Hei! Minulla olisi yksi tehtävä, jota en tajua sitten alkuunkaan:
Määritä kuution samasta kärjestä lähtevän pohjan lävistäjävektorin ja avaruuslävistäjävektorin välinen kulma??
Voisitteko auttaa? En tiedä miten selviydyn tästä...
Määritä kuution samasta kärjestä lähtevän pohjan lävistäjävektorin ja avaruuslävistäjävektorin välinen kulma??
Voisitteko auttaa? En tiedä miten selviydyn tästä...
Vastaukset 11
Vanhimmat
Kannttaisi yleispätevänä sääntönä kertoa vähän, mitä osaa, kun kysyy jotain. Oletan nyt siis, että osaat ainakin pistetulon;
Olkoon kuution sivun pituus a. Sijoitetaan kuutio avaruuteen niin, että yksi sen kärjistä (se josta molemmat vektorit lähtevät) on origossa, ja vastakkainen kärki pisteessä P=(a,a,a). Origon pohjassa olevaa kärkeä vastakkainen pohjan kärki on pisteessä Q=(a,a,0)
Pohjan lävistäjävektori on
b = OQ = ai aj
Avaruuslävistäjävektori on
c = OP = ai aj ak
Pistetulo on kahta "määritelmää" käyttäen
b·c = a*a a*a 0*a
= a^2 a^2 0
= 2*a^2
ja
b·c = |b|*|c|*cos∡(b,c)
= sqrt(a^2 a^2)*sqrt(a^2 a^2 a^2)*cos∡(b,c)
= sqrt(2a^2*3a^2)*cos∡(b,c)
= a^2*sqrt(6)*cos∡(b,c)
Missä sqrt on neliöjuuri ja cos∡(b,c) kysytyn kulman kosini. Yhdistämällä tulokset ja ottamalla arkuskosini saadaan kulman suuruus
a^2*sqrt(6)*cos∡(b,c) = 2a^2
cos∡(b,c) = 2/sqrt(6) * a^2/a^2
∡(b,c) = arc cos (2/sqrt(6))
= arc cos (sqrt(6)*2/sqrt(6)^2 )
= arc cos sqrt(6)/3
~ 0.61549
~ 35.26 astetta
~ 35 astetta.
(toki tuon voi suoraan heittää laskimeen jos ei jaksa sievennellä).
Toivottavasti en huolimaattomuksissani mennyt tekemään mitään mokaa, toivottavasti on apua.
Kiitos kovasti avusta :)) Nyt ymmärsin tuon!! Ja kyllä osaan pistetulon, se vain unohtui mainita ;)
Hyvä jos ymmärsit. Ei siinä muuten mitään, mutta on vähän turhauttavaa kirjoittaa vastausta jos ei ollenkaan tiedä millä tasolla kysyjä on. Parhaimmillaan täällä on lyhyen matikan lukijoille neuvottu epäoleellisia integraaleja ja useamminkin on lukion toisella kursilla olevia ohjeistettu määrittämään paraabelin huippua derivoimalla, mikä on tietysti ärsyttävää sekä vastaajan että kysyjän kannalta.
Jos muuten huomasin tuon alempana olevan jonkun kirjoittaman viestin, jossa sama oli tehty geometrian perusteella päättelemällä ja ärsyynnyit siitä miksi tätä pitää opetella, lue ihmeessä myös minun vastaukseni ketjuun (nimim. "vastannut"). Huomaat, että jos vektorit osaa kunnolla ja "näkee" suoraan kuin geometrian, saa vastauksen myös vektoreilla ihan parilla rivillä. Minä vain tein monen välivaiheen kautta, jotta ymmärtäisit todennäköisemmin.
Sivun lävistäjä on sqrt(2) (sivun pituus 1 ) ja kuution lävistäjä menee samaan kulmaan mutta ylätasolle elikä kulma on atan( 1/sqrt(2))
Kuinka vektorilaskenta ja sen taitaminen helpottaa ja yksinkertaistaa tällaisten vaikeasti käsiteltävien ongelmien ratkaisuja.
Jos tehtävä ohjeistetaan vektoreilla laskettavaksi, on se yleensä myös hyvätapaista ratkaista vektoreilla. Opettajille näitä kuitenkin tehdään, sanovat mitä sanovat.
