Yhtälö 1. y''-3y' 2y = e^x (yritefunktio Axe^x)
Yhtälö 2. y''-3y' 2y = e^2x (yritefunktio Axe^2x)
Yhtälö 3. y''-3y' 2y = e^3x (yritefunktio Ae^3x)
Mikä ratkaisee em. yhtälöissä ns. yritefunktion muodon, kun esim. yhtälössä 3. on erillainen yrite, vaikka yhtälö on samanlainen? Kyseessä on määräämättömien kertoimien menetelmä.
Yhtälö 2. y''-3y' 2y = e^2x (yritefunktio Axe^2x)
Yhtälö 3. y''-3y' 2y = e^3x (yritefunktio Ae^3x)
Mikä ratkaisee em. yhtälöissä ns. yritefunktion muodon, kun esim. yhtälössä 3. on erillainen yrite, vaikka yhtälö on samanlainen? Kyseessä on määräämättömien kertoimien menetelmä.
Vastaukset 3
Vanhimmat
Yritteen muodon ratkaisee yhtälön epähomogeeninen osuus. Eli se joka on yhtäsuuruusmerkin oikealla puolella. Jos esim y'' 7y' y = 5 niin yritteeksi kannattaa kokeilla vakiota A. Jos taas oikealla puolella on vaikkapa x niin yritteeksi kannattaa ottaa Ax jne... Yrite ei tosin aina tuota tulosta. Jos vaikka 5A ei tuota 5x:ää niin seuraavaksi kannattaa kokeilla yhtä astetta suurempaa yritettä Ax^2
"Yhtälö 3. y''-3y' 2y = e^3x (yritefunktio Ae^3x)"
Saitkin jo (oikean) vastauksen, mutta koetan vielä selventää.
'Ideahan' tässä on, että DY:n yleinen ratkaisu on homogeeniyhtälön (HY) ratkaisu DY:n yksittäisratkaisu y_0.
HY:n ratkaisun saat siis ratkaisemalla sen HY:n parhaaksi katsomallasi tavalla (eikös tässä tuosta saa aivan suoraan karakteristisen yhtälön, jonka ratkaisuista saa suoraan HY:n ratkaisun)
HY: y'' - 3y' 2y = 0
(tuon ratkaisu taitaa olla y = Ce^x De^2x)
Yksittäisratkaisun y_0 voit sitten arvata vaikkapa yritteellä tai määrittää ns. vakion varioinnilla (merkitään HY:n ratkaisusta C -> C[x]).
Yrite on ihan silkka arvaus, joka toimii tai ei toimi. Yleensä sen täytyy näyttää aika paljon samalta kuin yhtälön epähomogeeninen osa, koska muuten HY:n pelkkää y:tä sisältävästä termistä on vaikea saada samaa kuin epähomogeeniosa.
Joskus yritteeseen voi tulla vaikka kuinka monta vakiota (varsinkin polynomiyritteissä), jotka on sitten helppo ratkaista lineaarisella yhtälöryhmällä.
Koetapa ratkaista esim.
y'' - 3y' 2y = x^8
Tässä yrite olisi (varmaankin) \sum_{k=0}^{8} C_{k} x^{k} eli siis Ax^8 Bx^7 Cx^6 ... I (i, ei 1)
Differentiaaliyhtälön homogeenisen osan (yhtälön oikea puoli on nolla) karakteristisen yhtälön juuret ovat 1 ja 2. Näin sen ratkaisu on
y = C1 e^x C2 e^(2x).
Yhtälön yksityisratkaisu yhtyy tapauksissa 1 ja 2 homogeenisen osan ratkaisuun, jolloin yritteeksi tulee ottaa mainittu yritefunktio. Tapauksessa 3 tätä ei tapahdu, jolloin yritteeksi voidaan ottaa suoraan oikean puolen eksponenttifunktio.
Näin asia mielestäni menee, vaikka en olekaan matematiikkanero.