Jatkuvuus ja derivoituvuus

Ei näin sanota aina. Jos sanotaan, niin se on oletus. Monet lauseet eivät päde yleisesti, mutta pätevät jatkuville tai derivoituville funktioille.

Jatkuvuus on funktioon liittyvä topologinen peruskäsite. Intuitiivisesti funktio on jatkuva, jos sen arvot eivät muutu äkillisesti minkään pisteen ympäristössä. Tällaisen funktion kuvaaja on silloin sileä ja kaareva eikä se katkea missään kohdassa.

Yhden reaalimuuttujan tapauksessa funktio f: R -> R on jatkuva pisteessä a , jos ja vain jos sen raja-arvo tässä pisteessä on olemassa ja on yhtä suuri funktion arvon kanssa tässä kohdassa. Jotta raja-arvo olisi olemassa pisteessä a , on vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen oltava yhtä suuret tässä pisteessä.

Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä, eli siinä ei ole epäjatkuvuuskohtia. Funktion jatkuvuus on välttämätön, mutta ei riittävä ehto funktion derivoituvuudelle. Toisin sanoen derivoituva funktio on aina jatkuva, mutta jatkuva funktio ei ole aina derivoituva.

Mikäli funktiolla f on derivaatta, eli erotusosamäärän raja-arvo pisteessä x0, sanotaan että f on derivoituva pisteessä x0. Jos derivaatta on olemassa kaikissa f:n määrittelyjoukon pisteissä, niin sanotaan, että f on derivoituva.

Oletan, että nämä asiat on selvitetty/selvitetään lukion pitkässä matematiikassa, ainakin kysyttäessä.

Matematiikassa kun on oltava täsmällinen, niin pieni korjaus ylläolevaan

>Tällaisen (jatkuvan) funktion kuvaaja on silloin sileä ja kaareva eikä se katkea missään kohdassa.

Jatkuvan funktion kuvaaja ei katkea missään kohdassa. Kuvaaja ei tarvitse olla kaareva, se voi olla suora, ja siinä voi olla teräviä kulmia. Harjoitus: tarkastele itseisarvo funktion y = | x | kuvaaja

En tiedä onko funktion kuvaaja sileys jossain määtitelty. Tätä ei kuitenkaan pidä sekoittaa sileään funktioon. Edes kertaalleen derivoituva funktio ei välttämättä ole sileä.

Tavallaan yllättävä tulos on että on olemassa funktioita, jotaka ovat määtrittelyalueellaan kaikkialla jatkuvia, mutta evät ole derivoituvia missään pisteessä.

Anteeksi kirjoitusvirheet yllä-

Matemaattisessa analyysissä ja luonnontieteissä yleisesti ollaan kiinnostuneita vain jatkuvista funktioista, sillä luonto yleisesti on jatkuva (luonnon prosesseissa tehdään yleensä jatkuvuusoletus, esim. energian ja aineen virtaus. Lisäksi fyysinen etäisyys on jatkuva suure ainakin Planckin mittakaavaan saakka).

Funktion jatkuvuudelle on olemassa yksinkertainen määritelmä, ja monet funktiot sekä niiden summat, erotukset ja yhdisteet tiedetään jatkuviksi, esim. polynomit, eksponettifunktiot, sinifunktio jne.

Kun reaaliarvoinen funktio määritellään jollakin välillä, niin tuo väli on mielekästä valita suljetuksi, sillä näin funktio myös saavuttaa arvonsa välin päätepisteissä, ja nuo arvot voivat hyvinkin olla ääriarvoja. Esim. aidosti monotoninen funktio ei saavuta minimiä tai maksimia avoimella välillä, mutta suljetulla se saavuttaa molemmat. Topologinen tulos on myös se, että jokainen jatkuva funktio saavuttaa ääriarvonsa suljetulla ja rajoitetulla välillä.

Derivoituvuus taas on jatkuvan funktion lisäominaisuus, joka ilmaisee, että funktion kuvaaja (x, f(x)) on sileä käyrä, eikä siinä ole mitään "teräviä" kohtia. Derivaattaa voidaan soveltaa funktion ääriarvojen tarkasteluussa, mutta tämä tarkastelu voidaan tehdä VAIN avoimella välillä, sillä suljetun välin päätepisteessä toispuolista raja-arvoa ei ole määritelty. Derivoituvuus jossain pisteessä vaatii aina toispuolisten derivaattojen olemassaolon.

Tärkein syy miksi aina hoetaan mantraa "tarkastellaan suljetulla välillä jatkuvaa ja avoimella välillä derivoituvaa funktiota..." on se, että silloin saadaan käyttöön Fermantin lause, jonka mukaan suljetulla välillä jatkuva funktio saavuttaa ääriarvonsa 1.) välin päätepisteissä, tai 2.) derivaatan nollakohdissa tai 3.) pisteissä, joissa funktio ei ole derivoituva.