Apuatodennäköisyyslaskuun

Heittäjän tarkkuus voisi maksimissaan olla jokaiseen kohdalla 100%, eli osuisi mihin haluaisi !
Kun osumatarkkuus eri numeroille on erilainen, pitäisi myös miettiä mitä numeroita kannattaa missäkin vaiheessa yrittää päästäkseen parhaaseen tulokseen.

Ei_haittaa kirjoitti:

Heittäjän tarkkuus voisi maksimissaan olla jokaiseen kohdalla 100%, eli osuisi mihin haluaisi !
Kun osumatarkkuus eri numeroille on erilainen, pitäisi myös miettiä mitä numeroita kannattaa missäkin vaiheessa yrittää päästäkseen parhaaseen tulokseen.

Lue lisää

Toi pitää vielä tarkentaa että jokainen tikka osuu tauluun ja jos menee ohi tavoitenumerosta, niin osuu toiseen numeroon samassa suhteessa kuin tarkkuusprosentit.
Siis näin, tähtäät 6. een, ja menee ohi niin todennäköisyys että osuu 1.een on 50/60, 2.een 45/160 jne.

Ei taida mennä noin. Tuosta saadaan, että jos tähtää ykköseen mutta ei osu, on todennäköisyys, että osuu muualle tauluun, on 110/160. Sanoisin että se on enintään noin 0,5.

Niin ja tuossa heitetään summaa vähintään sata, ei tasan sata. Siksi joka heitella pyritään saamaan mahdollisimman suuri numero.

Noinkohan kirjoitti:

Niin ja tuossa heitetään summaa vähintään sata, ei tasan sata. Siksi joka heitella pyritään saamaan mahdollisimman suuri numero.

Jos tähtäät ykköseen, todennäköisyys että tulee 1 on 50%, jos menee ohi, niin jäljelle jäävä 50% jakautuu muille numeroille samassa suhteessa kuin niiden keskinäinen osumatarkkuus, eli jokaiselle numerolle on oma osumatodennäköisyytensä, jotka poikkeavat sen mukaan mihin yritetään osua.

Ensimmäinen vaihe on hakea numero, johon heittämällä pääsee parhaaseen tulokseen ja jatkaa niin että vain sitä yritetään.

Heittojen lukumäärä todennäköisesti jää selvästi alle 100, koska jokaisella heitolla lisäys on vähintään 1 .

Lisäys kirjoitti:

Toi pitää vielä tarkentaa että jokainen tikka osuu tauluun ja jos menee ohi tavoitenumerosta, niin osuu toiseen numeroon samassa suhteessa kuin tarkkuusprosentit.
Siis näin, tähtäät 6. een, ja menee ohi niin todennäköisyys että osuu 1.een on 50/60, 2.een 45/160 jne.

Lue lisää

Jahas, otettu huomioon, mutta menee vähän lapselliseksi, jos aletaan määrittelemään mihin tikat osuu. Sittenhän me voidaan määritellä myös mihin numeroihin ne osuu.

Samaan päädyin.
Nelosta kannattaa pommittaa, se on n. 3.5% tuottoisampi kuin kolmonen.
Tuota loppukaneettia 1.n pienestä tn.stä en ymmärtänyt, sehän on kaikissa vähintään toiseksi suurin.

Jos olet 98:ssa, riittää että seuraavalla heitolla ei tule ykkönen, ei tarvitse tavoitella mahdollisimman korkeaa tulosta. Sen ykkäsen todennäköisyys vaihtelee hiukan riippuen siitä mihin tähtää ja on pienin, jos tähtää kuutoseen. Tämä ei vaikuta alkuperäisen kysymyksen vastaukseen, mutta keskimäärin noin kymmenesosa heiton verran toistokokeessa. Sama seikka koskee kaikkia pistemääriä, joissa on mahdollista ylittää 100 pistettä seuraavalla heitolla.

Noin voisin minäkin olettaa, tuskin sillä taululla mitään maagisia ominaisuuksia on jotka muuten kuin tuon mahdollisen osumapinta-alan avulla määräisivät osumisen todennäköisyyden. Mutta en kylläkään ole mikään tikkatauluekspertti.

Sen sijaan, matemaattisesta tehtävästä kun on kyse, tuo "näyttäisi riittävän" ei oikein riitä ratkaisuksi.

Meillä on tässä diskreetti satunnaismuuttuja X joka saa arvot 1,2,..., 6 tietyillä todennäköisyyksillä. On tutkittava satunnaismuuttujia X(i), jotka jakautuvat identtisesti kuten tuo X ja niiden summmaa S(n) = Summa(1 <=i <= n) X(i).
X(i)-muuttujat ovat myös riippumattomia.

