomat määritellään todistuviksi).

Tietenkin hän saattoi yrittää tarkoittaa, että aksioomia ei voi todistaa "tosiksi" formaalissa systeemin puitteissa, mutta taas siinäkään ei ole mitään järkeä.

Lue lisää

Siis koko kirjoittamasi perustuu tähän saivarteluun:
"todistamattomia aksioomia" vastaan "ei tarvitse todistaa". Hoh hoh! Liian paksua.

Gödelin haamu kirjoitti:

"Oman ei-matemaatikkojärkeni mukaan, jos aksiomaattisessa systeemissä on 'tosi väittämä', jota ei voi todistaa alussa oletetuista aksioomista, niin silloin tämä 'tosi väittämä' on todistamaton aksiooma tässä systeemissä."

Gödelin ensimmäisen epätäydellisyyslauseen idea onkin juuri se, että jos valitaan tietyntyyppisiset aksioomat A, niin silti on on olemassa väite L, joka on tosi, mutta ei todistu noista aksioomista. Otetaan uusi systeemi A' , jossa on A lisättynä väitteellä L. Tällöin väite L on todistuva aksioomista A', mutta silti tämä uusi systeemi sisältää toden väitteen L', joka ei todistu aksioomista A'. Ja tätä voi jatkaa vaikka kuinka pitkälle. Koskaan ei päästä sellaiseen aksioomajoukkoon, joka todistaisi kaikki todet väitteet.

Kuuluisia esimerkkejä "epätäydellisistä" formaaleista systeemeisä on vaikka ZF-joukko-oppi. Olettean, että ZF-joukko-oppi on ristiriidaton, niin valinta-aksioomaa tai sen vastaväitettä ei voida todistaa ZF-aksioomista. Kuitenkin ZF-aksioomat varastettuna joko valinta-aksioomalla tai sen vastaväitteellä muodostavat ristiriidattoman formaalin systeemin (olettean, että ZF on alun perin ristiriidaton). Kuitenkin järki sanoo, että joko valinta-aksiooma on tosi tai ei. Toinen on hyvä esimerkki on tietenkin paralleeliaksiooma. Paralleeliaksiooma pitää paikkaansa tasossa, mutta ei pallon pinnalla. Mutta ei, totuudella ei ole oikeastaan mitään tekemistä aksioomien kanssa (ainakaan nykymatematiikassa). Tärkeämpää on, että muodostaako aksioomien systeemi ristiriidattoman järjestelmän ja onko se täydellinen.

Voi kuulostaa tietenkin maallikosta ristiriitaiselta, mutta matemaattisen harrastaneisuuden jälkeen tuo on hyvin loogista.

Tietenkin on tärkeää huomata, että Gödelin epätäydellisyys lause pätee vain tiettyihin formaaleihin systeemeihin. Jos vaikkapa lukuteorian aksioomiksi valittaisiin jokainen lukuteorian tosi väite, niin meillä olisi siinä mielessä täydellinen systeemi, että jokainen lukuteorian tosi väite olisi todistuva näistä aksioomista, mutta vastapainona meillä ei olisi mitään mahdollisuutta sanoa mikä väite on nyt aksioomana tai ei, joten emme pääsisi puusta pitkälle.

Lue lisää

Huomaa, että todistettu ja tosi ovat aivan eri asioita. 'tuttumies' kirjoitti todistetusta väitteestä, sinä todesta väitteestä. Ne ovat kaksi aivan eri asiaa.

Gödelin haamu kirjoitti:

"Ensiksikin on todettava, että olen vailla täyttä ymmärrystä matematiikasta."

