Onko 999999... yhtä kuin ääretön?

Miten sinä määrittelet luvun 999999... ?
Kymmenkantaisessa esityksessä ensimmäinen numero on potenssiltaan suurin, mikä se tässä tapauksessa on? Ehkä pikemminkin pitäisi olla ...999999. Tämä tarkoittaisi 9 9*10 9*100 ...., joka on ääretön.

Äärettömällä ei voi laskea normaalissa mielessä. Voidaan määritellä: ääretön kertaa mikä tahansa positiivinen luku (huomaa: ei nolla) on ääretön ja vastaavasti negatiivinen, miinus ääretön. Ja summeraaukset siten, että ääretöntä ja miinus ääretöntä ei voi summata tai siis niiden summa ei ole määritelty, mutta muut menee niin kuin voisi olettaakin (esim. ääretön plus mitä vaan on ääretön jne.).

Mukavaa pohdintaa. En ota kantaa lukuun numero, ääretön, esim. 3, ääretön, koska luvun suuruusluokka määräytyy joka tapausessa luvun kokonaisosasta. Jatkan pohdintaa tuosta 99999... ja 3333..., jotka molemmat vaikuttavat äärettömiltä. Onhan mikä tahansa reaaliluku pienempi kuin ääretön, eli et voi kirjoittaa lukua joka olisi suurempi kuin 333..., kunhan vain pistät kylliksi kolmosia peräkkäin. Mielenkiintoinen on jako 9999... jaettuna luvulla 3333... . Jos molemmissa on yhtä monta numeroa on vastaus tietysti 3. Nyt onkin helppo ymmärtää, että ääretön jaettuna äärettömällä ei ole määritelty. Se onkin ihan viisasta koska näin edelleen pätee laskusääntö, että jakaja kertaa osamäärä on jaettava eli x kertaa ääretön on ääretön.

Ainoa järkevä tapa määritellä tuo lukusi 99999... on summa(9*10^(n-i), i:0->∞) joka on sama kuin 10^(n 1) ei ääretön. (Paitsi jos vaihdat indeksin 0 tilalle -∞ jolloin summaksi tulee ∞ kuten yllä mainittiin.)

Ts. vaikka on "ykkönen ja ääretön määrä nollia" on jossain kohdin desimaalipilkku ja luku on täten luonnollinen luku.

Siten summa(9*10^(n-i), i:0->∞)/summa(3*10^(n-i), i:0->∞)=1/3 eikä mitään ongelmaa ole.

Kiitos vastauksista! En ymmärtänyt kaikkea, mutta sen verran ymmärsin etteivät minua viisaammatkaan ymmärrä kaikkea. Juuri sellaiset asiat ovatkin kiehtovimpia, joihin ei ole yhtä oikeaa vastausta :)

Eräs alan opiskelija totesi että 9999... ei ole ääretön mutta "lähestyy ääretöntä". Silloin kuitenkin myös 0.9999... näyttäisi lähestyvän lukua 1, ja hän epäili että sen samastaminen lukuun 1 olisi sopimusluontoinen asia. Enkkuwiki tietää kertoa että 0.9999... voidaan todistaa olevan = 1 mutta että jotkut matemaatikot kuitenkin kyseenalaistavat näiden yhtäläisyyden... ota näistä selvä...

Tämän pohiminen pitää aloittaa siitä, että on tehtävä tulkinta, mitä 9999... tarkoittaa.

Tulos 0.999...=1 saadaan silloin kuin 0.999... tulkitaan geometrisen sarjan 0.9 0.09 0.009 ... summana kuten edellä todettiin. Tälle voitaisiin antaa joku muu tulkinta jolloin tulos ei olisikaan välttämättä 1.

Pitää huomata se ero, että jos 9999... tulkitaan äärettömäksi niin lasku 9999.../3 ei ole mielekäs, koska normaalit laskusäännöt pätevät vain luvuille. Äärettömän laskusäännöt ovat pikakirjoitusta, eivätkä ne ole oikeita laskuja.
Sitten taas jos 9999... tulkitaan olevan jokin luku, niin sitten voidaan toki laskea, ja tällöin on olemassa luku 9999... 1 sekä 9999... 2 ja myös 9999... 9999... eikä yksikään niistä ole ääretön. Tästä tulkinnasta riippuu se onko 9999.../3 =3333.... ,mutta joka tapauksessa 9999.../3 on myös jokin luku.

