Määritä vakio a niin, että funktiolla
f(x)= (x^2 ax 5) / (x 1)
on raja-arvo kohdassa -1.
Miten tällainen tehtävä tehdään?
f(x)= (x^2 ax 5) / (x 1)
on raja-arvo kohdassa -1.
Miten tällainen tehtävä tehdään?
vakion määrittäminen
mäkiönvaarittaminen
113850
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 11
Vanhimmat
x^2 ax 5 täytyy olla jaollinen (x 1):llä muuten f(x) lähenee sekä ääretöntä että miinus ääretöntä kohdassa x=-1 eikä sillä täten ole raja-arvoa.
Olen yrittänyt muokata osoittajaa niin että sinne saisi osan muotoon (1 x) jolloin sen saisi jaettua pois. Ei nyt vaan onnistu..
bx^2 ax c jakautuu yleisesti muotoon (dx e)(fx g). Nyt kun toisen asteen termin kerroin on 1 ovat sekä d että f myös 1. Toinen tekijöistä on (x 1) eli x^2 ax 5 = (x 1)(x b).
Tuosta yhtälöstä voi ratkaista sekä b:n että a:n.
Tuolla ensimmäisellä b:llä ja toisella b:llä ei ole mitään tekemistä toistensa kanssa. Tuli epähuomiossa käytettyä samaa merkkiä kahdelle eri tuntemattomalle.
Siis tietenkään siitä että toisen asteen termin kerroin on 1 ei voi päätellä että sekä d ja f ovat yksi. Koska toisen asteen termin kerroin sekä d ovat yksi niin myös f on yksi.
Tämän siitä saa kun ei oikolue kirjoituksiansa.
Oltava jaollinen x 1:llä ja x reaaliluku
x^2 ax 5 = (x 1)(x b).
= x*2 x bx b
= x^2 (b 1)x b
Vertaamalla saadaan yhtälöpari
b = 5
b 1 = a
Eli a = 5 1 = 6
Meillä lukiossa oli sellainen nyrkkisääntö, että jos sijoittamalla tulee 0/0, niin voidaan supistaa.
Eli osoittaja merkataan nyt sitten nollaksi x:n arvolla -1.
(1 -a 5)=0, josta a=6
Tosi simppeli, yksinkertaisen kaunis ratkaisu.
Ei "nyrkkisäännön" esittäminen ole täsmällistä matematiikkaa varsinkin kun tuon raja-arvon olemassaolo jäi näyttämättä.
Jos jotakuta lukiolaista kiinnostaa niin näin se täsmällinen esitys menee:
Meillä on funktio f(x) =(x^2 ax 5) / (x 1). Parametrille a on löydettävä sellainen arvo, että
lim (x -> -1) f(x) on olemassa.
Koska funktiossa nimittäjä menee nollaan kun x -> -1 niin l f(x) l kasvaa rajatta paitsi silloin kun myös f(x):n osoittaja menee nollaan kun x -> -1. Välttämätön ehto on siis, että
x^2 ax 5 -> 0 kun x -> - 1 ja koska lim(x -> - 1) (x^2 ax 5) = - a 6 täytyy olla a = 6.
Nyt f(x) =( x^2 6x 5) / (x 1). Kaikilla arvoilla x =/ -1 on
f(x) = x 5 ( sillä (x 1) (x 5) = f(x) ja tämä selviää jakolaskulla f(x) / (x 1))
Koska kaikilla arvoilla x =/ -1 on f(x) = x 5 on myös lim(x -> - 1) f(x) = lim(x-> -1) (x 5) = 4.
Funktiolla f(x) on siis raja-arvo 4 kun parametrillä a on arvo 6 ja raja-arvo on olemassa vain tällöin.
Jos haluaisi olla merkintöjen kanssa oikein pikkutarkka voisi kirjoittaa f(x;a) ja f(x;6) eli panna tuon parametrin eksplisiittisesti näkyville. Mutta eitä ollut tehty tehtävänannossakaan joten kirjoitin minkä kirjoitin (PP).
Ohman
Tuli virhesanonta "tämä selviää jakolaskulla f(x) / (x 1)". Piti tietenkin sanomani:
tämä selviää jakolaskulla (x^2 6 x 5) / (x 1).
Ohman
P.S. Voisi tietenkin käyttää L'Hospital-sääntöä:
lim ( (x^2 6 x 5)/(x 1)) = lim ((2x 6)/(1)) = 4.
Mutta kyllähän varsinainen todistaminen aina tällaiset säännöt voittaa!
Ohman