Differentioinnista?

näy olevan dy/dx-kerrointa tuolla y^2-termilläkään.

Homma menee niin, että x:n differentiaali x:n suhteen on 1. Kun differentioidaan x^2, niin saadaan 2x.
Kun differentioidaan y x:n suhteen, niin saadaan dy/dx, ja y^2:sta saadaan 2y dy/dx. Jne.

... että 'derivoituna koko hoito on', paljastuu ymmärryksesi puute.

Ei ole olemassa 'funktion derivaattaa', vaan on olemassa 'funktion derivaatta Suhteessa johonkin muuttujaan'.

Merkitään vaikka f(x,y) = y^3 xy^2 x^2

Olet derivoinut funktion f muuttujan x suhteen. Elikä

df/dx = (3y^2 dy/dx) (y^2 2xy dy/dx) (2x)

Huomaa, että df/dy olisi varsin erinäköinen kuin df/dx.

Kun derivoit y:n x:n suhteen, ajattelet y:tä x:n funktiona. Elikä ajattelet tyyliin y = y(x), missä y(x) on jokin kaava missä esiintyy vain x:ää. Jos et tiedä kaavaa, jätät derivaatan muotoon dy/dx.

Ideana on siis hetkellinen muutos f:ssä kun x muuttuu. (Jos haluamme uskoa, että y on riippumaton x:stä, voimme leikkiä, että y on vakio -- silloin saamme 'osittaisderivaatan muuttujan x suhteen.')

Kolmannessa termissäsi ei ole dy/dx siitä syystä, että sitä ei kertakaikkiaan muodostu siihen! Jos oikeasti osaisit derivoida, huomaisit tämän itsekin. Ei ole mitään 'sopimusta' että dy/dx pitäisi laittaa kaikkien termien yhteyteen. Kolmannessa termissä ei edes esiinny y:tä.

Esim. Tokan termin derivointi.

d(xy^2)/dx
= dx/dx * y^2 d(y^2)/dx * x
= y^2 2xy dy/dx

Ensimmäinen yhtäsuuruus saadaan 'tulon derivoimisen säännöstä:

d(gh)/dx = g*dh/dx h*dg/dx.

Esimerkissämme g = x ja h = y^2

Toinen yhtäsuuruus saadaan 'ketjusäännöstä':

dg/dx = dg/dy * dy/dx

Esimerkissämme g = y^2

Tuo viimeinen sääntö on helppo muistaa, koska se näyttää melkeinpä jakolaskulta, vaikka ei sitä olekaan.