Ja sen kyllä huomaa. Sanomalla

"Kun Gödel osoitti, ettei matemaattinen järjestelmä voi muodostua pelkästään todistetuista lauseista, vaan aina tarvitaan todistamattomia aksioomia"

osoitat, että et ymmärrä matematiikan perusteista mitään. Aksioomat ovat lähtöoletuksia, jotain mitä vain oletetaan, että matemaattista rakennetta päästäisiin tutkimaan. Jos tautologiat suljetaan pois, niin löysästi sanottuna mitään ei voida todistaa, mikäli mitään ei oleteta. Koska jo määritelmällisesti aksioomia ei todisteta (tosin ei myöskään oleteta niiden olevan tosia, vaan ne ovat lähinnä rajoitteita), niin väitteesi siitä, että Gödel todisti aksioomien tarpeellisuuden, ei vain kerro, että et ymmärrä mitään Gödelin epätäydellisyyslauseista, vaan myös sen, että sinulla on suuria aukkoja logiikan ja matemaatikan perusteissa! Tossavaisen ja Pekosen väittämät ovat kyllä ihan oikein (löysästi ajateltuna. kun niissä ei erimerkiksi listata Gödelin epätäydellisyyslauseiden oletuksia ja esimerkiksi Pekonen vetää yhtäsuuruusmerkit formaalien systeemien ja matematiikan välille ja täten sulkee tavallaan kategoriateoreettisen lähestymistavan matematiikan ulkopuolelle), mutta ilmeisesti ymmärtämättömyyksissäsi et vain tajua niiden sanovan juuri samaa kuin mitä minä. Gödelin lauseilla ei ole mitään tekemistä aksioomien olemassa olon tai "tarvittavuuden" kanssa. Itseasiassa todistaessaan ensimmäisen epätäydellisyyslauseensa Gödel lähti liikkeelle lukuteorian aksioomista, olettaa, että ne muodostavat konsistentin (tarkkaan ottaen omega-konsistentin) systeemin ja konstruoi väitteen, joka on tosi, mutta jota ei voi todistaa näistä aksioomista. Lisäksi tämä voidaan tehdä missä tahansa lukuteorian laajennuksessa. Tähän Tossavainen ja Pekonen viittaavat sanoessaan, että "kaikkien väitteiden totuusarvoa ei pystytä edes periaatteessa selvittämään pelkästään kyseisen aksioomajärjestelmän sisällä" tai "matematiikassa on aina väittämiä joita ei voida todistaa oikeiksi eikä vääriksi". Tosin jos ihan tarkkoja ollaan, niin Gödelin lauseet ja niiden laajennukset koskevat vain tiettyjä formaaleja systeemeja ja täten eivät koske ollenkaan metakielisiä päättelyitä, joiden kanssa suurinosa matemaatikoista pelaa. Toisaalta voidaan helposti konstruoida formaaleja systeemeja, jotka ovat konsistentteja ja "täydellisiä Gödelin mielessä".

Lue lisää

En havainnut viestissäsi kommentia Pekosen ja minun lauseideni olennaisesta erosta. Minusta ne ovat riittävän yhtäpitäviä, että se riittää tähän tarpeeseen. Aiheenahan oli sentään enemmänkin fysiikan "täydellisyys" ja tässä käytin (oikein tai väärin) Gödeliä keppihevosenani.

Ja aksioomat ovat todistamattomia matematiikassa, niinkuin lähtöoletukset fysiikassakin. Jälkimmäisessä on toki mahdollista, ettei kaikkia oletuksia edes julkilausuta, ne kuuluvat johonkin "metatieteeseen" tms.

tuttumies kirjoitti:

En havainnut viestissäsi kommentia Pekosen ja minun lauseideni olennaisesta erosta. Minusta ne ovat riittävän yhtäpitäviä, että se riittää tähän tarpeeseen. Aiheenahan oli sentään enemmänkin fysiikan "täydellisyys" ja tässä käytin (oikein tai väärin) Gödeliä keppihevosenani.

Ja aksioomat ovat todistamattomia matematiikassa, niinkuin lähtöoletukset fysiikassakin. Jälkimmäisessä on toki mahdollista, ettei kaikkia oletuksia edes julkilausuta, ne kuuluvat johonkin "metatieteeseen" tms.

