Kaksi autoa ajaa ovaalin muotoisella autoradalla vastakkaisiin suuntiin tasaisella nopeudella . Auto A:n kierrosaika on 73s ja autot kohtaavat toisensa aina 40s välein. Mikä on auto B:n kierrosaika?
En keksi millaista yhtälöä alan rakentamaan?
En keksi millaista yhtälöä alan rakentamaan?
Vastaukset 18
Vanhimmat
Laskisin tehtävänä työnä ja siihen käyttynä tehona. Tehtävä työ on kierroksen kierto ja A:n teho on kierros/73.
B:n teho on kierros/x.
Koko teho on kierros/40
(kierros/73) (kierros/x)=kierros/40
Kahden kohtaamisen välillä auto A ajaa 40/73 kierrosta, auto B vastaavasti 33/73 kierrosta. Nopeudet ovat suorran verrannollisia noihin kierrosmääriin, kierrosajat puolestaan kääntäen verrannollisia niihin.
Tämä on hauska tehtävä. Itse voisin ratkaista sen vaikkapa näin:
Tuolla radan muodolla ei ole mitään merkitystä (oletus !?). Kunhan nyt ajellaan jotain yksinkertaista silmukkaa. Auto A ajaa nopeudella v_A=1krs/(73s). Auton B nopeutta v_B ei tiedetä. Kuitenkin tiedetään, että ajassa 40s autot saavat yhteen laskien yhden kokonaisen kierroksen kierrettyä. Siis (v_A v_B)40s = 1krs. Tästä saadaan v_B = 1krs/(40s)-v_A = 1krs/(40s)-1krs/(73s) = 0,01130krs/s = 1krs/(88,48s). Auto B kiertää siis täyden kierroksen noin 88,5 sekunnissa.
Ja oletus on tietysti se, että autot ajavat tasaista nopeutta radan muodosta riippumatta.
Olkoon radan pituus S. Toisen auton nopeus on S/73 ja toisen auton nopeus S/x (auto ajaa S-pituisen radan x sekunnissa). Autot kohtaavat ja siitä kuluu 40 s kunnes ne kohtaavat uudelleen ja ovat siis yhteensä kiertäneet koko ratakierroksen
(S/73 ) 40 (S/x) 40 = S eli 40/73 40/x = 1 ja siis 40/x = 1 - 40/73 = 33/73 ja lopulta x = 73 (40/33) = 88,5.
Tämä nyt oli sama kuin MKS:n vastaus mutta vähän matemaattisemmin.
Ohman
Voi ajatella myös näin, niin on melkein päässälasku:
A ajaa 40 kierrosta ajassa 40*73 sek = 2920 sek.
Tässä ajassa kohtaamisia on 2920/40 = 73 kpl (näkee edellisestä kertolaskusta).
Tästä A:n kierroksia oli 40, joten B ajoi 73-30 = 33 kierrosta.
B:n kierrosaika on siis 2920/33 sek.
Aika monella tapaa on jo ratkaistu, ja yksi tapa vielä olisi geometrisesti yhdenmuotoisilla kolmioilla. En viitsi sitä tähän nyt laittaa.
Mutta onko tässä nyt kerrankin tehtävä, jota kukaan ei edes yritä integroimalla ? Saattaa olla vähän vaikea kun on tuo ovaalirata, ympyräradalla olisi helppo.
Tossa on geometrisesti laskettuna: http://aijaa.com/sfK4Yc
Miksi ihmeessä näin yksinkertaiseen tehtävään pitäisi sotkea vielä integrointia?Ja kuten vastauksestani näkee tuo radan pituushan supistuu yhtälöstä pois, sitä ei tarvitse tuntea.
Kysyjä kysyi minkälaista yhtälöä pitäisi rakentaa ja sellaisen, äärimmäisen yksinkertaisen, yhtälön olen antanut.
Ohman
Tämä mikään yksinkertainen tehtävä ole. Vastakkaisiin suuntiin ajettaessa ovaaliradalla se kohtaaminen osuu väkisinkin kurviin, ja toisen auton on ajettava ulkorataa, eli kierroksen pituus ei ole ollenkaan sama molemmille autoille.
Eipä sen kierroksen pituuden tarvitse sama ollakaan. Erohan näkyy kierrosajoissa.
KäytetäänJärkeä on oikeassa. Kannattaa aina miettiä, mitä kysytään. Huomataan, että tässä ei kysytä matkoja tai nopeuksia, joten niitä on turha sekoittaa mukaan. Kierrosajan laskemiseen tarvitaan vain aika ja siinä ajettu kierrosmäärä, joten keskitytään niihin. Päässälasku tällöin, jos viitsii jakolaskun 2920/33 - itse lasken sen mieluummin paperilla tai koneella.
Lasketaan tätä nyt sitten.
Otetaan radaksi ellipsi, jonka iso-akseli on 600 m, ja pikkuakseli 200m. Sen kehän pituus on 3445,76 m.
