Minulle on tullut pieni epäselvyys differentioiden merkinnöistä. Seuraava on alkuperäinen yhtälö:
y^3 xy^2 x^2 = 0
Differentioituna koko hoito ilmeisesti on näin (sulkeet erottamassa eri termit):
(3y^2 dy/dx) (y^2 2xy dy/dx) (2x) = 0
En oikein ymmärrä, että miksi tuo kolmas termi ts 2x on jätetty ilman tuota dy/dx -merkintää, kun se kaikissa muissa termeissä kerran on. Ilmeisesti tuo on kuitenkin oikea tulos.
Tosi hienoa saada jotain valaistusta tuohon asiaan. :)
y^3 xy^2 x^2 = 0
Differentioituna koko hoito ilmeisesti on näin (sulkeet erottamassa eri termit):
(3y^2 dy/dx) (y^2 2xy dy/dx) (2x) = 0
En oikein ymmärrä, että miksi tuo kolmas termi ts 2x on jätetty ilman tuota dy/dx -merkintää, kun se kaikissa muissa termeissä kerran on. Ilmeisesti tuo on kuitenkin oikea tulos.
Tosi hienoa saada jotain valaistusta tuohon asiaan. :)
Vastaukset 4
Vanhimmat
näy olevan dy/dx-kerrointa tuolla y^2-termilläkään.
Homma menee niin, että x:n differentiaali x:n suhteen on 1. Kun differentioidaan x^2, niin saadaan 2x.
Kun differentioidaan y x:n suhteen, niin saadaan dy/dx, ja y^2:sta saadaan 2y dy/dx. Jne.
... että 'derivoituna koko hoito on', paljastuu ymmärryksesi puute.
Ei ole olemassa 'funktion derivaattaa', vaan on olemassa 'funktion derivaatta Suhteessa johonkin muuttujaan'.
Merkitään vaikka f(x,y) = y^3 xy^2 x^2
Olet derivoinut funktion f muuttujan x suhteen. Elikä
df/dx = (3y^2 dy/dx) (y^2 2xy dy/dx) (2x)
Huomaa, että df/dy olisi varsin erinäköinen kuin df/dx.
Kun derivoit y:n x:n suhteen, ajattelet y:tä x:n funktiona. Elikä ajattelet tyyliin y = y(x), missä y(x) on jokin kaava missä esiintyy vain x:ää. Jos et tiedä kaavaa, jätät derivaatan muotoon dy/dx.
Ideana on siis hetkellinen muutos f:ssä kun x muuttuu. (Jos haluamme uskoa, että y on riippumaton x:stä, voimme leikkiä, että y on vakio -- silloin saamme 'osittaisderivaatan muuttujan x suhteen.')
Kolmannessa termissäsi ei ole dy/dx siitä syystä, että sitä ei kertakaikkiaan muodostu siihen! Jos oikeasti osaisit derivoida, huomaisit tämän itsekin. Ei ole mitään 'sopimusta' että dy/dx pitäisi laittaa kaikkien termien yhteyteen. Kolmannessa termissä ei edes esiinny y:tä.
Esim. Tokan termin derivointi.
d(xy^2)/dx
= dx/dx * y^2 d(y^2)/dx * x
= y^2 2xy dy/dx
Ensimmäinen yhtäsuuruus saadaan 'tulon derivoimisen säännöstä:
d(gh)/dx = g*dh/dx h*dg/dx.
Esimerkissämme g = x ja h = y^2
Toinen yhtäsuuruus saadaan 'ketjusäännöstä':
dg/dx = dg/dy * dy/dx
Esimerkissämme g = y^2
Tuo viimeinen sääntö on helppo muistaa, koska se näyttää melkeinpä jakolaskulta, vaikka ei sitä olekaan.
"Jos oikeasti osaisit derivoida, huomaisit tämän itsekin."
Tais mennä tunteisiin :D
>Ei ole olemassa 'funktion derivaattaa', vaan on olemassa 'funktion derivaatta
>Suhteessa johonkin muuttujaan'.
>Merkitään vaikka f(x,y) = y^3 xy^2 x^2
Tätä voisi vähän tarkentaa seuraavasti (olettaen että funktio on derivoituva):
Derivoituvalla funktiolla f: A->B on derivaatta f '(a) pisteessä a (a on siis määrittelyjoukon A piste). Derivaatta f '(a) on lineaarifunktio A->A.
Ylläolevassa esimerkissä esitetyn funktion voidaan ajatella kuvaavan pintaa, jossa funktion arvo esittää pinnan korkeuden kussakin xy-tason pisteessä. Pisteessä (x,y) funktion derivaatta f '(a) = f '(x,y) on siis lineaarikuvaus R*R -> R*R, ja se kuvaa pisteessä (x,y,f(x,y)) pinnan f tangenttitason asentoa.
Puhutaan myös funktion derivaattafunktiosta. Tämä puolestaan on kuvaus A:lta sen lineaarikuvausten A->A joukolle. Derivaattafunktio siis saa arvokseen funktioita (jotka ovat aina lineaarikuvauksia).
Ylläoleva kirjoittaja, puhuessaan "derivaatasta suhteessa johonkin muuttujaan" viittaa itse asiassa osittaisderivaattaan k.o. muuttujan suhteen.
Huh, meniköhän oikein.