Pitkän matikan yo, tehtävä 13

K2016, 12
a) Aluksi kannattaa hahmotella kuva funktiosta |sin t| välillä [0, 2π]. Nyt f(2π) on sama kuin kahden yhtä suuren silmukan pinta-alojen summa. Vastaavasti f(π) antaa yhden tällaisen silmukan pinta-alan, joten f(2π) = 2f(π).
Oleellista tässä kohdassa on siis ymmärtää määrätyn integraalin ja pinta-alan yhteys.
b) Kun 0 ≤ x ≤ π, niin f(x) = ∫ sin t dt, jossa integroimisrajat ovat 0 ja x.
Erityisesti ∫ sin t dt = 2, jossa integroimisrajat ovat 0 ja π.
Kun π < x ≤ 2π, niin f(x) = 2 - ∫ sin t dt, jossa integroimisrajat ovat π ja x.
Oleellista on siis jakaa tarkastelu kahteen osaan.

K2016, 11
Olkoon r pohjaympyrän säde ja h lieriön korkeus.
Optimoitava lauseke:
2πr² (m²) * 2 (€/m²) 2πrh (m²) * 1 (€/m²) = 4πr² 2πrh (€)
Sidosehto: πr²h = 0,001 eli h = 0,001 / (πr²)
Eli ideana on etsiä funktion f(r) = 4πr² 0,002 / r.
(YTL julkaisee kohta oikeat vastaukset, joten laitan tämän osissa.)

K2016, 11 (jatkoa)
Eli ideana on etsiä funktion
f(r) = 4πr² 0,002 / r
paikallinen minimikohta.
f'(r) = 8πr - 0,002 / r²
Derivaatan nollakohdaksi saadaan r = ( 0,002 / (8π) )^(1/3).
Sitten todetaan esimerkiksi kulkukaavion avulla, että kyseessä on paikallinen minimikohta.
h / (2r) = 0,001 / (2πr³)
Tuohon sijoitetaan äskeinen säteen arvo ja sievennetään.

Tohon 13 tetraedri tehtävään keksin itse paljon helpomman tavan ratkaista se. Kannattaa muuttaa se itseni mielestä ennemmin geometrian ongelmaratkaisu tehtäväksi kuin vektori tehtäväksi. Mutta tottakai joillekkin toi tapa voi olla helpompi.
En nyt tähän ala selittelemään ratkaisua koska se vaatisi piirtämistä mutta kuitenkin D tahkon pystyi ratkaisemaan origon ja kolmion päätepisteiden välisten suorien suhteen ja sitten pienillä geometrian säännöillä sai D tahkolle kaavan josta supistui ylimääräiset kirjaimet pois. Lopulta sai siis että
D=((bc)^2 (ac)^2 (ab)^2)/4 mikä on sama kuin A^2 B^2 C^2

Nyt YTL julkaisikin jo oikeat vastaukset.
https://www.ylioppilastutkinto.fi/fi/?option=com_content&view=article&layout=edit&id=306

Miten niin muka ristitulo ei kuulu lukion oppimäärään? Kyllä meillä ainakin opiskeltiin huolella ristitulo. Käytin myös kokeessa siinä tasotehtävässä.

Huh. Tein 13 tehtävän AP:n tavalla. Tuosta tehtävästä jos pamahtaa 6 tai 5:kin pistettä niin kokonaispisteet on siellä 54-55.

Itse ratkaisun tehtävän siten, että määritin aluksi x-, y- ja z-akseleille vektorit a^i, b^j ja c^k. Niiden avulla määritin kahdelle kolmion D sivulle vektorit ja laskin vektorien välisen kulman cos alfa, josta sinin ja kosinin välisestä yhteydestä sain sin alfan. Pinta-alan kaavasta (1/2)*sin alfa*sivu 1*sivu 2 saikin sitten pinta-alan D, ja loppuosa tehtävästä olikin sitten helppo.