Nopanheitto

Ei kai se ole koskaan täysin normaalijakauma jo siksi että "hännät" puuttuvat. Jos heitetään 100 kertaa, on summan minimiarvo 100 ja maksimiarvo 600. Eli pitäisi määritellä kriteerit.

En ole aloittaja, mutta otan vapauden uudelleenmuotoilla aloittajan kysymyksen. Kuinka monta nopan heittoa tarvitaan, jotta voitaisiin todeta todennäköisyydellä p nopan olevan painotettu (siis ei-tasapuolinen), kun p on annettu? Eli miten monen heiton jälkeen on "syytä epäillä" jonkin olevan vialla annetulla todennäköisyydellä?

Usein kuulee sanottavan, että monen satunnaistekijän yhteisvaikutus on normaalijakautunut. Siitä tuo kysymys.

Konvoluutiolla tämä voidaan laskea: jos kaksi satunnaismuuttujaa, jotka tulevat kahdesta eri jakaumasta lasketaan yhteen, niin mikä on summan jakauma? Nopanheiton ollessa kyseessä, meillä on aluksi kaksi tasajakaumaa, kun kuvataan kahden nopanheiton todennäköisyyksiä, ja nämä kun konvoloidaan keskenään, saadaan kolmiojakauma. Tämän jälkeen konvoloidaan edellä laskettu kolmiojakauma uuden tasajakauman kanssa, siitä seuraa taas parabolinen jakauma, kun kolme nopanheittoa lasketaan yhteen, ja niin edespäin.

Käytännössähän tässä approksimoidaan normaalijakaumaa polynomilla, jonka asteluku kasvaa yhden verran jokaisesta heitosta, joka lisätään summaan. Parabolinen jakauma voi olla tyydyttävä approksimaatio normaalijakaumalle, kolmiojakauma taas ei, eli tarvitaan vähintään 3 heittoa. Approksimaatio paranee tietysti mitä enemmän heittoja tehdään, ja liittyy keskeiseen raja-arvolauseeseen.

Jos oikein laskin, saadaan jakaumaksi, kun n on heittojen lkm ja k on pistelukujen summa, seuraavaa (vain maksimiin asti menevä puolisko)
P(n,k) = (1/6^n)*(1/(n-1)!)*(k-1)*(k-2)...(k-n 1)
Eli polynomi n-1 astetta. Tuo jakauma on kaikkialla alaspäin kupera, eli toinen derivaatta >0. Siinä suhteessa se eroaa normaalijakaumasta, joka on keskellä ylöspäin kupera ja laidoilla alaspäin kupera. Eli ei näyttäisi tulevan normaalijakaumaa.

Kun analyyttiset taidot eivär riitä, kokeilin koneella.

Kymmen heiton summa antaa normaalijakautuman frekvenssifunktion 0.1 %-yksikön tarkkuudella. Lukualue on siis 10 ... 60. Keskarvo on 35 ja hajonta 5.40. Piirrettynä käyrät menevät jo käytännössä päällekkäin.

Minkähän suhteen tuo 0,1 %-yksikön tarkkuus on laskettu? Vertasin normaalijakaumalla saatua arvoa summalle 10 (kaikki ykkösiä) arvoon 6^(-10) ja ero oli noin 100-kertainen (jos laskin oikein). Absoluuttisesti pieni virhe mutta suhteellisesti suuri.

Kaikissa normaaalijakaumissa ole positiivinen todennäköisyys, että satunnaismuuttuja x on välillä [0.2,0.3]. Mutta silmälukujen summa on aina kokonaisluku eikä kuulu tuolle välille.