Lue lisää

"En havainnut viestissäsi kommentia Pekosen ja minun lauseideni olennaisesta erosta. Minusta ne ovat riittävän yhtäpitäviä, että se riittää tähän tarpeeseen."

Pekonen sanoo, että formaaleissa systeemeissä voi olla todistumattomia väitteitä (vaikka ne olisivatkin tosia), ei sitä, että siellä olisi todistumattomia aksioomia. Koska minkä tahansa todistamiseen tarvitaan joidenkin aksioomien käyttöönottoa, niin jos todistettaisiin, että aksioomia tarvitaan, niin silloin ollaan leikkisästi tehty kehäpäätelmä... Mutta usko minua, että matematiikkaan vähän tutustuneena (saan palkkani matemaattisen tutkimustyön tekemisestä) sinun alkuperäisessä väitteessä Gödelin todistuksesta ei ollut mitään järkeä. Lainaa seuraavalla kertaa vaikkapa suoraan Pekosta tai katso englanninkielisen wikipedian suhteellisen hyvätasoista artikkelia.

"Ja aksioomat ovat todistamattomia matematiikassa"

(tässä oletan nyt, että todistamisella tarkoitetaan jonkin osoittamiseksi todeksi, ei todistettavuutta formaalisessa systeemissä, koska aksioomat ovat jo määritelmällisesti todistuvia formaaleissa systeemeissään) Näin minäkin aikanani luulin, kunnes eräs matemaattisen logikaan oppikirja virhekäsitykseni korjasi. Täsmällisempää olisi sanoa, että aksioomien totuuspohjasta ei välitetä, koska niihin ei voi ottaa kantaa ilman jotain struktuuria, ja tämän struktuurin totuuspohjaan on taas mahdotonta ottaa kantaa ilman jotain vahvempaa struktuuria, jonta totuuspohjasta ei voida sanoa ilman jne...

periaate kirjoitti:

Huomaa, että todistettu ja tosi ovat aivan eri asioita. 'tuttumies' kirjoitti todistetusta väitteestä, sinä todesta väitteestä. Ne ovat kaksi aivan eri asiaa.

"Huomaa, että todistettu ja tosi ovat aivan eri asioita. 'tuttumies' kirjoitti todistetusta väitteestä, sinä todesta väitteestä. Ne ovat kaksi aivan eri asiaa."

Herrajestas... Minähän olen kokoajan puhunut siitä mitä tuo Gödelin lause sanoo. Se sanoo (käsiä heilutellen), että lukuteoriassa on aina tosia väitteitä, jotka eivät ole todistuvia! Täten on selvää, että ne ovat aivan eri asioita. Se ei silti muuta sitä, että Gödel ei todistanut mitään sellaista, mitä tuttumies väitti. Vai oletko tästä erimieltä?

"Siis koko kirjoittamasi perustuu tähän saivarteluun:
"todistamattomia aksioomia" vastaan "ei tarvitse todistaa"."

Höpöhöpö...
Formaaleissa systeemeissä ei ole mitään mieltä puhua aksioomien totuudesta (vertaa valinta-aksiooma tai paralleeliaksiooma, joiden totuudesta puhumiseen meillä ei ole välineitä). Ja kuten jo linkin avulla osoitin, formaaleissa systeemeissä aksioomat ovat suoraan määritelmällisesti todistuvia, joten väite aksioomien todistamattumuudestaan on väärä, ainakin formaaleissa systeemeissä, joita Gödelin elämäntyö koskee. Olkoonkin se sinusta kuinka saivartelua.

Ja sitä paitsi, moderni matematiikka on yhtä suurta saivartelua. Ensin asiat määritellään täsmällisesti ja sen jälkeen näiden pohjalta saivarrellaan ankarasti. Kanssasi keskustelu on tuskallista, kun koskaan ei tiedä mitä milläkin tarkoitat. Esimerkiksi et määritellyt mitä tarkoitat matemaattisella järjestelmällä, varmaankaan et ainakaan formaalia systeemia, jossa aksioomat ovat jo määritelmällisesti todistuvia (ellet sitten todistavuudella tarkoita todeksi osoittamista, mikä on taas jo ihan eri asia). Mutta mitä sillä mahdat tarkoittaa? Ja jos kerran puhumme asioista, joista et kerran ymmärrä mitään, niin miksi sitten intät?