Pitää olla P(S(n) >= 100) = 0,5.

Muuttujan S(n) jakauma saadaan noitten n:n X(i)-muuttujan konvoluutiolla.Tässä voi käyttää avuksi generoivan funktion (emäfunktion) menetelmää mutta hankalaksi lasku kyllä menee joka tavalla..Kullakin n:n arvolla S(n):llä on tietty jakauma ja arvo todennäköisyydelle P(S(n) >= 100). On siis löydettävä n jolle tuo tn = 0,5.

Enpä taida käyttää tätä aamua tuohon hommaan!

Ohman kirjoitti:

Noin voisin minäkin olettaa, tuskin sillä taululla mitään maagisia ominaisuuksia on jotka muuten kuin tuon mahdollisen osumapinta-alan avulla määräisivät osumisen todennäköisyyden. Mutta en kylläkään ole mikään tikkatauluekspertti.

Sen sijaan, matemaattisesta tehtävästä kun on kyse, tuo "näyttäisi riittävän" ei oikein riitä ratkaisuksi.

Meillä on tässä diskreetti satunnaismuuttuja X joka saa arvot 1,2,..., 6 tietyillä todennäköisyyksillä. On tutkittava satunnaismuuttujia X(i), jotka jakautuvat identtisesti kuten tuo X ja niiden summmaa S(n) = Summa(1 <=i <= n) X(i).
X(i)-muuttujat ovat myös riippumattomia.

Pitää olla P(S(n) >= 100) = 0,5.

Muuttujan S(n) jakauma saadaan noitten n:n X(i)-muuttujan konvoluutiolla.Tässä voi käyttää avuksi generoivan funktion (emäfunktion) menetelmää mutta hankalaksi lasku kyllä menee joka tavalla..Kullakin n:n arvolla S(n):llä on tietty jakauma ja arvo todennäköisyydelle P(S(n) >= 100). On siis löydettävä n jolle tuo tn = 0,5.

Enpä taida käyttää tätä aamua tuohon hommaan!

Lue lisää

Simuloin koneella 40 heiton sarjoja 10000 kpl. Summien keskiarvoksi tulee 101.0xyx. Eikös tämä osoita, että 40 heittoa riittää. Tuon elegantti analyyttinen perustelu menee jo yli hilseen.

y.v kirjoitti:

Simuloin koneella 40 heiton sarjoja 10000 kpl. Summien keskiarvoksi tulee 101.0xyx. Eikös tämä osoita, että 40 heittoa riittää. Tuon elegantti analyyttinen perustelu menee jo yli hilseen.

Lue lisää

Palstalle näyttää taas pesiytyneen näitä "itsetehoste- besserwissereitä", jotka eivät koskaan tiedä ongelman oikeaa ratkaisua, mutta lukemattomia syitä muiden ratkaisujen virheellisyyteen.

Anna-olla kirjoitti:

Palstalle näyttää taas pesiytyneen näitä "itsetehoste- besserwissereitä", jotka eivät koskaan tiedä ongelman oikeaa ratkaisua, mutta lukemattomia syitä muiden ratkaisujen virheellisyyteen.

Lue lisää

Ymärrän, että harmittaa, jos ei tajua itse asiasta mitään. Mutta jotain pitää mökeltää.

y.v kirjoitti:

Simuloin koneella 40 heiton sarjoja 10000 kpl. Summien keskiarvoksi tulee 101.0xyx. Eikös tämä osoita, että 40 heittoa riittää. Tuon elegantti analyyttinen perustelu menee jo yli hilseen.

Lue lisää

Mitä käytit sektorien todennäköisyyksinä? Ja mikä oli todennäköisyyksien summa?

brittipunta kirjoitti:

Mitä käytit sektorien todennäköisyyksinä? Ja mikä oli todennäköisyyksien summa?

6 0.028
5 0.083
4 0.139
3 0.194
2 0.250
1 0.306
summa=1

Saan eri luvut, vaikka jakaisin osatodennäköisyydet kokonaistodennäköisyydellä 165%. (Näinhän ei edes voi olla, vaan kokonaistodennäköisyyden on oltava 1.) Lisäksi et ole ottanut huomioon ohiheiton mahdollisuutta.

brittipunta kirjoitti:

Saan eri luvut, vaikka jakaisin osatodennäköisyydet kokonaistodennäköisyydellä 165%. (Näinhän ei edes voi olla, vaan kokonaistodennäköisyyden on oltava 1.) Lisäksi et ole ottanut huomioon ohiheiton mahdollisuutta.

