Talon seinustalle rakennetaan suorakulmion muotoinen aitaus kaneille. Aitaverkkoa on käytlssä 30 metriä ja aitaukseen tarvitaan 3 sivua, yksi sivu on talon 12 metriä pitkällä seinällä. Miten aitauksen mitat pitää valita, jotta aitauksen pinta-ala on mahdollisimman suuri?
Miten huomioidaan se että yksi sivu on max 12m
derivaattasovelluksia
aaaaaaaaa234
40
2546
Vastaukset
- opettaa
Koululaisella lisätehtävä mietittäväksi: Minkä muotoinen, ei siis välttämättä suorakulmio, aitauksen tulisi olla, jotta sen pinta-ala olisi mahdollisimman suuri?
- Noinkohan
Pitänee tarkastella kahta tapausta. Ensinnä että aidalla tehdään vain kolme sivua (yksi talon seinän suuntainen ja kaksi muuta sitä vastaan kohtisuoraa. Optimointi antaa silloin (ainoan) maksimin kun talon suuntainen sivu on 15 m, eli se menee reunaehdon ulkopuolelle. Päätellään siis että maksimi saavutetaan, kun talon seinän suuntainen sivu on 12 m ja kohtisuorat 9 m.
Sitten voisi tarkastella myös tapausta, että talon seinää "jatketaan" aidanpätkällä. Silloinkin päädytään siihen, että tuo ensin mainittu tapaus antaa maksimin. - Yhtälöillä
Yhtälöt:
A = x∙y
L =x 2y -> x = L – 2y
x ≤ 12
Lasketaan pinta-alan A:n ääriarvo sekä A:n arvo välin päätepisteessä. - wsxcft
Ilman yhtälöitä voi päätellä, että suorakulmion pitkät sivut ovat 12 m. Verkkoa kuluu näihin vain 12 m, joten jäljellä on vielä 18 m. Siitä lyhyiden sivujen pituudeksi riittää 9 m.
- Yhtälöillä
On syytä opetella ensin laskemaan yksinkertaiset tehtävät systemaattisesti yhtälöillä. Siinä ratkaisutavan oppii, ja osaa soveltaa sitä mutkikkaammissakin tehtävissä, joissa pelkkä päättely ei enää onnistu.
- wsxcft
Joo, täysin samaa mieltä.
Onko 30 m verkolla saatavissa aikaan isompikin laidun kuin tuo 108 m2. Laitetaan vaikka ympyrä, josta talo "leikkaa pois" pienen segmentin (12 m). Mikä olisi laitumen pinta-ala, kun kaikki verkko käytetään. - bgtijn
wsxcft kirjoitti:
Joo, täysin samaa mieltä.
Onko 30 m verkolla saatavissa aikaan isompikin laidun kuin tuo 108 m2. Laitetaan vaikka ympyrä, josta talo "leikkaa pois" pienen segmentin (12 m). Mikä olisi laitumen pinta-ala, kun kaikki verkko käytetään.Saataisiin 117 m2 tuolla tavoin eli 9 m2 lisää laidunta samalla verkolla.
- Vielä_lisää
bgtijn kirjoitti:
Saataisiin 117 m2 tuolla tavoin eli 9 m2 lisää laidunta samalla verkolla.
Todistapa vielä, että tuo on suurin ala, jonka verkolla voi ympäröidä.
- Ohman
Olkoon seinän suuntaisen sivun pituus 12 - x, missä 0 <= x <= 12. Seinää vastaan kohtisuoran sivun pituus on tällöin 1/2 * (30 - (12 - x)) = 9 x/2.
Pinta-ala A(x) = (12 - x) * (9 x/2) ja A' ( x) = -(9 x/2) 1/2* (12 - x) = - 3 -x.
Nähdään, että alueella 0 <= x <= 12 on A'(x) < 0 joten A on x:n vähenevä funktio. Se saa siis suurimman arvonsa kun x:n arvo on mahdollisimman pieni eli x = 0. Sivujen pituudet ovat tällöin 12 ja 9 ja A(max) = A(0) = 108 (m^2).
Ohman - Päinseinäämeni
Eikö yleensä aina ympyrän muotoinen alue ole suurin, jota tietyllä aitametrimäärällä saa rajattua, mutta tämän keskustelun tehtävässä 12 metriä valmista mahdollista aitaa on epäedullinen reunaehto tuon ympyröinnin kannalta. Miten voidaan laskea, millä seinän pituudella ympyrän muotoinen aita olisi rajannut suuremman pinta-alan, kuin seinän rajaama suorakulmio? Vai onko se ylipäätään mahdollista millään seinän pituudella?
- Noinkohan
Ei ole ihan helppoa todistaa, että samanpiirisistä kuvioista ympyrällä on suurin ala. Tuossa linkissä on yksi sellainen todistus. Samaan tapaan voidaan kai osoittaa myös, että jänteelle piirretty osaympyrä antaa suurimman alan.
https://math.stackexchange.com/questions/389339/among-all-shapes-with-the-same-area-a-circle-has-the-shortest-perimeter- l.ampuri
Vähän maanläheisempi "todistus" voisi olla, että ympyrälle A= s^2/12.57, kun s on "aidan" pituus. Neliölle A = s^2/16 ja tasasivuiselle kolmiolle A=s^2/20.78. Tuosta voi päätellä, että ympyrä antaa samalla aitaverkolla eniten laidunta ja kolmio tuhlaa aitaaverkkoa.
Hyödynnetään talon seinä ja pyritään toisaalta maksimoimaan aitauksen ympyrämuoto. - aeija
Mutta entäpä, jos onkin rivitalo kyseessä, eikä voidakaan koukata ympyrällä naapureiden puolelle, mutta siihen jäljelle jäävään suuntaan voidaan, koska se on kunnan maata. Eli tehdäänkin kaneille paraabelin muotoinen aitaus, jossa on se 12 metriä pitkä talo yhtenä aitauksen osana.
Mikä silloin maksimi pinta-ala ? En itse tätä ehdi parin päivään edes yrittämään, mutta noin äkkiä ajatellen tuntuu paraabelin käyrän pituuden integroimisesta tulevan hankala. - gtbijn
aeija kirjoitti:
Mutta entäpä, jos onkin rivitalo kyseessä, eikä voidakaan koukata ympyrällä naapureiden puolelle, mutta siihen jäljelle jäävään suuntaan voidaan, koska se on kunnan maata. Eli tehdäänkin kaneille paraabelin muotoinen aitaus, jossa on se 12 metriä pitkä talo yhtenä aitauksen osana.
Mikä silloin maksimi pinta-ala ? En itse tätä ehdi parin päivään edes yrittämään, mutta noin äkkiä ajatellen tuntuu paraabelin käyrän pituuden integroimisesta tulevan hankala.Sain tuosta 105 m2 eli hieman pienempi kuin alkuperäisen suorakulmion 108 m2. Takuuta luvulleni en anna.
- MitenLie
Eli idea on että aitauksen leveys ei saa olla suurempi kuin 12 m? Silloin saa paremman alan yhdistämällä kaksi suoraa pätkää (pituus noin 5,6 m) ja puoliympyrän, jonka säde on 10 m. Ala 123 m2. Voi olla että sopivalla ellipsillä pääsisi vielä suurempaan alaan.
- MitenLie
Siis säde 6 m.
- aeija
Kyllä minulla tuokin mielessä kävi, mutta kun siinä ei olisi tullut mitään uutta noin niin kuin laskijan kannalta, niin esitin tuon paraabeliaitauksen. Paraabeliaitauksella ala tosiaan jää pienemmäksi kuin suorakulmiolla ja suorakulmio puoliympyrällä, mutta laskemisen haaste jää vähäiseksi. Kaneilla tietysti on isompi ala häkissään.
Minä laitan tähän nyt näitä omia papereita näytteeksi, miten vaikeaksi tämä minulle meni, kun yritin selvitä tästä ilman Wolframia. Ensin sitä paraabelin käyrän pituutta:
http://aijaa.com/8M8nRy. Siitä tuli aika ikävän näköinen yhtälö, eikä siitä Wolframitta selviä, muuten kuin haarukoimalla: http://aijaa.com/R6DtKy
Ala tosiaan on siellä 105 neliön paikkeilla, niin kuin tuossa ylempänä todettiinkin.
Tämä on aika hankala vääntö , mutta Wolframilla se helpttuisi.. - aeija
aeija kirjoitti:
Kyllä minulla tuokin mielessä kävi, mutta kun siinä ei olisi tullut mitään uutta noin niin kuin laskijan kannalta, niin esitin tuon paraabeliaitauksen. Paraabeliaitauksella ala tosiaan jää pienemmäksi kuin suorakulmiolla ja suorakulmio puoliympyrällä, mutta laskemisen haaste jää vähäiseksi. Kaneilla tietysti on isompi ala häkissään.
Minä laitan tähän nyt näitä omia papereita näytteeksi, miten vaikeaksi tämä minulle meni, kun yritin selvitä tästä ilman Wolframia. Ensin sitä paraabelin käyrän pituutta:
http://aijaa.com/8M8nRy. Siitä tuli aika ikävän näköinen yhtälö, eikä siitä Wolframitta selviä, muuten kuin haarukoimalla: http://aijaa.com/R6DtKy
Ala tosiaan on siellä 105 neliön paikkeilla, niin kuin tuossa ylempänä todettiinkin.
Tämä on aika hankala vääntö , mutta Wolframilla se helpttuisi..Ei näköjään löydä tuota ekaa paperia, mutta kokeillaan uudestaan :
Tämä käyrän pituuden integrointi edellyttää hyberbolista sijoitusta ja siihen vielä jatkoksi osittaisintegrointia ja takaisinsijoitusta, eli hyvin hankala on, mutta sehän tiedettiinkin:
http://aijaa.com/3hPtI6 - aeija
gtbijn kirjoitti:
Sain tuosta 105 m2 eli hieman pienempi kuin alkuperäisen suorakulmion 108 m2. Takuuta luvulleni en anna.
Anna vaan , kyllä se sillä paikkeilla neliön tarkkuudella on
- MitenLie
Laskin myös tuota ellipsiaitausta. Kehän pituuden numeerisella integroinnilla kulmaparametriesityksestä lähtien sain ellipsin yhtälöksi:
x = 6*cost
y = 12,5 sint
Pinta.ala on siis:
A = pii*6*12,5/2 = 117,8 m2.
Eli vähemmän kuin tuo suorakaide puoliympyrä. - Huutiukko
aeija kirjoitti:
Ei näköjään löydä tuota ekaa paperia, mutta kokeillaan uudestaan :
Tämä käyrän pituuden integrointi edellyttää hyberbolista sijoitusta ja siihen vielä jatkoksi osittaisintegrointia ja takaisinsijoitusta, eli hyvin hankala on, mutta sehän tiedettiinkin:
http://aijaa.com/3hPtI6Näyttää siltä, että yhdeksi aitauksen sivuksi olet ottanut sen 12 m pitkän seinän. Missä kohtaa olet todistanut, että tämä antaa paraabeleista suurimman alan? Voisihan se suurin olla parabeli joka on kapeampi mutta korkeampi.
Ja kyllähän näitä käyriä riittää. Miksi laskea juuri paraabelilla? Entäpä jos muu käyrä antaa suuremman alan?
Onkohan tämä puuhastelu vähän turhaa? - MitenLie
Eiköhän tuo 12 m leveys ja 30 m piirin pituus määrittele tuon parabelin yksikäsitteisesti.
Tuo laskelma on tässä ketjussa tehty suorakulmiolle, suorakulmio puoliympyrälle, ellipsille ja kolmannen asteen funktiolle. Ihan vain ajanvietteeksi. Tietääkseni kenelläkään ei ole aikomusta rakentaa kanitarhaa. - Huutiukko
MitenLie kirjoitti:
Eiköhän tuo 12 m leveys ja 30 m piirin pituus määrittele tuon parabelin yksikäsitteisesti.
Tuo laskelma on tässä ketjussa tehty suorakulmiolle, suorakulmio puoliympyrälle, ellipsille ja kolmannen asteen funktiolle. Ihan vain ajanvietteeksi. Tietääkseni kenelläkään ei ole aikomusta rakentaa kanitarhaa.Miten niin määrittelee yksikäsitteisesti? Voisihan se seinäosa aitaa olla minkä pituinen tahansa ( 0 < l <= 12) kunhan paraabelin osuus on tuo 30 m. Onhan näitä vaikka kuinka monta. Kun seinäpituutta lyhennetään, paraabelin pituutta voidaan kasvattaa.Pitäisi todistaa mikä näistä antaa suurimman alan. Eikä silti olla päästy puusta pitkään, käyriä riittää.
- MitenLie
No on se intuitiivisesti selvää, kun otetaan huomioon mittasuhteet.
- Huutiukko
MitenLie kirjoitti:
No on se intuitiivisesti selvää, kun otetaan huomioon mittasuhteet.
Sehän on hyvää matematiikkaa! On intuitiivisesti selvää, että...
Tavallisesti asioita todistetaan. Mutta sinä oletkin intuitionistien koulukuntaa. No ei sentään, ne olivat vähän jotain muuta.
Ja noin yleensä näistä eri käyrälaskelmista:jos joku saa huvia triviaalien integraalien laskemisesta niin omapa on tietysti asiansa. Mutta kaipa minulla yhtä hyvin on oikeus sanoa mielipiteeni asiasta. - Vaihtoehtoja_on
Huutiukko kirjoitti:
Sehän on hyvää matematiikkaa! On intuitiivisesti selvää, että...
Tavallisesti asioita todistetaan. Mutta sinä oletkin intuitionistien koulukuntaa. No ei sentään, ne olivat vähän jotain muuta.
Ja noin yleensä näistä eri käyrälaskelmista:jos joku saa huvia triviaalien integraalien laskemisesta niin omapa on tietysti asiansa. Mutta kaipa minulla yhtä hyvin on oikeus sanoa mielipiteeni asiasta.Jos taas mennään käyrissä yli toisen asteen, niin käyrän pituuden laskenta menee numeeriseksi. Mikäli nyt asian oikein muistan, laskeskelin näitä vastaavia tehtäviä niin monia vuosia sitten.
Tehtävän (alan maksimoinnin käyränpituusrajoitteella) voisi varmaan ratkaista numeerisesti esimerkiksi elementtimenetelmää käyttäen, mutta silloin ei kyseessä ole enää lukiotehtävä. - NoinhanSeOn
Onhan nykyään nuo Wolframit, joita varmaan lukiolaisetkin käyttävät.
- aeija
Minulla kun tuolla ylempänä on nuo kaksi sekavaa paperia paraabelista, niin en käyttänyt niissä mitään muuta apuvälinettä kuin tätä Windowsin funktiolaskinta. Ei nettiä, eikä mitään muutakaan kirjaa, siis ulkomuistista vetelin noi hyberboliset funktiot ja kaikki muutkin, siksi käytin sitä haarukointiakin. Tein sitä ajankulukseni töissä aina pienen pätkän kerrallaan maatingin aikana. Tämä oli ihan mukavaa ajanvietettä siihen asti kun oli, ja kaikki varmaan arvaavat mihinkä asti...
- aeija
aeija kirjoitti:
Minulla kun tuolla ylempänä on nuo kaksi sekavaa paperia paraabelista, niin en käyttänyt niissä mitään muuta apuvälinettä kuin tätä Windowsin funktiolaskinta. Ei nettiä, eikä mitään muutakaan kirjaa, siis ulkomuistista vetelin noi hyberboliset funktiot ja kaikki muutkin, siksi käytin sitä haarukointiakin. Tein sitä ajankulukseni töissä aina pienen pätkän kerrallaan maatingin aikana. Tämä oli ihan mukavaa ajanvietettä siihen asti kun oli, ja kaikki varmaan arvaavat mihinkä asti...
Niin, ja meille muuten tuotiin joskus aikoja sitten keväällä kani. Naaraskani ja tiineenä. Isävainaa sille kanssa kopinkin rakensi, mutta pieneksihän se aika pian kävi, ja seuraavana keväänä niitä oli varmaan lähemmäksi sata navetassa, ja pakko ne oli päästää pihalle ja metsään. Eikös siitä muuten ole olemassa joku matemaattinen lukujono, jolla ´tätä kanien lukumäärä voi arvioida. Siis jos ensin oli yksi naaras , ja se sai kolme poikasta, joiden sukupuolesta ei ole tietoa, mutta ainakin yksi uros siinä oli pakko olla...
- C.Alculator
Täällä eräs calculator: http://www.handymath.com/cgi-bin/arc18.cgi
Length of Arc (ft) = 30
Width of Arc (ft) = 12
antaa tulokseksi 128.16289
Mahtaako olla maksimi?- bgtijn
Niinpä. Minulla oli näköjään laskuvirhe tuolla edellä, Eli 117 m2 sijasta 128 m2.
- MitenLie
Mikä on suurin ala, jos suoran seinän pituus ei ole rajoittava tekijä, eikä aidan muoto, vain sen piirin 30 metrin pituus? Voidaan kuitenkin olettaa todistamatta, että ympyrän osa antaa maksimin.
- Kanootti3
Muodostetaan funktio A(x) ympyrän alalle, jossa muuttujana on x = "seinän tekemän jänteen keskuskulma" ja 0<=x<2*pi. (x>pi tarkoittaa, että ympyrän keskipiste on seinän sisäpuolella.) Tällöin ympyrän säde on r(x) = 30/(2pi-x). Ja
A(x) = 30^2 / ( 2*(2pi-x) ) ( 30^2 *sin(x/2)*cos(x/2) ) / (2pi-x)^2
(Huomaa että jälkimmäinen termi on sektoriosan kolmion ala ja se vähennetään, jos x>pi, sillä sin(x/2)cos(x/2)<0, joten tuo termi toimii oikein.)
Derivaatta on työläs laskea ja muokata, muuta WolframAlpha antaa:
A'(x) = 900 cos(x/2) *(2 sin(x/2) (2 π - x) cos(x/2))/(2 π - x)^3
eli cos(x/2) on tekijänä joten saadaan ainakin nollakohta x=pi. Kuvaajasta nähdään, että tämä antaa maksimin välillä [0, 2pi].
Siis maksimiala saadaan kun laitetaan puoliympyrä ja tämä maksimiala on 30^2/(2pi) = 143.239...
Säde on tuolloin 30/pi = 9.549..., joten seinän pitää olla vähintään 2*30/pi = 19.09859....
- Päinseinäämeni
Ajattelin tuota ympyrän alaa huomattavasti yksinkertaisemmin, verraten neliöön ja suorakulmioon. - Alunperin koko väite siitä, että ympyrän ala suurin tietyllä aitamateriaalin pituudella, perustui mutu-tuntumaan, tai intuitioon, tai joku nimittäisi joksikin profeetalliseksi tai tiedolliseksi armolahjaksi: en ollut laskenut asiaa etukäteen, kun tein tuon väitteen.
Mutta sitten jälkeepäin, nukutun yön jälkeen aamulla järkeilin pinta-alojen ja kehän kaavoja. Ympyrän pinta-ala on kehä toiseen per (4 pii).
Neliön pinta-ala on kehä toiseen per 16.
Eli jos verrataan saman ympärysmitan suuruisia neliötä ja ympyrää, ympyrällä on 4/pii kertainen pinta-ala neliöön verrattuna.
Mutta jos ajatellaan saman ympärysmitan kokoisia neliötä ja suorakulmiota, niin neliön ala vaikuttaa suuremmalta. Esim. neliön sivu 2,5 tai suorakulmion sivut 2 ja 3. Molemmissa kehä 10, mutta neliössä pinta-ala 100/16 eli 6,25. Suorakulmiossa 6 eli pienempi. Tällaiseen johtopäätökseen pääsin päässälaskulla ja maalaisjärkeilyllä, vaikka sinällään mielenkiintoista, että jotkut ovat pystyneet asiaa esittämään kaavamaisemmin, esim. integraaleilla, kuten keskustelun jostain linkistä näkyi. - npq
Näistähän saa hyviä koetehtävi matematiikan eri tasoille.
- MitenLie
Kokeilin vielä "kuutiollista soikiota" (mikähän lie oikea termi?):
x^3/a^3 y^3/b^3 = 1
Kun tilan leveys on 12 m ja normeerataan 30 m piirin pituuden suhteen, saadaan numeerisella integroinnilla a=6 m ja b=11,6 m.
Numeerisesti integroiden saadaan alaksi 123 m2, eli sama kuin aiemmin laskin suorakaiteelle ja sen päällä olevalle puoliympyrälle. - mutta_miettikää_nyt
Jos kanilaitumen rakentaa koko talon ympärile niin se on ainakin kanin kannalta win-win sitsueissön ja sikäli optimaalinen.
- Päinseinäämeni
Laskinko oikein:
Puoliympyrän ala = kaari toiseen per (2 pii).
Mitäköhän nimeä tällaiselle toiminnalle on, että kehittelin tähän keskusteluun pinta-alan laskemista nimenomaan kehän tai kaaren pituudesta? Onko se "back formation" kuten kielitieteessä?- Noinkohan
No tietysti tuollaiselle voisi olla käyttöä, jos haluaa tietää vaikkapa pystyssä kasvavan puun poikkileikkauksen pinta-alan, eikä ole kuin mittanauha käytössä. Pinta-ala on ympärysmitta toiseen per neljä pii. Jos ei muista piitäkään, voi mitata ympärysmitan ja halkaisijan, kertoa ne ja jakaa neljällä.
- LörpöttelyAsianVierestä
Puissa on monenlaista mielenkiintoista asiaa. Puun tiheyttä on laskettu. Esim. jotkut tropiikin puulajit niin tiheitä, että hädintuskin edes kelluvat. Puiden vuosirenkaat saattavat kasvaa tiheämmin tietyllä ilmansuunnalla. Ilman kompassia luonnossa ilmansuunta saattaa löytyä sen perusteella, millä suunnalla naavaa, millä puolella puuta muurahaispesä, tai millä puolella kantoa vuosirenkaita tiheästi.
Mutta onko matematiikassa mitään nimeä tällaiselle toiminnalle tai tulokselle, että otetaan joku vanha tuttu peruskaava, ja väännetään se uuteen muotoon? Esim. ympyrän ala = kehä toiseen per (4 pii). Onko tämä johdos? Tai mitä johdos tarkoittaisi matematiikassa? Tai onko minulla väärä käsitys, että matematiikan alalla on johdoksia? Tai johdannaisia?
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 793204
- 492410
- 322127
Sinkkujen kommentti järkyttävään raiskaukseen
Mikä on kommenttisi tähän järkyttävään raiskaukseen? https://www.is.fi/uutiset/art-2000011204617.html Malmin kohuttu sa4812122- 1371889
Ryöstö hyrynsalmella!
Ketkä ryösti kultasepänliikkeen hyryllä!? 😮 https://yle.fi/a/74-20159313311802- 311745
Sukuvikaako ?
Jälleen löytyi vastuulliseen liikennekäyttäytymiseen kasvatettu iisalmelainen nuori mies: Nuori mies kuollut liikenne101579Joskus mietin
miten pienestä se olisi ollut kiinni, että et koskaan olisi tullut käymään elämässäni. Jos jokin asia olisi mennyt toisi51320Hyvää yötä
Söpöstelen kaivattuni kanssa haaveissani. Halaan tyynyä ja leikin että hän on tässä ihan kiinni. *olet ajatuksissani61264