Melko helppo tulkinta on, että 9999... tarkoittaa ääretöntä, ja tällöin myös voisi sanoa, että kaikki "äärettömän määrän numeroita sisältävät kokonaisluvut" (ne eivät ole lukuja) tarkoittavat ääretöntä. Tällöin on merkityksetöntä miettiä niiden keskinäisiä laskutoimituksia, koska ne eivät ole lukuja. Normaalit laskutoimitukset pätevät vain luvuille ja ääretön ei ole luku. Toisaalta ei ole mitään syytä antaa tulkintaa, ja yhtä hyvin voi sanoa, että 9999... ei tarkoita mitään.

Lopuksi vielä, vaikka 9999...tulkitaan äärettömäksi, se ei tarkoita että kaikki äärettömät numerojonot edustaisivat ääretöntä. 0,9999... voidaan tulkita entiseen tapaan.

Aloittajan ongelma on siinä, ettei matematiikassa tuollaista merkintää 99999... ole edes olemassa (= merkinnälle ei ole määritelty mitään merkitystä eikä ole nähty tarpeelliseksi edes yrittää määritellä sitä), päinvastoin kuin merkintä 0,9999...
mikä tarkoittaa ykköstä, tarkemmin: on tavallaan *sovittu* tarkoittamaan ykköstä; sopii teoriaan eikä aiheuta mitään ristiriitaa olemassa olevien matematiikan perusteiden (aksioomien) ja esim. supremum -käsitteen kanssa.
Jos joku haluaa kyseenalaistaa tuota, se käsittääkseni johtaisi kokonaan uuteen lukuteoriaan, millä ei olisi kovinkaan paljon yhtymäkohtia nykyisen 'sovinnaisen' lukuteorian kanssa. Aika haasteellinen tehtävä ;)
vai?

10 * 0.999... = 9.999...
1 * 0.999... = 0.999...

9.999... - 0. 999... = (10 - 1)* 0.999... = 9 * 0.999... = 9 => 0.999... = 9 /9 = 1.

siis ääretön on ääretön.

jos siihen lisätään jokin äärellinen luku (positiivinen tai negatiivinen) on tuloksena edelleen ääretön, ei se siitä muutu.

on siis turha sanoa sille mitään tarkkaa lukua kun sillä ei sellaista ole.

999999...=ääretön koska: 0.333...=⅓. ||•3. 0.999...=3•⅓=1. 1•ääretön=ääretön. 0.999...•ääretön=999...

Hauska lisäys: Jos 999...=ääretön niin ääretön 1=1Eääretön

Ääretön on vain abstrakti käsite, ei tarkka matemaattinen luku. Se on "lukematon".

Jos tietokoneessa on 64 bitin muisti, niin käytännössä ääretön on 2**63, kun puhutaan kokonaisluvuista, yksi bitti metumerkille.

ääretön on sama kuin 9999.... koska on mahdotonta määritellä mitään suurempaa lukua kuin tuo. se riiittää lukuna äärettömäksi. muina asioina kuin lukuina se ei riitä, siitä ei puhuttu

äskeinen ei pidä paikkaansa nopeuden kannalta

ääretön on se äärettömän nopean lähestymisen kannalta, että

luku, jonka lukujärjestelmä on t

t on luonnollinen luku ja se lähestyy ääretöntä kuuluen
aaaaaaa...... lukujärjetelmänä t.

tuo lähestyy äärettömän nopeasti ja on äärettömän suuri.

999999..... on ääretön, mutta se ei lähesty ääretöntä äärettömän nopeasti

unohdin, että voi olla että ääretöntä ei voi sanoa, koska miten suuri on ääerettömän suuuri lukujärjestelmä. jos se lähestyy ääretöntä ja äärettömän nopeasti, niin määrittelemisestä ei tule loppua

kuitenkin 77777..... on ääretön, koska se lähestyy ääretöntä, ei äärettömän nopeasti

paranteluluku

t lähestyy ääretöntä ja on luonnollinen luku
t lukujärjestelmänä t

tuo ääretön, en tiedä miten nopeus on sillä

"Ei mikään voi olla ääretön."

