Kysymys suoran ympyräkartion tilavuuteen liittyen

Utelias kysyjä

Tiedetään, että suoran ympyräkartion tilavuus on V= 1/3(pii)h(r^2 rR R^2), jos r ja R ovat pohjien säteet.

Mistä tuo sulkujen sisällä oleva lauseke saadaan ? Tiedän kyllä, että pohjaympyrän pinta-ala on (pii)r^2, mutta en siltikään ymmärrä. Ja tuo "rR" kanssa kummastuttaa. Osaisiko joku selittää ?

15

214

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • aeija
    • Utelias kysyjä

      Voiko tuon tehtävässä lasketun kaavan yleistää ? Oletetaan nyt siis yleisellä tasolla.

    • Ämpäri

      Käytetään integrointia.
      Muodostetaan suora, joka kulkee pisteiden (0,R) ja (h,r) kautta. Kun tämä suora pyörähtää x-akselin ympäri, niin kyseessä olevat katkaisty kartio saadaan ottamalla tasojen x = 0 ja x = h välinen osa tästä pyörähdyskappaleesta.

      Suoran yhtälö on y = R - ((R-r) / h) * x . Silloin kartion tilavuus on

      Int {PI*y^2 dx: (0

    • ärÄR

      Tuo kaava on katkaistun ympyräkartion tilavuus.

      Voisi kuvitella, että kaavan saa johdettua kahden ympyräkartion tilavuuden erotuksesta, eli tilavuus isompi miinus tilavuus pienempi.

      • aeija

        Katkaistun ympyräkartion tilavuuskaavan saa johdettua tuolla tukkipuu-linkin loppupuolella olevalla pähkäilyllä, siis ilman integrointia, mutta en ala sitä tähän enää kopioimaan

      • aeija
        aeija kirjoitti:

        Katkaistun ympyräkartion tilavuuskaavan saa johdettua tuolla tukkipuu-linkin loppupuolella olevalla pähkäilyllä, siis ilman integrointia, mutta en ala sitä tähän enää kopioimaan

        tossa se nyt on: http://aijaa.com/zOM0Co

      • aeija
    • 1+17

      Jos katkaistun kartion korkeus on h ja "puuttuvan kärkikartion" korkeus on k, saadaan yhdenmuotoisista kolmioista:
      (h k)/k = R/r => k = r*h/(R-r)
      Ja tilavuus on kartioiden erotus:
      V = 1/3*pii*((k h)*R^2-k*r^2)
      Noista pienellä pyörityksellä.

    • Ämpäri

      Katkaistun ympyräkartion tilavuus voidaan saada myös tynnyrikaavasta.

      Tynnyrin tilavuus ~ h * (A1 4A2 A3) / 6,

      missä h on korkeus, A1 on pohjan ala, A2 on keskipoikkileikkauksen ala ja A3 on yläpohjan ala. Tämän perustana on tunnettu Simpsonin integrointikaava, joka on saatu approksimoimalla integraalifunktiota parabeleilla. Se on siis tarkka, jos integroitava funktio on toisen asteen polynomi.

      Katkaistulle ympyräkartiolle saadaan tynnyrikaavasta

      V = PI * h * (R^2 4 * ((R r) / 2)^2 r^2) / 6, mistä vähän sieventämällä saadaan tunnettu lauseke.

    • Snickers119

      Mites muuten tuo lauseke sitten sievenee, kun K:n arvo sijoitetaan ?

      Itse olisin sen hahmotellut jotenkin näin:

      V=PI (( R-r/h)^2)/3 ( R-r/h)r r^2

      Saako nuo h:n arvot sievennettyä pois ? Kun sinne pitäisi jäädä se yksi h (PI h/3)

      • aeija
    • Snickers119

      Nimerkille "Aeija" itsekin sain saman, mutta mietityttää nyt kuitenkin, kuinka tuolle Rr:lle saa positiivinen arvo ? Kun -2Rr Rr= -Rr, ja pitäisi jotenkin saada positiivinen termi. Osaisitko sinä, tai joku muu kertoa, kuinka se siitä tulee ?

      • 1+17

        Ainakin tuolla yllä olevia kaavoja soveltamalla tulee:
        (h k)/k = R/r => k = r*h/(R-r)
        V = 1/3*pii*((k h)*R^2-k*r^2); k sijoittamalla saadaan:
        V = 1/3*pii*((R^3-r^3)/(R-r)); suorittamalla jakolasku:
        V = 1/3*pii*(R^2 R*r r^2);

      • aeija

        siinähän on -2/3Rr Rr, ja tuo on 1/3Rr, ja sitten viety 1/3 sulkeitten eteen

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Mielessäni vieläkin T

      Harmi että siinä kävi niinkuin kävi, rakastin sinua. Toivotan sulle kaikkea hyvää. Toivottavasti löydät sopivan ja hyvän
      Ikävä
      40
      2072

    2. Pupuhuhdasta löytyi lähes sadan kilon miljoonalasti huumeita

      Pupuhuhdasta löytyi lähes sadan kilon miljoonalasti huumeita – neljä Jyväskylän Outlaws MC:n jäsentä vangittu: "Määrät p
      Jyväskylä
      47
      1624

    3. Persut petti kannattajansa, totaalisesti !

      Peraujen fundamentalisteille, vaihtkaa saittia. Muille, näin sen näimme. On helppo luvata kehareille, eikä ne ymmärrä,
      Maailman menoa
      29
      1481

    4. Ei luottoa lakko maahan

      Patria menetti sovitun ksupan.
      Suomen Keskusta
      23
      1462

    5. Nellietä Emmaa ja Amandaa stressaa

      Ukkii minnuu Emmaa ja Amandaa stressaa ihan sikana joten voidaanko me koko kolmikko hypätä ukin kainaloon ja syleilyyn k
      Isovanhempien jutut
      6
      1441

    6. Nähtäiskö ylihuomenna taas siellä missä viimeksikin?

      Otetaan ruokaöljyä, banaaneita ja tuorekurkkuja sinne messiin. Tehdään taas sitä meidän salakivaa.
      Ikävä
      1
      1415

    7. Sinäkö se olit...

      Vai olitko? Jostain kumman syystä katse venyi.. Ajelin sitten miten sattuu ja sanoin ääneen siinä se nyt meni😅😅... Lis
      Ikävä
      2
      1387

    8. Housuvaippojen käyttö Suomi vs Ulkomaat

      Suomessa housuvaippoja aletaan käyttämään vauvoilla heti, kun ne alkavat ryömiä. Tuntuu, että ulkomailla housuvaippoihin
      Vaipat
      1
      1321

    9. Hyvää yötä ja kauniita unia!

      Täytyy alkaa taas nukkumaan, että jaksaa taas tämän päivän haasteet. Aikainen tipu madon löytää, vai miten se ärsyttävä
      Tunteet
      2
      1250

    10. Lepakot ja lepakkopönttö

      Ajattelin tehdä lepakkopöntön. Tietääkö joku ovatko lepakot talvella lepakkopöntössä ´vai jossain muualla nukkumassa ta
      Hämähäkit, kotilot ja hyönteiset
      6
      1229
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt