Kertailen lukion tilastomatematiikkaa ja erityisesti hypoteesin testausta. Asiaa ei käsitellä oppikirjassa kovin perusteellisesti, käydään lähinnä läpi kaksi esimerkkiä. Toisessa esimerkissä tutkitaan pituuden mittausta, ja tietyn matkan pituuden s väitetään olevan 742,0 metriä. Syventymättä tehtävän yksityiskohtiin, todetaan vain, että tehtävänä on testata merkitsevyystasolla 0,01, onko pituus 742,0 ja että voidaan käyttää normaalijakaumaa. Kymmenen suoritetun mittauksen keskiarvo on 742,6 ja mittausvirheen keskihajonnan tiedetään olevan 0,8. Oppikirjassa tehdään kaksi testausta seuraavasti:
Testi 1: H(0): s = 742,0 ja H(1): s eri kuin 742,0
Testi 2: H(0): s= 742,0 ja H(1): s > 742,0
Nyt esitän varsinaisen kysymykseni: tarkoittaako ehto
s eri kuin 742,0
samaa kuin s > 742,0 tai s < 742,0?
Mikäli näin olisi, saadaan todennäköisyydeksi (normaalijakauma), että tulee havaintotuloksen mukainen tai vielä suurempi poikkeama vastahypoteesin suuntaan:
P(X > 742,6) tai P(X < 742,6) = [1 - fii(2,37)] [ fii(2,37)] = 1.
Todennäköisyys olisi siis aina 1, kun sovelletaan normaalijakaumaa. Tämä tuntuu väärältä, ja oppikirjassa (ilman perusteluja) tutkitaankin tehtävän ratkaisussa vastaavaa luottamusväliä, jonka avulla päätellään, että H(0):aa ei ole syytä hylätä. Toisaalta maalaisjärki ehkä sanoisi, että ehto s eri kuin 742,0 tarkoittaa samaa kuin s > 742,0 tai s < 742,0. Miksi näin ei voida kuitenkaan ajatella?
Testi 1: H(0): s = 742,0 ja H(1): s eri kuin 742,0
Testi 2: H(0): s= 742,0 ja H(1): s > 742,0
Nyt esitän varsinaisen kysymykseni: tarkoittaako ehto
s eri kuin 742,0
samaa kuin s > 742,0 tai s < 742,0?
Mikäli näin olisi, saadaan todennäköisyydeksi (normaalijakauma), että tulee havaintotuloksen mukainen tai vielä suurempi poikkeama vastahypoteesin suuntaan:
P(X > 742,6) tai P(X < 742,6) = [1 - fii(2,37)] [ fii(2,37)] = 1.
Todennäköisyys olisi siis aina 1, kun sovelletaan normaalijakaumaa. Tämä tuntuu väärältä, ja oppikirjassa (ilman perusteluja) tutkitaankin tehtävän ratkaisussa vastaavaa luottamusväliä, jonka avulla päätellään, että H(0):aa ei ole syytä hylätä. Toisaalta maalaisjärki ehkä sanoisi, että ehto s eri kuin 742,0 tarkoittaa samaa kuin s > 742,0 tai s < 742,0. Miksi näin ei voida kuitenkaan ajatella?
Vastaukset 2
Vanhimmat
Normaalijakaumaa noudattavalle satunnaismuuttujalle pätee aina P(X=tietty luku)=0. Tilastollinen testaus etenee seuraavasti:
1. Tunnistetaan käytettävissä oleva data. Tämä on testin yleinen hypoteesi.
-Tässä: Mittaukset ovat riippumattomia ja normaalisti jakautuneita. Keskihajonta on 0,8.
2. Muodostetaan nollahypoteesi, eli se minkä pätevyyttä testataan.
-Tässä: H0: Matkan pituus on 742,0 m.
3. Muodostetaan vaihtoehtoinen hypoteesi.
-Tässä: Matkan pituus ei ole 742,0 m. Siis pituus >742,0mm tai pituus < 742,0 m.
4. Lasketaan testisuureen arvo:
Tässä laskettu valmiiksi: Kymmenen mittauksen keskiarvo on 742,6m.
Nyt varsinaiseen kysymykseesi.
Tilastollisessa testissä lasketaan niin kutsuttu p-arvo. Se kertoo, mikä on todennäköisyys, että testisuure on laskettu tai vielä epätodennäköisempi. Siis kun testisuureeksi on saatu 742,6 m, joka poikkeaa 742,0 m arvosta 0,6 metriä, niin määritetään todennäköisyys, että sillä ehdolla, että nollahypoteesi pätee (eli, että aidan pituus on 742,0m) saadaan kymmenen mittauksen keskiarvoksi luku, joka poikkeaa 0,6 metriä tai enemmän aidan pituudesta.
Lasketaan siis P(itseisarvo(kymmenen mittauksen keskiarvo -742,0)>0,6 , sillä ehdolla, että nollahypoteesi pätee, eli jokaisen mittauksen odotusarvo on 742,0). Tämä on testin p-arvo.
Viimeisessä vaiheessa joko hylätään tai ei hylätä nollahypoteesi. Jos p-arvo on suurempi kuin merkitsevyystaso, nollahypoteesi hylätään. Muutoin se jää voimaan.
Kiitos paljon avusta! Oppikirjassa ei puhuttu mitään p-arvosta, mikä haittasi luonnollisesti asian ymmärtämistä.