Gödelin haamu kirjoitti:

"Huomaa, että todistettu ja tosi ovat aivan eri asioita. 'tuttumies' kirjoitti todistetusta väitteestä, sinä todesta väitteestä. Ne ovat kaksi aivan eri asiaa."

Herrajestas... Minähän olen kokoajan puhunut siitä mitä tuo Gödelin lause sanoo. Se sanoo (käsiä heilutellen), että lukuteoriassa on aina tosia väitteitä, jotka eivät ole todistuvia! Täten on selvää, että ne ovat aivan eri asioita. Se ei silti muuta sitä, että Gödel ei todistanut mitään sellaista, mitä tuttumies väitti. Vai oletko tästä erimieltä?

"Siis koko kirjoittamasi perustuu tähän saivarteluun:
"todistamattomia aksioomia" vastaan "ei tarvitse todistaa"."

Höpöhöpö...
Formaaleissa systeemeissä ei ole mitään mieltä puhua aksioomien totuudesta (vertaa valinta-aksiooma tai paralleeliaksiooma, joiden totuudesta puhumiseen meillä ei ole välineitä). Ja kuten jo linkin avulla osoitin, formaaleissa systeemeissä aksioomat ovat suoraan määritelmällisesti todistuvia, joten väite aksioomien todistamattumuudestaan on väärä, ainakin formaaleissa systeemeissä, joita Gödelin elämäntyö koskee. Olkoonkin se sinusta kuinka saivartelua.

Ja sitä paitsi, moderni matematiikka on yhtä suurta saivartelua. Ensin asiat määritellään täsmällisesti ja sen jälkeen näiden pohjalta saivarrellaan ankarasti. Kanssasi keskustelu on tuskallista, kun koskaan ei tiedä mitä milläkin tarkoitat. Esimerkiksi et määritellyt mitä tarkoitat matemaattisella järjestelmällä, varmaankaan et ainakaan formaalia systeemia, jossa aksioomat ovat jo määritelmällisesti todistuvia (ellet sitten todistavuudella tarkoita todeksi osoittamista, mikä on taas jo ihan eri asia). Mutta mitä sillä mahdat tarkoittaa? Ja jos kerran puhumme asioista, joista et kerran ymmärrä mitään, niin miksi sitten intät?

Lue lisää

Sain vastauksen matemaatikkoystävältäni. Alkoi höpöttää jotain turingin koneesta ja epäili, että kysymyksessäni oli jekku. En jaksa enää alkaa perehtymään turingin koneeseen. Hoh hoh, ei teistä matemaatikoista saa selvää.:)
Hyvää pääsiäistä vaan!

Kas näin kirjoitti:

Sattuma voidaan todistaa hyvin yksinkertaisella kokeella: viskaamalla noppaa vaikkapa sata kertaa ja laskemalla lukemien keskiarvo. Lähes täysin varmasti se on lähellä lukemaa 3,5. Tämä johtuu siitä, että kun noppaa heitetään riittävän monta kertaa, sattumanvaraisuus ja todennäköisyys lähestyvät toisiaan.

Juuri koskaan heittosarjassa ei esiinny kaikkia numeroita yhtä paljon, vaikka heitettyjen noppien keskiarvo onkin sama tai lähelle sama kuin nopan silmien keskiarvo. Eikä varsinkaan numeroita esiinny samalla tavalla kahdessa sadan heiton sarjassa- sattuma työssään tässäkin.

