Logiikka hoi, älä jätä!

Alkeismatematiikassa ei itse asiassa yritetä määritellä äärettömyyttä muuten kuin epäsuorasti. Esimerkki

lim {1/x: x -> ääretöntä} = 0.

Tämä päätellään seuraavasti. Olkoon € > 0. Kun x > M(€), niin 1/x < €. Tässä erikoistapauksessa M(€) = 1/€. Siis olkoon € kuinka pieni luku tahansa, joka on > 0, niin 1/x < €, kun x on tarpeeksi suuri.

Tässä ei siis varsinaisesti sanota, että x on ääretön, vaan että x on tarpeeksi suuri äärellinen luku.

Tutustu aluksi vaikka Cantorin ajatuksiin äärettömyyksistä. Cantorin mukaan eri suuruisia äärettömyyksiä on olemassa.
Palaa palstoille äärettömyys kysymyksillä vasta kun olet tututunut Cantorin ajatuksiin.

Joukko määritetään äärettömäksi, jos sillä on aito osajoukko, mikä on yhtä mahtava kuin joukko itse. Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukko on ääretön, koska sillä on aito osajoukko esimerkiksi parillisten lukujen joukko, joiden välille voidaan muodostaa bijektio f(n)=2n, joukolta N sen aitoon osajoukkoon 2N

Voidaankin aloittaa ääärettömyyskeskustelu uudestaan. Tarkastellaan kahta joukkoa A={1,2,3,4,...} ja B={1,2,3,4,...} Ne ovat yhtä mahtavat joukot, sillä niiden välille voidaan muodostaa bijektio f(n)=n. Muodostetaan nyt joukko C = {0} A . Matemaatikoiden määritelmien mukaan tämäkin on yhtä mahtava joukko kuin A ja B, sillä joukolta C voidaan määritellä bijektio niille kuvauksella f(n)=n 1.

Mutta mietitään ja katsotaan nyt tarkemmin. Kuvauksessa f(n)=n on kaikki joukon A alkiot liitetty jo joukon B alkioihin yksi yhteen. Lisätään siihen alkio 0 ja saadaan joukko C - mihin se enään voidaan liittää joukossa B, kun kaikki alkiot ovat jo varattuja? Onko äärettömyyden määritelmässä ja siinä, että se sidotaan bijektion määritelmään mieltä?

Koululainenko siellä äärettömyyksiä miettii :)

Laitetaan tähän taustaksi sitaatti netistä ei niin arvovaltaisesta lähteestä:

"Reippaita yrityksiä äärettömyyden mittaamiseksi on tehty. Georg Cantor (1845-1918) käytti välineenään joukko-oppia. Hänen onnistui todistaa algebralla, että äärettömän suuri joukko voi olla yhtä mahtava kuin sen aito osajoukko. Hän tuli hulluksi. Häntä seurasi Kurt Gödel (1906-1978), joka todisti, että matematiikkaan sisältyy aksioomia, joita ei milloinkaan voida todistaa. Hänkin tuli hulluksi. "

Kertoo vain, ettei ehkä kannata (!).
Oikeastaan on niin, ettei 'luomuäärettömästä' kannata ottaa ajatusmallia matematiikkaan (vähän kuin neljäs ulottuvuus, mihin suuntaan se olisi), koska matematiikan ääretön on matematiikan sisällä luotu käsite ja jos se siellä pelaa ja tekee tehtävänsä, eri mahtavuuksillakin, niin mikä ettei eli homma ok. Kuten 4:n ulottuvuuden käsittely koordinaateilla (vektoreilla) menee loogisesti ihan yhtä sujuvasti kuin 3:n ulottuvuuden käsittely; ei haittaa vaikka ei tiedetäkään 4:nnen eikä 5:nnenkään ulottuvuuden 'suuntaa'.

Ääretöntä sitten muuten matematiikan ulkopuolella voi joutessaan miettiä kuka mitäkin tahtoo, eikä siihen toisella ole paljon sanomista

Järjellisyyden tason saavuttaminen taitaa olla monille äärettömän vaikeaa saavutettavaksi.

Vaatimattomana tarkoituksena oli tuoda esiin se valitettava tosiasia, että matematiikan todistusteora oli jo Cantorin aikana sen verran lepsu loogisesti, että se salli toisensa poissulkevien vastakohtien määrittelyn. Käytännössä kukaan ei kykene edes matematiikassa ylittämään äärellisyyttä, joka on ihmisen mitta.