Lue lisää

Katso voesti 20.5.2018 19:58

Tavallisessa säännöllisessä tikkataulussa osumistodennäköisyyden (ja myös pinta-alan) muutos on lineaarinen. Eli esim. kakkosen ja kolmosen välillä on yhtä suuri ero kuin seiskan ja kasin. Niin myös käyttämissäsi arvoissa. Mutta tässä tehtävässä arvot oli annettu eikä niitä voi korvata uusilla - ei ainakaan jos haluaa löytää vastauksen tähän nimenomaiseen tehtävään.

brittipunta kirjoitti:

Tavallisessa säännöllisessä tikkataulussa osumistodennäköisyyden (ja myös pinta-alan) muutos on lineaarinen. Eli esim. kakkosen ja kolmosen välillä on yhtä suuri ero kuin seiskan ja kasin. Niin myös käyttämissäsi arvoissa. Mutta tässä tehtävässä arvot oli annettu eikä niitä voi korvata uusilla - ei ainakaan jos haluaa löytää vastauksen tähän nimenomaiseen tehtävään.

Lue lisää

Tehtävä tuntui oudolta. Sen takia laskin tuon "yksinkertaistetun version" huvikseni.

y.v kirjoitti:

Tehtävä tuntui oudolta. Sen takia laskin tuon "yksinkertaistetun version" huvikseni.

Jos ajatellaan, että tähdätään johonkin numeroon, niin silloin vain renkan leveydellä on merkitystä osumatodennäköisyyden kannalta - ainakin jos ammuttaisiin vaikkapa pienoiskiväärillä. Renkaan leveys siis määrää pienen ympyrän halkaisijan, johon tähdätään. Renkaan muulla pinta-alalla ei ole juuri merkitystä erityisesti isojen renkaiden tapauksessa.

Amatööri tähtää keskelle taulua ja on jo tyytyväinen, jos osuu edes joka kerta tauluun. Tällöin renkaiden suhteellinen pinta-ala lähinnä määrää kunkin numeron todennäköisyyden.

No, hops, et tainnut ymmärtää tehtävänantoa, ei heittoja pyritä heittämään keskelle, vaan parhaiten keskimääräisesti tuottavaan kohteeseen kyseisillä osumatodennäköisyyksillä.

Häh- kirjoitti:

No, hops, et tainnut ymmärtää tehtävänantoa, ei heittoja pyritä heittämään keskelle, vaan parhaiten keskimääräisesti tuottavaan kohteeseen kyseisillä osumatodennäköisyyksillä.

Lue lisää

No ei sitä tehtävänantoa ymmärrä, kun koko ajan annataan lisämääritelmiä. Käytännössä jotta tuollainen todennäköisyysjakauma voisi pitää paikkansa, taulun reankaiden pitäisi olla erilevyisiä.

Noinkohan kirjoitti:

No ei sitä tehtävänantoa ymmärrä, kun koko ajan annataan lisämääritelmiä. Käytännössä jotta tuollainen todennäköisyysjakauma voisi pitää paikkansa, taulun reankaiden pitäisi olla erilevyisiä.

Lue lisää

Renkaat lienevätkin eri levyisiä, senhän voi jo päätellä todennäköisyyksien hyppäyksissä, selvimmin sektorien 2 ja 3 sekä 4 ja 5 välillä, muutoin todennäköisyydet pienenisivät tai kasvaisivat lineaarisesti. Mutta sitähän ei tässä tarvitse miettiä.

Tehtävän idea ei varmastikaan liene se, että mietitään mitä kannattaisi yrittää, kyllähän tikassa aina koetetaan osua mahdollisimman keskelle. Ja jos juju olisi taktikoinnissa ja jonkun tietyn pisteluvun yrittäminen olisi kannattavinta, silloin muiden sektorien todennäköisyyksien tulisi samalla muuttua. Ei ole mitään logiikkaa siinä, että kutosta ja ykköstä yrittäessä ohiheiton todennäköisyys pysyy samana. Eiköhän tässä ole kysymys ihan tavallisesta oletusarvotehtävästä. Kiinnostaisi tietysti tietää, minkä tason oppimateriaalissa tehtävä on esitetty.

brittipunta kirjoitti:

Renkaat lienevätkin eri levyisiä, senhän voi jo päätellä todennäköisyyksien hyppäyksissä, selvimmin sektorien 2 ja 3 sekä 4 ja 5 välillä, muutoin todennäköisyydet pienenisivät tai kasvaisivat lineaarisesti. Mutta sitähän ei tässä tarvitse miettiä.

Tehtävän idea ei varmastikaan liene se, että mietitään mitä kannattaisi yrittää, kyllähän tikassa aina koetetaan osua mahdollisimman keskelle. Ja jos juju olisi taktikoinnissa ja jonkun tietyn pisteluvun yrittäminen olisi kannattavinta, silloin muiden sektorien todennäköisyyksien tulisi samalla muuttua. Ei ole mitään logiikkaa siinä, että kutosta ja ykköstä yrittäessä ohiheiton todennäköisyys pysyy samana. Eiköhän tässä ole kysymys ihan tavallisesta oletusarvotehtävästä. Kiinnostaisi tietysti tietää, minkä tason oppimateriaalissa tehtävä on esitetty.

Lue lisää

" Tehtävän idea ei varmastikaan liene se, että mietitään mitä kannattaisi yrittää "
Se juuri se idea oli.

Jotkut sen huomasivatkin !

brittipunta kirjoitti:

Renkaat lienevätkin eri levyisiä, senhän voi jo päätellä todennäköisyyksien hyppäyksissä, selvimmin sektorien 2 ja 3 sekä 4 ja 5 välillä, muutoin todennäköisyydet pienenisivät tai kasvaisivat lineaarisesti. Mutta sitähän ei tässä tarvitse miettiä.

Tehtävän idea ei varmastikaan liene se, että mietitään mitä kannattaisi yrittää, kyllähän tikassa aina koetetaan osua mahdollisimman keskelle. Ja jos juju olisi taktikoinnissa ja jonkun tietyn pisteluvun yrittäminen olisi kannattavinta, silloin muiden sektorien todennäköisyyksien tulisi samalla muuttua. Ei ole mitään logiikkaa siinä, että kutosta ja ykköstä yrittäessä ohiheiton todennäköisyys pysyy samana. Eiköhän tässä ole kysymys ihan tavallisesta oletusarvotehtävästä. Kiinnostaisi tietysti tietää, minkä tason oppimateriaalissa tehtävä on esitetty.

Lue lisää

Tarkoittanet "odotusarvotehtävästä". Mutta kun tämä nyt on matemaattinen tehtävä ja tarkkana pitää olla niin ei se, että n:n heiton jälkeen pisteluvun S(n) odotusarvo E(S(n)) = 100 ole sama asia kuin että P(S(n) >= 100) = 0.5.Jos jakauma on symmetrinen kuten esim. normaalijakauma N(0,1) niin silloin tämä pätee.

Mainitsin kommentissani myös, että"saa arvot 1,2,...,6 tietyillä todennäköisyyksillä". Esittämäni pätee, olivat nuo todennäköisyydet mitkä hyvänsä. Tuo osumapinta-alaan perustuva tn tuntuu kuitenkin aika luonnolliselta.

:) Oletkos koskaan heittänyt tikkaa? Jos taulu on perinteinen, eli sisäkkäisistä renkaista muodostuva, ainahan taulussa yritetään keskelle. Jos heitto on tarkka, saadaan paras tai lähes paras tulos, ja vaikka olisi vähän epätarkkakin, osuu silti johonkin. Käytännössä nelosen ohueeseen renkaaseen on ihan yhtä vaikeaa tähdätä kuin keskustaankin, minkä lisäksi taulusta ohi heiton todennäköisyys kasvaa, epätarkkuuden aiheuttaman poikkeaman suuntaa kun ei voi valita.

Tilanne olisikin eri jos pistesektorit olisivat kokonaan toisistaan erillään olevia ympyröitä, ja ohiheitto tarkoittaisi aina nollaa pistettä. Tällöin annetussa tehtävässä todellakin kannattaisi yrittää nelosta. ( Ja vastaus olisi 100 heittoa...) Mutta miten voit laskea koko tehtävää omalla logiikallasi, kun ei ole kerrottu, millä todennäköisyydellä tikka osuu muihin kuin yrittämääsi sektoriin?

Ohman kirjoitti:

Tarkoittanet "odotusarvotehtävästä". Mutta kun tämä nyt on matemaattinen tehtävä ja tarkkana pitää olla niin ei se, että n:n heiton jälkeen pisteluvun S(n) odotusarvo E(S(n)) = 100 ole sama asia kuin että P(S(n) >= 100) = 0.5.Jos jakauma on symmetrinen kuten esim. normaalijakauma N(0,1) niin silloin tämä pätee.

Mainitsin kommentissani myös, että"saa arvot 1,2,...,6 tietyillä todennäköisyyksillä". Esittämäni pätee, olivat nuo todennäköisyydet mitkä hyvänsä. Tuo osumapinta-alaan perustuva tn tuntuu kuitenkin aika luonnolliselta.

Lue lisää

Odotusarvoista tietenkin on kyse, oikein havaittu. Kerro nyt samalla, miten itse ymmärrät todennäköisyydet tässä tikkataulussa ja miten tehtävä mielestäsi pitää laskea?

brittipunta kirjoitti:

Odotusarvoista tietenkin on kyse, oikein havaittu. Kerro nyt samalla, miten itse ymmärrät todennäköisyydet tässä tikkataulussa ja miten tehtävä mielestäsi pitää laskea?

Etkö lue kommentteja? Johan minä sen selostin periaatteessa ja totesin laskun niin hankalaksi etten viitsi ruveta sitä käytännössä laskemaan. Ja sanon vielä, että odotusarvoa ei kysytty vaan sitä milloin P(S(n) >= 100) = 0,5.Tämä e i o l e sama asia kuin odotusarvon määrääminen kun tarkkoja ollaan. Matemaattisessa tehtävässä pitäisi vastata siihen mitä kysytään. Tietenkin erilaisia approksimaatioita voi yritellä mutta sellainen on kuitenkin eri asia kuin eksakti vastaus.

En nyt ole miettinyt saisiko tämän ratkaistua jollain toisellakin tavalla kuin jo esittämälläni, esim. soveltamalla stokastisten prosessien teoriaa jotenkin. Mutta en nyt taida enempää tätä miettiäkään.

brittipunta kirjoitti:

Odotusarvoista tietenkin on kyse, oikein havaittu. Kerro nyt samalla, miten itse ymmärrät todennäköisyydet tässä tikkataulussa ja miten tehtävä mielestäsi pitää laskea?

Annetuilla lähtöarvoilla on laskettavissa eri numeroiden toteutumisen todennäköisyydet ja niistä kysytty tulos.
Spekulointi lähtöarvojen suhteesta käytäntöön tai omiin käsityksiinne tilanteesta ei palvele mitenkään matemaattisen ratkaisun suoritusta, jos asia häiritsee, avatkaa uusi ketju mieleisillänne arvoilla ja jättäkää se p***n jauhaminen.

Ohman kirjoitti:

Etkö lue kommentteja? Johan minä sen selostin periaatteessa ja totesin laskun niin hankalaksi etten viitsi ruveta sitä käytännössä laskemaan. Ja sanon vielä, että odotusarvoa ei kysytty vaan sitä milloin P(S(n) >= 100) = 0,5.Tämä e i o l e sama asia kuin odotusarvon määrääminen kun tarkkoja ollaan. Matemaattisessa tehtävässä pitäisi vastata siihen mitä kysytään. Tietenkin erilaisia approksimaatioita voi yritellä mutta sellainen on kuitenkin eri asia kuin eksakti vastaus.

En nyt ole miettinyt saisiko tämän ratkaistua jollain toisellakin tavalla kuin jo esittämälläni, esim. soveltamalla stokastisten prosessien teoriaa jotenkin. Mutta en nyt taida enempää tätä miettiäkään.

Lue lisää

Kyseessä ei varmaankaan ole MIT:n viimeisen vuosikurssin tai Triple nine societyn älypähkinä. Tarkoitus on annettuja arvoja käyttäen ratkaista yksinkeratinen todennäköisyyslasku eikä spekuloida loputtomiin. Täällä ei juuri kukaan lisäkseni ole esittänyt ratkaisuehdotusta, jossa olisi jotain tolkkua. Miten muuten todennäköisyydet ovat ymmärrettävissä kuin esittämälläni tavalla jos niiden suumaksi saadaan 165%?

brittipunta kirjoitti:

Kyseessä ei varmaankaan ole MIT:n viimeisen vuosikurssin tai Triple nine societyn älypähkinä. Tarkoitus on annettuja arvoja käyttäen ratkaista yksinkeratinen todennäköisyyslasku eikä spekuloida loputtomiin. Täällä ei juuri kukaan lisäkseni ole esittänyt ratkaisuehdotusta, jossa olisi jotain tolkkua. Miten muuten todennäköisyydet ovat ymmärrettävissä kuin esittämälläni tavalla jos niiden suumaksi saadaan 165%?

Lue lisää

Lue ja mieti hieman tarkemmin niin saatat ymmärtää.

Jos edessäsi on tikkataulu ja heittosi osumatarkkuus tauluun olisi 50% , ok.
Jos jostain syystä haluat tahallasi heittää ohi taulun, niin sen onnistumisen todennäköisyys olisi varmaan 100%, mutta et kai tosissasi edes yritä esittää että heittosi todennäköisyys olisi 150%, koska jompi kumpi toteutuu ?

Oletpa-hukassa kirjoitti:

Lue ja mieti hieman tarkemmin niin saatat ymmärtää.

Jos edessäsi on tikkataulu ja heittosi osumatarkkuus tauluun olisi 50% , ok.
Jos jostain syystä haluat tahallasi heittää ohi taulun, niin sen onnistumisen todennäköisyys olisi varmaan 100%, mutta et kai tosissasi edes yritä esittää että heittosi todennäköisyys olisi 150%, koska jompi kumpi toteutuu ?

Lue lisää

Olen lukenut ja mielestäni suurin piirtein ainoana täällä ymmärtänyt. En ole laskemassa todennäköisyyksiä yhteen, totesin vain että koska summa ei ole 100%, arvoissa on päällekkäisyyksiä.

Todennäköisyystehtävissä ei yleensä ole taktikointinäkökulmaa, ja minusta ei tässäkään. Eli yhtä hyvin voidaan ajatella asia niin että kone viskoo tikkoja kohti taulua ja osumiin on annettu tietyt todennäköisyydet.

Viitsisitkö itse esittää tehtävään ratkaisuehdotuksen. Muuten ei kannata enää kommentoida.

brittipunta kirjoitti:

Kyseessä ei varmaankaan ole MIT:n viimeisen vuosikurssin tai Triple nine societyn älypähkinä. Tarkoitus on annettuja arvoja käyttäen ratkaista yksinkeratinen todennäköisyyslasku eikä spekuloida loputtomiin. Täällä ei juuri kukaan lisäkseni ole esittänyt ratkaisuehdotusta, jossa olisi jotain tolkkua. Miten muuten todennäköisyydet ovat ymmärrettävissä kuin esittämälläni tavalla jos niiden suumaksi saadaan 165%?

Lue lisää

Sinä et ymmärrä edes alkeita. Olivatpa ne yhden heiton pistelukujen todennäköisyydet mitä hyvänsä niin eivät nuo odotusarvon laskeminen ja kysytyn tn:n määrääminen ole sama asia. Voit helposti varmistua tästä esimerkillä,.

Otetaan ensin vain yksi heitto: mahdolliset tulokset ovat 1,2,3,4,5 ja 6. Jos näillä on sama tn = 1/6, niin E(X) = 1/6 * ( 1 2 ... 6) = 21/6 = 7/2 = 3,5.
P(X >= 3,5) = 3/6 = 1/2 (todellakin!)
Mutta jos tn:t ovat toisenlaiset, esim. 1/24,2/24,3/24, 4/24, 6/24, 8/24 niin

E(S(1)) = E(X) = 1/24 2*2/24 3*3/24 4*4/24 5* 6/24 6* 8/24 = (1 4 9 16 30 48)/24 = 108/24 = 27/6 = 4,5.
Nyt P(X >= 4,5) = 14/24 = 7/12. Tämä ei ole = 1/2.

Jos sitten lasketaan kahden heiton summaa S(2) = X1 X2 vaikka noilla arvoilla missä kaikilla tuloksilla on sama tn

E(S(2)) = E(X1 X2) = 2*3.5 = 7. (X1 ja X2 riippumattomia ja jakautuvat samalla tavalla eli kuten X yllä.)

P(S(2) >= 7) =(6 5 4 3 2 1) /36 = 21/36 = 7/12. Tämä ei enää olekaan 1/2.

Ja kun heittoja on niin paljon että tulos 100 alkaa olla saavutettavissa niin tuo summan S(n) jakauma on jo varsin monimutkainen kuten 1. kommentissani jo totesin.

Enpä taida antaa sinulle tn:n alkeisopetusta tämän enempää. Opiskele itse. Mutta et tule löytämään sellaista lausetta että jos X on satunnaismuuttuja niin yleisesti olisi P(X >= E(X) ) = 1/2.
Ja vähemmän arroganssia kun et kerran asioita hallitse! Vaikka niinhän se on, että tyhjät tynnyrit...

brittipunta kirjoitti:

Olen lukenut ja mielestäni suurin piirtein ainoana täällä ymmärtänyt. En ole laskemassa todennäköisyyksiä yhteen, totesin vain että koska summa ei ole 100%, arvoissa on päällekkäisyyksiä.

Todennäköisyystehtävissä ei yleensä ole taktikointinäkökulmaa, ja minusta ei tässäkään. Eli yhtä hyvin voidaan ajatella asia niin että kone viskoo tikkoja kohti taulua ja osumiin on annettu tietyt todennäköisyydet.

Viitsisitkö itse esittää tehtävään ratkaisuehdotuksen. Muuten ei kannata enää kommentoida.

Lue lisää

"totesin vain että koska summa ei ole 100%, arvoissa on päällekkäisyyksiä."

Pitkin matkaa on yritetty selittää eri tavoin että nuo todennäköisyydet eivät ole saman tapahtuman vaihtoehtoja, vaan erillisten, toisistaan riippumattomien tapahtumien tn.

Ratkaisu on jo pääpiirteittäin edellä selitetty.

Ohman kirjoitti:

Sinä et ymmärrä edes alkeita. Olivatpa ne yhden heiton pistelukujen todennäköisyydet mitä hyvänsä niin eivät nuo odotusarvon laskeminen ja kysytyn tn:n määrääminen ole sama asia. Voit helposti varmistua tästä esimerkillä,.

Otetaan ensin vain yksi heitto: mahdolliset tulokset ovat 1,2,3,4,5 ja 6. Jos näillä on sama tn = 1/6, niin E(X) = 1/6 * ( 1 2 ... 6) = 21/6 = 7/2 = 3,5.
P(X >= 3,5) = 3/6 = 1/2 (todellakin!)
Mutta jos tn:t ovat toisenlaiset, esim. 1/24,2/24,3/24, 4/24, 6/24, 8/24 niin

E(S(1)) = E(X) = 1/24 2*2/24 3*3/24 4*4/24 5* 6/24 6* 8/24 = (1 4 9 16 30 48)/24 = 108/24 = 27/6 = 4,5.
Nyt P(X >= 4,5) = 14/24 = 7/12. Tämä ei ole = 1/2.

Jos sitten lasketaan kahden heiton summaa S(2) = X1 X2 vaikka noilla arvoilla missä kaikilla tuloksilla on sama tn

E(S(2)) = E(X1 X2) = 2*3.5 = 7. (X1 ja X2 riippumattomia ja jakautuvat samalla tavalla eli kuten X yllä.)

P(S(2) >= 7) =(6 5 4 3 2 1) /36 = 21/36 = 7/12. Tämä ei enää olekaan 1/2.

Ja kun heittoja on niin paljon että tulos 100 alkaa olla saavutettavissa niin tuo summan S(n) jakauma on jo varsin monimutkainen kuten 1. kommentissani jo totesin.

Enpä taida antaa sinulle tn:n alkeisopetusta tämän enempää. Opiskele itse. Mutta et tule löytämään sellaista lausetta että jos X on satunnaismuuttuja niin yleisesti olisi P(X >= E(X) ) = 1/2.
Ja vähemmän arroganssia kun et kerran asioita hallitse! Vaikka niinhän se on, että tyhjät tynnyrit...

Lue lisää

Kyllä summan kertymisen voi laskea odotusarvon avulla. Sinun vinossa jakaumassasikin suurempien silmälukujen suuremmat todennäköisyydet kompensoituvat pienempien silmälukujen suuremmalla poikkeamalla odostusarvosta.
Tehtävässä jakauma on sitä paisti symmetrinen. Eli ykkösen ja kakkosen todennäköisyydessä on yhtä suuri ero kuin viitosen ja kuutosen. Samoin kakkosen/kolmosen ja nelosen/vitosen.

Sinun tynnyrisi taitaa olla pelkkää teoriaa pullollaan, kun et onnistu antamaan mitään vastausta alkuperäiseen kysymykseen. Luuletko että joku on vain huvikseen laittanut tänne suomi24:ään tehtävän, jonka ratkaisemiseen tarvitaan stokastisten prosessien teoriaa? Tuskin.

Oletpa-hukassa kirjoitti:

"totesin vain että koska summa ei ole 100%, arvoissa on päällekkäisyyksiä."

Pitkin matkaa on yritetty selittää eri tavoin että nuo todennäköisyydet eivät ole saman tapahtuman vaihtoehtoja, vaan erillisten, toisistaan riippumattomien tapahtumien tn.

Ratkaisu on jo pääpiirteittäin edellä selitetty.

Lue lisää

"Ratkaisu on jo pääpiirteittäin edellä selitetty."

Yhtäkään ratkaisua ei ole esitetty. Yksi sanoo ettei tehtävää voikaan ratkaista. Muut esittävät syvältä luotaavia psykologisia teorioita siitä, mihin kannattaa yrittää heittää.

Jos todennäköisyydet ovat toisistaan riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksiä, tarvittaisiin rutkasti lisää alkuinformaatiota. Eli jos tikka EI OSUKAAN ykköseen (50%), kakkoseen (45%) tai muuhun valittuun sektoriin, mikä SAADUN pisteluvun todennäköisyys silloin on? Jos nyt vain yrittää miettiä, mitä tehtävässä on ajettu takaa, ei se lopulta kovin monimutkaista ole. Tai on näemmä toisille. :)

brittipunta kirjoitti:

Kyllä summan kertymisen voi laskea odotusarvon avulla. Sinun vinossa jakaumassasikin suurempien silmälukujen suuremmat todennäköisyydet kompensoituvat pienempien silmälukujen suuremmalla poikkeamalla odostusarvosta.
Tehtävässä jakauma on sitä paisti symmetrinen. Eli ykkösen ja kakkosen todennäköisyydessä on yhtä suuri ero kuin viitosen ja kuutosen. Samoin kakkosen/kolmosen ja nelosen/vitosen.

Sinun tynnyrisi taitaa olla pelkkää teoriaa pullollaan, kun et onnistu antamaan mitään vastausta alkuperäiseen kysymykseen. Luuletko että joku on vain huvikseen laittanut tänne suomi24:ään tehtävän, jonka ratkaisemiseen tarvitaan stokastisten prosessien teoriaa? Tuskin.

Lue lisää

Et ymmärrä mitään.
Näytin myös esimerkillä, että vaikka tn:t olivat samat niin kahden heiton pistelukujen summassa ei enää ollut P(S(2) >= E(S(2)) = 1/2 vaan se oli jo 7/12. Ja näin siis jo kahden heiton tapauksessa.
Lopetan omalta osaltani tämän hedelmättömän keskustelun.

Ohman kirjoitti:

Et ymmärrä mitään.
Näytin myös esimerkillä, että vaikka tn:t olivat samat niin kahden heiton pistelukujen summassa ei enää ollut P(S(2) >= E(S(2)) = 1/2 vaan se oli jo 7/12. Ja näin siis jo kahden heiton tapauksessa.
Lopetan omalta osaltani tämän hedelmättömän keskustelun.

Lue lisää

Hyvä Öhman, älä hiilly vaan jatketaan. Jos otetaan sinun jakaumasi ja pannaan säkkiin niiden mukainen määrä lappusia: Yhdessä lapussa on ykkönen, kahdessa kakkonen, kolmessa kolmonen, neljässä nelonen, kuudessa vitonen ja kahdeksassa kutonen. Yhteensä siis 24 lappua. Yhden nostetun lapun pistemäärän odotusarvo on 4,5 kuten laskit. On totta, että 14:ssä lapussa on isompi luku ja vain 10:ssä pienempi. On siis todennäköisempää, että saadaan odotusarvoa suurempi luku. Mutta tehtävässä ei olekaan kyse siitä, millä todennäköisyydellä tulee kerran tai kaksi odotusarvoa suurempi tai pienempi pistemäärä, vaan siitä miten yhteenlaskettujen pisteiden summa suhtautuu odotusarvoon (eli toisin sanoen yhden tapauksen odotusarvon ja toistojen lukumäärän tuloon).

Toistetaanpa nosto vaikkapa 24 kertaa tai mielummin 24 000 kertaa. Jos lasket lapuissa olevien pisteiden mukaan kertyvän SUMMAN, väitän, että mitä suurempi toistojen määrä on, sitä todennäköisemmin summat vaihtelevat tasaisesti 108 (tai 108 000) molemmin puolin. Toisin sanoen poikkeama odotusarvosta on normaalijakautunut. Tämä seuraa keskeisestä raja-arvolauseesta. Näin ollen noin 50% tapauksista luku on odotusarvoa pienempi ja 50% tapauksista suurempi, pienessä osassa tapauksista tietysti täsmälleen odotusarvon mukainen.
Pitäydyn siis alkuperäisessä vastauksessa. Valista minua jos olen väärässä. Mutta älä itse syyllisty alatyyliin, kiitos.

Ei tarvitse konvoluutiota tässä.