Itse asiassa, heittämällä riittävän monta numerosarjaa nopalla, voitaisiin viimein havaita, että numerosarjatkin esiintyvät tietyllä säännönmukaisuudella, mutta silti mitenkään ei olisi mahdollista ennustaa edes sitä, mikä numero seuraavalla yhden nopan heitolla tulee. Tämä on ennustamaton tapahtuma on sattuma, sen olemassaolo on kiistämätön.

Mikäli sattumaa ei olisi, noppien arvo määräytyisi jollakin muulla tavalla (kohtalo?). Tällaista kohtalon voimaa ei ole millään mittarilla kuitenkaan kyetty mittaamaan.

Olet siis väärässä, nimenomaan sattuma on todistettu. Sen sijaan ennaltamääräytymistä ei ole kyetty ennustamaan, vaan vain sattumaan kahlittu keskiarvo monista tapahtumista.

"ilmeisesti usko sattumuksiinkin tuntee joitakin rajoja"

Sattuman rajat ovat yhtä kuin toteutuneet sattumat. Toteutumaton sattuma ei näet vaikuta mihinkään, eihän tuossa sattumanmahdollisuudessa määritettyä tapahtumaa, josta seuraisi jokin vaikutus maailmankaikkeuteen, koskaan tapahtunut.

Ei ole toteutunut sellaista sattumaa, jonka vaikutuksesta voisi muuttua kuolleesta ruumiista henkiolennoksi ja vielä moikkailla tuttuja viikkotolkulla jälkikäteen.

Lue lisää

Voitko todistaa jotenkin, että päässäsi liikkuu järkeviä ajatuksia? Tee se tieteellisesti mitattavalla tavalla.Miten todistat, että ne liikkuivat juuri sinun päässäsi, eikä aivan sattumalta?

Gödelin haamu kirjoitti:

"Huomaa, että todistettu ja tosi ovat aivan eri asioita. 'tuttumies' kirjoitti todistetusta väitteestä, sinä todesta väitteestä. Ne ovat kaksi aivan eri asiaa."

Herrajestas... Minähän olen kokoajan puhunut siitä mitä tuo Gödelin lause sanoo. Se sanoo (käsiä heilutellen), että lukuteoriassa on aina tosia väitteitä, jotka eivät ole todistuvia! Täten on selvää, että ne ovat aivan eri asioita. Se ei silti muuta sitä, että Gödel ei todistanut mitään sellaista, mitä tuttumies väitti. Vai oletko tästä erimieltä?

"Siis koko kirjoittamasi perustuu tähän saivarteluun:
"todistamattomia aksioomia" vastaan "ei tarvitse todistaa"."

Höpöhöpö...
Formaaleissa systeemeissä ei ole mitään mieltä puhua aksioomien totuudesta (vertaa valinta-aksiooma tai paralleeliaksiooma, joiden totuudesta puhumiseen meillä ei ole välineitä). Ja kuten jo linkin avulla osoitin, formaaleissa systeemeissä aksioomat ovat suoraan määritelmällisesti todistuvia, joten väite aksioomien todistamattumuudestaan on väärä, ainakin formaaleissa systeemeissä, joita Gödelin elämäntyö koskee. Olkoonkin se sinusta kuinka saivartelua.

Ja sitä paitsi, moderni matematiikka on yhtä suurta saivartelua. Ensin asiat määritellään täsmällisesti ja sen jälkeen näiden pohjalta saivarrellaan ankarasti. Kanssasi keskustelu on tuskallista, kun koskaan ei tiedä mitä milläkin tarkoitat. Esimerkiksi et määritellyt mitä tarkoitat matemaattisella järjestelmällä, varmaankaan et ainakaan formaalia systeemia, jossa aksioomat ovat jo määritelmällisesti todistuvia (ellet sitten todistavuudella tarkoita todeksi osoittamista, mikä on taas jo ihan eri asia). Mutta mitä sillä mahdat tarkoittaa? Ja jos kerran puhumme asioista, joista et kerran ymmärrä mitään, niin miksi sitten intät?

Lue lisää

Hyvää pääsiäistä samoin.