Oletetaan, että auto A ajaa sen kehää, (silloin auton A nopeudeksi tulee 172 km/h).
Oletetaan lisäksi, että auto B on hitaampi, ja ajaa kymmenen metriä A:ta sisempänä.
Auton B ajaman ellipsin kehäksi tulee 3385,49 m.
(Auton B on ajettava sen kymmenen metriä sisempänä, jottei tule nokkakolaria., koska ajettiin vastakkaisiin suuntiin.)
Nyt laskemalla saadaan auton B kierrosajaksi noin 86 s.
(auton B nopeudeksi tulee noin 142 km/h)
Katsoin muuten väärin nuo ellipsien kehän pituudet. Otetaan uusiksi:
Otetaan radaksi ellipsi, jonka iso-akseli on 600 m, ja pikkuakseli 200m. Sen kehän pituus on 2672,98 m.
Oletetaan, että auto A ajaa sen kehää, (silloin auton A nopeudeksi tulee noin 132 km/h).
Oletetaan lisäksi, että auto B on hitaampi, ja ajaa kymmenen metriä A:ta sisempänä.
Auton B ajaman ellipsin kehäksi tulee 2614,39 m.
(Auton B on ajettava sen kymmenen metriä sisempänä, jottei tule nokkakolaria., koska ajettiin vastakkaisiin suuntiin.)
Nyt laskemalla saadaan auton B kierrosajaksi noin 86,5 s.
(auton B nopeudeksi tulee noin 109 km/h)
Niin, ja jos siinä laskussa sitten käytetään noiden kehän pituuksien painotettua keskiarvoa 2644, niin saadaan 88,7 s.
Voihan sitä tehdä tehtävästä vaikka kuinka monimutkaisen tekemällä omia mielivaltaisia oletuksia. Periaatteessa autojen on mahdollista ajaa yhtä pitkiä kierroksia ohittamalla vuorotellen sisä- ja ulkokautta ja sitä on mitä ilmeisimmin tarkoitettu tehtävässä; ei siis pidä välttämättä paikkansa että toisen auton on ajettava ulkorataa. Muut oletukset johtavat väärään tulokseen ja pistevähennyksiin. Tietysti problematikkaa voi sanallisesti tarkastella.
Kyseessä on ovaali, jossa kohtauspaikka vaeltaa pitkin ellipsin kehää, niin ohituksia ei mitenkään voi tehdä vuorotellen, koska seuraava ohitushan voi tulla täysin erilaiseen kaarteeseen. Pitäisi ohitettavan tehdä aina vastaava mutka kuin ohittajakin radan keskipisteen suhteen symmetrisesti vastakkaisella puolella, mutta ei ehdi koska seuraava ohitus painaa päälle. Ei ole muuta mahdollisuutta kuin ajaa sisäkkäin. Ja jos kerran ajetaan sisäkkäin, niin siten se on laskettavakin. Teoreettinen kierrosaikahan on tietysti se 88,5 s, ja aika lähelle sitä pääsin käyttämällä kahta ellipsin kehää, ja sitten painotettua kehäpituuksien keskiarvoa siinä "yhteisessä matkanteossa." .Tämä oli hyvin opettavainen tehtävä, koska ellipsien kehän pituuden laskeminen kannattaa aina kerrata, ja siinä tuli sitä pakollista integrointiakin, tosin Wolframin välityksellä.
Miksi ei voi? Jos ohjeena on että aina ohituksen jälkeen ulommaìsena oleva ajaa sisälle ja päinvastoin niin tuo onnistuu hyvin helposti.
Tasainen nopeus ja vakio kiertoaika edellyttää , että joka kierros on yhtä pitkä.
Tuo taktiikka väistää joka toisella kertaa ei päde edes ympyräradalla saati sitten ovaalilla.
Tarkastellaan nyt ensin autoa A.
Auton kierrosaika on 73 s, ja kun se väistää joka kahdeksaskymmenes sekunti, niin väkisinkin tulee kierros, jolla sen ei tarvi väistää ollenkaan. Itse asiassa se on kuudes kierros, jos A väistää jo heti 40:n sekunnin kohdalla.
A tietysti voi tehdä sillä kierroksella ylimääräisen väistön, jos muistaa.
Mutta sitten B.
B:n kierrosaika on 88.5 s, ja kun sekin väistää joka kahdeksaskymmenessekunti, niin
väkisinkin tulee kierros, jolla sen on väistettävä kaksi kertaa. Se on kymmenes kierros.
Piti kuitenkin olla vakionopeus ja vakio kierrosaika. Se tarkoittaa sitä, että B:n on oikaistava sillä kierroksella ojan kautta, että pysyy aikataulussa.
Ei siis ole mahdollista autojen ajaa vastakarvaan edes ympyräradalla, ajetaan vaan sisäkkäin.