On 4 astiaa, joihin tipautetaan yksitellen 4 kuulaa.
Kuula voi mennä samalla todennäköisyydellä mihin tahansa astiaan, niin mikä on todennäköisyys sille että jokaiseen astiaan menee yksi kuula ?
Meneekö td siten että 1*3/4*2/4*1/4, vai niin että kun kaikkien mahdollisten tapausten määrä on 35, ja tavoiteltava toteutuu vain yhdellä tavalla , niin todennäköisyys olisi 1/35 ? ?
Tai toisin, todennäköisyys että kaikki osuu tiettyyn astiaan, onko 1/4^4 vai 1/35 ? ?
Kuula voi mennä samalla todennäköisyydellä mihin tahansa astiaan, niin mikä on todennäköisyys sille että jokaiseen astiaan menee yksi kuula ?
Meneekö td siten että 1*3/4*2/4*1/4, vai niin että kun kaikkien mahdollisten tapausten määrä on 35, ja tavoiteltava toteutuu vain yhdellä tavalla , niin todennäköisyys olisi 1/35 ? ?
Tai toisin, todennäköisyys että kaikki osuu tiettyyn astiaan, onko 1/4^4 vai 1/35 ? ?
Vastaukset 10
Vanhimmat
"Meneekö td siten että 1*3/4*2/4*1/4"
Tämä on oikein.
Taitaa olla huumorimielellä heitetty jekku.
No ne 4 kuulaa voi tosiaan asettua 35 eri tavalla astioihin, mutta todennäköisyys ei ole suhde tähän, koska tapahtumat eivät ole samanarvoisia !
Esimerkiksi jatkokysymyksen tapaus voi muodostua vain yhdellä tavalla, kun taas tapaus jossa yhdessä astiassa on 2 ja yksi astia tyhjä, voi muodostua 144 eri tavalla jne (12 eri mahdollista ja jokainen 12 tavalla)
Neljä palloa
Ensimmäinen pallo osuu tyhjään astiaan, tn 4 / 4
Toinen pallo osuu tyhjään astiaan, tn 3 / 4
Kolmas pallo osuu tyhjään astiaan, tn 2 / 4
Neljäs pallo osuu tyhjään astiaan, tn 1 / 4
Joka astiassa yksi pallo todennäköisyys on siis:
(4 / 4) * ( 3 / 4 ) * ( 2 / 4 ) * ( 1 / 4 )=
24 / 256 = 3 / 32 = 0.09375 --> 9.375%.
Todennäköisyys sille, että kaikki neljä palloa
osuvat "tiettyyn astiaan".
(1 / 4) potenssiin 4 = 1 / 256 = 0.0039 --> 0.39%.
Todennäköisyys sille, että kaikki neljä palloa
osuvat "mihin tahansa" yhteen astiaan on tietenkin
nelinkertainen edellä mainittuun verrattuna: 4 / 256.
Edellämainituissa laskuissa ei astioita ja palloja
ole "yksilöity", paitsi tuo "tietty astia".
Neljä nappulaa
Itkulla on myönnettävä laskujeni olevan väärin.
Minulta unohtui yksi tärkeä "argumentti".
Esitän ratkaisun myöhemmin, ellei kukaan ole
sitä ennen asiaa kansantajuisesti laskenut.
Ratkaisu saattaa olla "kaksikäsitteinen".
Kaksikäsitteisiä ratkaisuja tulee vain jos ei ole lukenut tehtävää tarkkaan. Todennäköisyyslaskuissa on olennaista simuloida laskelmalla kuvattua tapahtumaa. Jos sen sijaan laskee vaikkapa mahdollisia lopputiloja, laskelma voi mennä harhaan.
