funktio derivoituva??

Funktion derivoituvuudelle on välttämätön ehto, että funktio on myös jatkuva. Jatkuvuus on välttämätön mutta ei riittävä ehto derivoituvuudelle; jatkuva funktio ei välttämättä ole derivoituva.

Toisinpäin pätee suoraan että jatkuva funktio on derivoituva.

Funktion voi osoittaa derivoituvaksi pisteessä x0 ensin määrittämällä funktion vasemman/oikeanpuoleisen raja-arvon ja sitten laskea funktion toispuoleiset derivaatat pisteessä x0. (Derivaatan määritelmä; erotusosamäärän raja-arvo) Mikäli raja-arvot ovat samat ja toispuoleiset derivaatat ovat samat, funktio on derivoituva.

Alkeisfunktiot ovat sitten tapaus erikseen, niitä voi lukion matematiikassa pitää jatkuvina ja derivoituvina. Yleensä funktio, jonka jatkuvuutta ja derivoituvuutta tulee tutkia, on paloittain määritelty funktio.

"milloin funktio on derivoituva"

Funktio f: D_f -> R, jossa D_f on R:n osajoukko, on pisteessä x \in D_f derivoituva, jos U_δ = (x - δ, x δ) on D_f:n osajoukko jollakin δ > 0 ja on olemassa raja-arvo

lim(Δx->0)( (f(x Δx) - f(x)) / Δx ) [ = f'(x) ]

Tämä määritelmä (prof. Pitkäranta esitti sen suurin piirtein näin) on mielestäni mahdollisimman yksiselitteinen.

Laskimethan laskevat numeerisen derivaatan juuri niin, että δ valitaan tarpeeksi pieneksi ja määritetään f:ää approksimoivan suoran kulmakerroin: |f(x δ) - f(x-δ)| / 2δ

Esim. lasketaan funktion f(x) = x^3 derivaatta pisteessä x=3.5 (valitaan δ=0.1):

( (3.5 0.1)^3 - (3.5-0.1)^3 ) / (2*0.1) =
( 3.6^3 - 3.4^3 ) / 0.2 ~= 36.76

"Tarkka" arvo on f'(3.5) = 2*3.5^2 = 36.75

Laskin tietenkin valitsee δ = 10^-6 tai jotain sinne päin, jolloin numeeriset arvot poikkeavat tarkoista vain hyvin vähän.

Sehän on derivoituva jos se ei oo ensimmäisen asteen yhtälö kaikki korkeampiasteiset yhtälöt voi derivoida, helppoa taitaa olla lukion pitkäki matikka eri asia on täällä amk.ssa täällä matikka joskus on todella rankkaa lukion jälkeen korkeakoulussa vasta tajuaa että mitä matikka on

kiitos todella paljon kaikille...selveni paljon :)