Toki tuo oli geometrian perusteella selvää, näin se on vain näytetty myös vektoreilla.
Eipä tosiaan tarvitse selitellä, miksi matematiikkaa pidetään vaikeana ja yhä useampi vierautuu aiheesta.
Onko opetuksessa jotain pahasti vialla, kun aivan yksinkertaisimpiakin tehtäviä pyritään opettamaan "oikeaoppisesti", ilman omaa oivallusta, ja hyväksyttävänä pidetään vain ulkoa opeteltujen monimutkaisten menetelmien käyttö.
Joukko -oppi oli jo suurimpia opetusvirheitä. Muihin tarkoituksiin lienee sopiva, mutta matematiikan pohjaksi vain asioita sotkeva ja vaikeaselkoinen, tämä on jo yleisesti myönnetty .
Ollaanko nyt matematiikkaan lanseeraamassa "uutta-aaltoa", jossa suoritustavan ortodoksisuus ohittaa lopputuloksen tavoittelun eli ensisijainen olisi opetuksen "opiminen" , ei sen ymmärtäminen ? ? ?
Katsokaa ylläolevaa opetusta ja ihmetelkää, oli selittelyt mitä hyvänsä.
Minä revin jo ihokastani, enkä varmaan ole ainoa tässä joukossa.
"Ollaanko nyt matematiikkaan lanseeraamassa "uutta-aaltoa", jossa suoritustavan ortodoksisuus ohittaa lopputuloksen tavoittelun eli ensisijainen olisi opetuksen "opiminen" , ei sen ymmärtäminen ? ? ? "
Näinhän se tavallaan on. Jos ollaan opiskelemassa jotain asiaa, on tarkoituksena opiskella nimenomaan sitä, ei toistaa vanhaa. Ei sitä uutta muuten opi. On kuitenkin huomattava, että esimerkiksi juuri vektoreilla on paljon, paljon enemmän käyttötarkoituksia kuin tällainen geometrinen pähkäily, asioita, joita ei juuri "perinteisen" geometrian avulla voi selvittää. Ja jos kolmiulotteisten vektorien pistetuloa ei tässä ymmärrä, voi olla hankalaa sisäistää reitti-integraaleja. En tietenkään tarkoita että kaikki juuri niitä koskaan tarvitsisivat, mutta ymmärtänet mitä ajan takaa.
Huomauttaisin vielä, että tein tuon alkuperäisen laskun aika perinpohjaisesti. Jos teen saman yhtä vähin välivaihein ja merkinnöin kuin "Näin meillä" teki omansa, saan
b·c = 1*1 1*1 0 = 2 (sivun pituus 1)
bc cosα = sqrt(1 1)*sqrt(1 1 1) cosα = sqrt(6) cosα
=> cosα = 3/sqrt(6) => α ~ 0.615
Mihin ei kovin montaa riviä mene. Että näin, jos vektorit jo osaa. Useammat vaan osaavat geometrian paremmin. Halusin selittää perin pohjin, jotta kysyjä olisi jotain kenties ymmärtänytkin.
Hetkinen
Eikös vektorilaskenta ole vain sopimus tietyistä nimityksistä ja perusgeometrian kaavoista johdetuista laskentatavoista.
Itse vektorilaskentaa ei välttämättä tarvita , joissain se voi olla kätevää, joissain ei, mutta laskentamenetelmällä ei ole mitään tekoa jos ei ymmärrä geometriaa johon menetelmää sovelletaan.
Perusteet ja perusasiat ensin, sitten voi opetella eri menetelmiä ja käyttää itselle parhaiten sopivaa.
(Kuka muuten käyttää determinenttejä yhtälöryhmiin tai mikä on niin vaikea ongelma, joka ei ratkea kuin vektorilaskennalla jne.)
Miten päin nyt ollaan puuhun kiipeämässä ?
eiköhän se geometria ole jo käsitelty siinä vaiheessa kun vektoreita opetetaan.
Jos opettaja käskee maalaamaan vesiväreillä, silloin ei piirretä liituväreillä vaikka niin aina alemmilla luokilla tehtiin ....