Moro,
Voisiko joku kertoa mahdollisimman yksityiskohtaisesti (step by step) miten funktiosta y=sqrt(x) päästään määrättyyn integraaliin y=2/3* 5*sqrt(5). (integroimisväli 1-5)
Meneekö homma niin, että tuo 5*sqrt(5) leskee ensin alueen suorakaiteen pinta-alan, josta sitten vähennetään 1/3-osaa kaarevuuden takia. Tavallaan kysymys siis onkin, että minkä seurauksena, ja mistä tuo 2/3-osaa tulee tuohon eteen.
Osoitteessa http://www.oph.fi/etalukio/opiskelumodulit/pimatem/paavalikko/pmku8/pmku8_16.html asia on kyllä selitetty, mutta se ei kuitenkaan aukea matematiikkaa osaamattomalle ensinkään. Jostain käsittämättömästä syystä integroimisväli 1-5 muuttuu kuin salaman iskusta 0-5 vaikka kaikissa muissa esimerkeissä se on ainakin tähän asti pysynyt muuttumattomana. Toinen ihmetyksen aihe on dx, joka katoaa kaavasta kuin pieru Saharaan.
Mua ei siis kiinnosta "tee näin ja näin", vaan miksi.
Jonttu
Voisiko joku kertoa mahdollisimman yksityiskohtaisesti (step by step) miten funktiosta y=sqrt(x) päästään määrättyyn integraaliin y=2/3* 5*sqrt(5). (integroimisväli 1-5)
Meneekö homma niin, että tuo 5*sqrt(5) leskee ensin alueen suorakaiteen pinta-alan, josta sitten vähennetään 1/3-osaa kaarevuuden takia. Tavallaan kysymys siis onkin, että minkä seurauksena, ja mistä tuo 2/3-osaa tulee tuohon eteen.
Osoitteessa http://www.oph.fi/etalukio/opiskelumodulit/pimatem/paavalikko/pmku8/pmku8_16.html asia on kyllä selitetty, mutta se ei kuitenkaan aukea matematiikkaa osaamattomalle ensinkään. Jostain käsittämättömästä syystä integroimisväli 1-5 muuttuu kuin salaman iskusta 0-5 vaikka kaikissa muissa esimerkeissä se on ainakin tähän asti pysynyt muuttumattomana. Toinen ihmetyksen aihe on dx, joka katoaa kaavasta kuin pieru Saharaan.
Mua ei siis kiinnosta "tee näin ja näin", vaan miksi.
Jonttu
Vastaukset 6
Vanhimmat
MÄÄPÄ TIEDÄN MUTTA EN KERRO! BUAHAHAHAHAH!!!!
...musta tuntuu, että olet ansiosidonnaisella?
Jonttu
en tiedä mitä sqrt tarkoitetaan. (jokin juuri?)
joten en kommentoi siitä sen enempää.
eli integraalin peruskaava on (sovitaan että I on integrointi merkki)
I(x^n)dx =(x^(n 1)/n 1) C, missä C on joku vakio ja n on eri suuri kuin -1
kaavoissa dx on pelkkä merkintä tapa, jonka ainoa merkitys on kertoa mitä muuttujaa integroidaan.
esim.
I(ax²)da antaa eri vastauksen kuin I(ax²)dx
I(ax²)da = a²*(x²/2) C, missä x ja C on jokin vakio
I(ax²)dx = (a/3)*x³ C, missa a ja C on jokin vakio
eli se vain kertoo mitä muuttujaa integroidaan.
esimerkki:
lasketaan määrätty I(0:sta 1:een) (3x) dx
riemann-integraalilla (eli lasketaan pinta-ala 'pylväillä' eli ylä- ja alasummat)
jaetaan väli 0 - 1 osaväleihin Dn = {x0,x1,x3,..xn}, missä 0=x1
"S(Dn) = 3/n³ * k(k 1)/2 = 3/2 * (n² - n)/n² = 3/2 * n²(1-1/n)/n² = 3/2 * (1-1/n)"
sellaisen virheen huomasin jälkikäteen että vahingossa olin laitta nut väärän muuttujan
eli tuo pitäisi olla:
S(Dn) = 3/n³ * n(n 1)/2 = 3/2 * (n² - n)/n² = 3/2 * n²(1-1/n)/n² = 3/2 * (1-1/n)
.. "sqrt(x)" on neliöjuuri x:stä. Merkitsin sen noin tietokonemaisesti, koska en keksinyt muutakaan selkeää tapaa merkitä neliöjuurta käytettävissä olevilla kirjaimilla ja ajattelin porukoiden käyttäneen tätä sqrt()-funktiota entuudestaan esim. Excelissä.
Voisitko vielä selventää mistä/miten ihmeestä y=sqrt(x) integrointi välillä 1-5 muttuu määrätyssä integraalifunktiossa muotoon 2/3*5*sgrt(5). Tämä sama kaava on siinä etälukion tehtäväesimerkissä (3E), mutta se 2/3-osan syntymekanismi on vielä epäselvä.
Mulla ei ole mitään vaikeuksia ymmärtää tuota ylä- ja alasummien kautta tapahtuvaa pinta-alan estimaattia, mutta sehän ei olekkaan sama tapa kuin mitä käytetään määrätyn integraalin laskentatavassa. Ymmärtääkseni määrätty integraali antaa aina absoluuttisen tarkan pinta-alan mihin taas tuo ylä/alasummien käyttö ei koskaan pysty.
Jonttu
jos ollaan oikein pilkun nussioita niin mikään tapa ei pysty kertomaan todellista pinta-alaa. 'pituus on vain harhaa'
palaan siihen antamaani esimerkkiin (jossa sain laskettua että pinta-ala on 3/2
oikea pinta-ala = 3/2 'jotain niin hemmetin pientä että sillä ei ole mitään merkitystä'
periaatteesta se on sama tapa, koska tuo 'määrätty'-integraali teoria on kehitetty yla/alasumma ajattelusta. jossakin tapauksessa on vaikea laskea noita yla/alasummia, joten siksi on kehitetty tuo 'määrätty-integraali' -> ei tarvitse keksiä pyörää uudestaan
sitten siihen itse kysymykseen.
eli sqrt(x) = x^½ (ja kolmasjuuri(x) = x^(1/3),jne.)
eli lasketaan kaavan mukaan(melkein kaikkien välimuotojen kanssa):
f'(x)=sqrt(x) = x½ f(x) = 1/(1/2 1) * x^(1/2 1) c = 1/(3/2) * x^(3/2) c = 2/3 * x*x^(1/2) c = 2/3 * x*sqrt(x) c
sitten lasketaan pinta-ala välillä [1,5]
eli erotus:
f(5) - f(1) = (2/3* 5*sqrt(5) c) - (2/3*1*sqrt(1) c) = 2/3 * 5*sqrt(5) c - 2/3 - c = 2/3(5*sqrt(5) - 1)
siiten kun lasketaan samallailla väliltä [0,5] niin tulos on tuo 2/3*5*sqrt(5)
kävin katsomassa siellä etälukion sivulla. tehtäväksi oli annettu laskea integraali väliltä [1,5], mutta vastaus oli taas annettu niin että olisi pitänyt integroida väliltä [0,5]. että sellainen kirjoitusvirhe oli siinä tehtävässä.