Ääretön on kuin suorakin täysin matemaattinen käsite, laskennan apuväline ja asioiden havainnollistaja/yksinkertaistaja, jota ei fyysisessä maailmassa esiinny.

Ei siitä kannata ajatella sen enempää.

Auttaisiko Vsauce. Myös numberphile kommentoi matemaattisia omituisuuksia.

https://www.youtube.com/watch?v=s86-Z-CbaHA&t=423s
https://www.youtube.com/watch?v=elvOZm0d4H0

Voidaan tietysti ajatella, että mikä tahansa esimerkiksi kokonaisluku, jolla on ääretön määrä desimaaleja on "kokonaislukuääretön" siten, että sen äärettömät ominaisuudet löytyvät jokaisesta tällaisesta luvusta. Kuitenkin tällaiset kokonaislukuäärettömyyden edustajat voidaan laittaa helposti suuruusjärjestykseen:

Suurimmassa kymmenjärjestelmän kokonaislukuäärettömyydessä on kaikkien desimaalien numerona 9:

Äärettömiin asti:

....99....99.....9999

Seuraavaksi pienempi ääretön kokonaisluku saadaan vähentämällä tästä yksi. Se on siten yhden pienempi ääretön kuin tuo suurin:

....99....99.....9998

ja niin edelleen. Kaikki äärettömät kokonaisluvut saadaan näin suuruusjärjestykseen.

Voidaan kuitenkin todeta, että yhtä hyvä kokonaislukuääretön on kokonaan kahdeksikkoja sisältävä ääretön:

....88....88.....8888

Kun tähän ryhdytään lisäämään yksi kerrallaan saadaan "kahdeksikkoäärettömyyksien" edustajia suuruusjärjestyksessä suurempia. Samoin yhtä vähentämällä saadaan pienempiä äärettömyyksiä.

Edellisissä voi suurimmasta kokonaislukuäärettömyydestä huomata, että aina mitä vain lähellä ykkösdesimaalia tehtyä äärellistä vähennystä vastaavassa äärettömässä on aina ennen vähennyksessä muuttuneita desimaaleja ääretön määrä yhdeksikköjä => äärellisellä vähennyslaskulla saadaan yhä "yhdeksikköäärettömyyteen" liittyviä äärettömiä kokonaislukuja.

Jos taas ylläolevaan "suurimpaan kokonaislukuäärettömyyteen" lisätään yksi, päädytäänkin lukuun, jossa on "äärettömäs desimaali" yhtä kuin yksi ja kaikki seuraavat ääretön määrä desimaaleja on laskutoimituksen seurauksena nollia:

(1 äärettömäs desimaali ja ....00....00.....0000 nollia on ääretön määrä)

Tuo "äärettömäs desimaali" onkin lisätieto/lisädesimaali, jota alkuperäisessä äärettömässä luvussa ei ole. Jos näin jatketaan, voidaan lopulta saada tuolle "äärettömännen" desimaalin arvolle samoin kokonaisluku, 2,3,4,jne, kunhan sallitaan, että tuohon saatuun nollien äärettömyyteen saa myös lisätä tuon kokonaislukuäärettömyyden, esimerkiksi suurimman 9-kokonaislukuäärettömyyden. Ja siihen lisäämällä 1 saadaan silloin tuo 2-....00....00.....0000 äärettömyys:

(1 äärettömäs desimaali ja ....00....00.....0000 nollia on ääretön määrä)
....99....99.....9999
=2-....00....00.....0000 äärettömyys

Jos taas tätä suurimman kokonaisäärettömän lisäämistä saa toistaa tuon suurimman kokonaislukuäärettömyyden kertaa, saadaankin lopulta:

....99....99....9999 - ....99....99....9999 -äärettömyys.