Aloitusviestin tapauksessa erilaisten lopputilojen määrä riippuu siitä, ovatko astiat ja pallot yksilöityjä. Jos kumpikaan ei ole, on erilaisia lopputiloja 5 kpl (1111, 2110, 2200, 3100, 4000). Jos astiat erotetaan esim. numeroimalla mutta palloja ei, on erilaisia lopputiloja laskemani mukaan 41 kpl. Jos pallot erotetaan esim. numeron tai värin perusteella, tulee lopputiloja vielä paljon enemmän, ja vielä enemmän jos erotetaan järjestys jossa useampi tulevat yhteen astiaan. Jos lasketaan tietyn lopputilan, esim. 1111 suhde kaikkien lopputilojen määrään, ei ongelma ole sama kuin alkuperäisessä tehtävänasettelussa.
No mites se todennäköisyys lasketaan kun kuulia onkin 6 kpl ja ja jokaiseen kuppiin pitäisi sada vähintään yksi.
Itse ratkaisisin niin että lasken ensin neljän kuulan eri todennäköisyydet:
* kuulat yhdessä kupissa: 1/64
* kuulat kahdessa kupissa: 21/64
* kuulat kolmessa kupissa: 9/16
* kuulat neljässä kupissa: 3/32.
Jos kuulia onkin viisi, saadaan todennäköisyys, että kaikkiin kuppiin tulee kuulia, summana että neljä ensimmäistä kuulaa menee eri kuppeihin (3/32) plus todennäköisyys että neljä ekaa kuulaa menee kolmeen kuppiin (9/16) kertaa todennäköisyys että viides kuula menee neljänteen kuppiin (1/4) eli 15/64. Jos kuulia on kuusi, otetaan ensin todennäköisyys että kupit täyttyvät viidellä ensimmäisellä (15/64) ja lisätään siihen todennäköisyydet että neljä ensimmäistä täyttää kolme kuppia, viideskin menee niihin ja kuudes menee tyhjään (27/256) ja että kolme ensimmäistä menee kahteen kuppiin, viides yhteen kahdesta tyhjästä ja kuudes viimeiseen tyhjään (21/512). Eli 195/512 jos laskin oikein.
Puolitoista vuotta mietittyäni olen
päätynyt seuraavaan tulokseen:
"Joka tuutissa yksi pallo" tn. 1 / 35.
Erilaiset "samanarvoiset" tulokset (35 kpl):
4000, 0400, 0040, 0004
3100, 3010, 3001, 1300, 0310, 0301,
1030, 0130, 0031, 1003, 0103, 0013
2200, 2020, 2002, 0220, 0202, 0022
2110, 2101, 2011, 1210, 1201, 0211,
1120, 1021, 0121, 1102, 1012, 0112
1111
Eli olemme arponeet neljä karamelliä
Hupun, Lupun, Tupun ja Akun kesken.
Mietipä vielä puolitoista vuotta lisää. Pohdi vaikkapa noiden tapausten 4000 ja 1111 toteutumista. Ensin mainitussa pitää ensimmäisen pallon mennä tiettyyn astiaan, toisen samoin. Jälkimmäisessä saa ensimmäinen pallo mennä mihin tahansa astiaan ja toinen yhteen kolmesta. Jne. Ovatkohan nuo yhtä todennäköisiä tapauksia?
Ylempänä olevat kolme juttua olen kirjoittanut
seuraavilla nimimerkeillä.
(Aina en ole jaksanut etsiä nimimerkkini salasanaa.)
Neljä palloa 18.3.2014 16:42
Neljä nappulaa 19.3.2014 6:51
Neljä_karamelliä 15.11.2015 21:38
18.3.2014 16:42 laskelmani olivat "puuta heinää".
19.3.2014 6:51 totesin erehtyneeni.
15.11.2015 21:38 palasin asiaan toisen ketjun
"Karkkijako"-keskustelun innostamana.
Asiastani olen 99.99 prosenttisen varma, ja voin
kuvata laskun niin selvästi, että lapsikin sen
melkein ymmärtää.
Toivoisin ensin MattiKSinisalon tai jonkun yhtä
oppineen ottavan asiaan kantaa, ennenkuin esitän
oman versioni,