Mikä on sama kuin kaksiulotteinen suurin kokonaisluku äärettömyys kymmenjärjestelmässä. Tätä toistaen n kertaa saadaan helposti n-ulotteinen äärettömyys, missä n on (tässä ajattelussa positiivinen tai nolla eli luonnollinen luku) kokonaisluku. Jos tätäkin ajattelua saa toistaa kokonaislukuäärettömän kertaa, saadaan kokonaislukuääretön määrä ulottuvuuksia. Tässä voi kuitenkin todeta, että niitä saa minkä hyvänsä äärettömän desimaaliesityksen kokonaislukuäärettömän verran, jolloin äärettömät määrät ulottuvuuksiakin voidaan tällöin helposti järjestää kokonaislukuäärettömyyksien mukaisesti suuruusjärjestyksiin - kuten kymmenjärjestelmän kokonaisluvut. Tämän voi tietysti helposti yleistää kaikkiin kokonaislukukantaisiin järjestelmiin (k-kantaisiin, jossa k on luonnollinen luku).

No tämä oli vain kokonaislukuäärettömyyksistä. Nuo kouluissa opitut lauseet vain jättävät huomiotta suuren määrän laskutoimituksia, koska äärettömiä määriä desimaalien arvoja ei kouluissa voi kunnolla laskea tai edes esittää. Periaatteessa äärettömissä tietokoneissa (informaatiossa kaikki on mahdollista) tällainenkin laskenta varmasti onnistuisi. Tosin nykyäänkin joudutaan tavallisesti tyytymään symbolisiin laskentoihin aidosti äärettömien tietokoneiden puutteen vuoksi.
Koululaskennan äärettömyyden voi helposti päätellä jos sitä edustamaan laskutoimituksissa ottaa hyvin suuren luvun, joka on paljon suurempi kuin mikään äärellinen luku. Jos tällöin päätelmissä saadaan tuloksia, joiden ominaisuudet eivät ole selviä, korvataan tulos usein lauseella tai ilmaisuilla "ääretön", "määrittelemätön", "äärettömän pieni, infinitesimaalinen" jne. Tämä on lähinnä työkalu laskelmien käsittelyssä, koska aidosti ääretöntä laskentaa ei voida edes äärellisellä työllä tarkasti kuvailla.

Sitten reaalilukujen äärettömyys. Jos esim. reaaliluku on muotoa:

...(k3)(k2)(k1)(k0).(n1)(n2)...

missä ki on i:s desimaalipaikan desimaali (0..9 kymmenjärjestelmässä), jossa kantaluku siis korotetaan i:hin, jos kyseessä ovat kokonaiset desimaalit ja potenssiin -i desimaalipilkun jälkeisille desimaaleille. Tämä on tavallinen reaaliluvun esitys. Desimaaleja saa äärettömyystarkastelussa olla sekä ennen desimaalipilkkua että sen jälkeen ääretön määrä. Tällöin on sallittu myös äärettömät desimaaliluvut.

Näistä saadaankin mukava yhteys äärettömiin kokonaislukuihin järjestelemällä desimaalit uudelleen, esimerkiksi seuraavasti:

...(k3)(n3)(k2)(n2)(k1)(n1)(k0)

mikä on ilmiselvästi kokonaisluku.

Jo on taas tosi joutavaa pökellystä ihan turhasta. Mukana joku järkeväkin juttu mutta koskivat tuota desimaalilukua 0,999... eivätkä aloittajan älytöntä pähkäilyä.

Miten ihmeessä palstalla käydään jatkuvasti tällaisia " keskusteluja" joissa ei ole siteeksikään järkeä?

ääretön ei käytännössö ole luku joten mikään luku ei voi tarkoittaa ääretöntä

9999999........ on todella pieni luku verrattuna lukuun 9×9×9×9×9×9×9×......

Ei siis ole lähelläkään ääretöntä.

Entäpä 9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9.....

Ja vieläkin suurempia lukuja voin esitellä.

Jos 9999... on ääretön niin silloin on myös 8888.... ääretön samoinkuin 1111... .
Nyt tulikin sujuvasti todistetuksi että 9999... on yhtäkuin 1111.... eli 9 = 1.

Joku on jaksanut näpytellä aiheesta wikipedia-artikkelin.

https://fi.wikipedia.org/wiki/0,999...

Ei, koska esim. 999999.....+1 on vieläkin suurempi.