Tikkataulussa on kuusi rengasta 1...6, osumatarkkuus 1=50%, 2=45%, 3=30%, 4=25%, 5= 10% ja 6=5%.
Heittojen pisteet ynnätään ja kysymys on kuinka monta kertaa vähintään on heitettävä että summa olisi 50% todennäköisyydellä yli 100 ?
Heittojen pisteet ynnätään ja kysymys on kuinka monta kertaa vähintään on heitettävä että summa olisi 50% todennäköisyydellä yli 100 ?
Vastaukset 48
Vanhimmat
Noista+tulee+165+%.+Tarkistapas+tehtävää.
Heittäjän+tarkkuus+voisi+maksimissaan+olla+jokaiseen+kohdalla+100%,+eli+osuisi+mihin+haluaisi+!
Toi pitää vielä tarkentaa että jokainen tikka osuu tauluun ja jos menee ohi tavoitenumerosta, niin osuu toiseen numeroon samassa suhteessa kuin tarkkuusprosentit.
Siis näin, tähtäät 6. een, ja menee ohi niin todennäköisyys että osuu 1.een on 50/60, 2.een 45/160 jne.
Ei taida mennä noin. Tuosta saadaan, että jos tähtää ykköseen mutta ei osu, on todennäköisyys, että osuu muualle tauluun, on 110/160. Sanoisin että se on enintään noin 0,5.
Niin ja tuossa heitetään summaa vähintään sata, ei tasan sata. Siksi joka heitella pyritään saamaan mahdollisimman suuri numero.
Jos+tähtäät+ykköseen,+todennäköisyys+että+tulee+1+on+50%,+jos+menee+ohi,+niin+jäljelle+jäävä+50%+jakautuu+muille+numeroille+samassa+suhteessa+kuin+niiden+keskinäinen+osumatarkkuus,+eli+jokaiselle+numerolle+on+oma+osumatodennäköisyytensä,+jotka+poikkeavat+sen+mukaan+mihin+yritetään+osua.
Jahas, otettu huomioon, mutta menee vähän lapselliseksi, jos aletaan määrittelemään mihin tikat osuu. Sittenhän me voidaan määritellä myös mihin numeroihin ne osuu.
Ei tätä voi ratkaista. Tarpeeksi huono heittäjä voi heittää vaikka 100 vuotta koko tikkataulusta ohi.
Ei siis koskaan.
34 kertaa.
Numerot+1-2+=+95+%+
70+/+165+=+42,42+%,+että+osuu+numeroihin+3-6.
Sain 38 kertaa jos koko ajan yrittää nelosta, johon heittämällä on suurin kokonaistuotto.
Huomiotta jätin sen, että kun ollaan 95:ssä tai korkeammalla, ei välttämättä tavoitella suurinta tuottoa, vaan riittää, että saavutetaan tuo 100. Siis esim summan ollessa 98 kannatta tähdätä kuutoseen, koska tällöin ykköstuloksen tn on pienin.
Samaan+päädyin.
Jos olet 98:ssa, riittää että seuraavalla heitolla ei tule ykkönen, ei tarvitse tavoitella mahdollisimman korkeaa tulosta. Sen ykkäsen todennäköisyys vaihtelee hiukan riippuen siitä mihin tähtää ja on pienin, jos tähtää kuutoseen. Tämä ei vaikuta alkuperäisen kysymyksen vastaukseen, mutta keskimäärin noin kymmenesosa heiton verran toistokokeessa. Sama seikka koskee kaikkia pistemääriä, joissa on mahdollista ylittää 100 pistettä seuraavalla heitolla.
Oletin, että renkaat ovat yhtä leveitä ja osumistodennäköisyys on verrannollinen renkaan pinta-alan ja taulun kokonaispinta-alan suhteeseen. Lisäksi jokainen heitto osuu tauluun.
Näyttäisi 40 heittoa riittävän.
Noin voisin minäkin olettaa, tuskin sillä taululla mitään maagisia ominaisuuksia on jotka muuten kuin tuon mahdollisen osumapinta-alan avulla määräisivät osumisen todennäköisyyden. Mutta en kylläkään ole mikään tikkatauluekspertti.
Sen sijaan, matemaattisesta tehtävästä kun on kyse, tuo "näyttäisi riittävän" ei oikein riitä ratkaisuksi.
Meillä on tässä diskreetti satunnaismuuttuja X joka saa arvot 1,2,..., 6 tietyillä todennäköisyyksillä. On tutkittava satunnaismuuttujia X(i), jotka jakautuvat identtisesti kuten tuo X ja niiden summmaa S(n) = Summa(1 <=i <= n) X(i).
X(i)-muuttujat ovat myös riippumattomia.
Pitää olla P(S(n) >= 100) = 0,5.
Muuttujan S(n) jakauma saadaan noitten n:n X(i)-muuttujan konvoluutiolla.Tässä voi käyttää avuksi generoivan funktion (emäfunktion) menetelmää mutta hankalaksi lasku kyllä menee joka tavalla..Kullakin n:n arvolla S(n):llä on tietty jakauma ja arvo todennäköisyydelle P(S(n) >= 100). On siis löydettävä n jolle tuo tn = 0,5.
Enpä taida käyttää tätä aamua tuohon hommaan!
Simuloin koneella 40 heiton sarjoja 10000 kpl. Summien keskiarvoksi tulee 101.0xyx. Eikös tämä osoita, että 40 heittoa riittää. Tuon elegantti analyyttinen perustelu menee jo yli hilseen.
Palstalle näyttää taas pesiytyneen näitä "itsetehoste- besserwissereitä", jotka eivät koskaan tiedä ongelman oikeaa ratkaisua, mutta lukemattomia syitä muiden ratkaisujen virheellisyyteen.
Ymärrän, että harmittaa, jos ei tajua itse asiasta mitään. Mutta jotain pitää mökeltää.
Mitä käytit sektorien todennäköisyyksinä? Ja mikä oli todennäköisyyksien summa?
6 0.028
5 0.083
4 0.139
3 0.194
2 0.250
1 0.306
summa=1
Saan+eri+luvut,+vaikka+jakaisin+osatodennäköisyydet+kokonaistodennäköisyydellä+165%.+(Näinhän+ei+edes+voi+olla,+vaan+kokonaistodennäköisyyden+on+oltava+1.)+Lisäksi+et+ole+ottanut+huomioon+ohiheiton+mahdollisuutta.
Katso voesti 20.5.2018 19:58
Tavallisessa säännöllisessä tikkataulussa osumistodennäköisyyden (ja myös pinta-alan) muutos on lineaarinen. Eli esim. kakkosen ja kolmosen välillä on yhtä suuri ero kuin seiskan ja kasin. Niin myös käyttämissäsi arvoissa. Mutta tässä tehtävässä arvot oli annettu eikä niitä voi korvata uusilla - ei ainakaan jos haluaa löytää vastauksen tähän nimenomaiseen tehtävään.
Tehtävä tuntui oudolta. Sen takia laskin tuon "yksinkertaistetun version" huvikseni.
Jos ajatellaan, että tähdätään johonkin numeroon, niin silloin vain renkan leveydellä on merkitystä osumatodennäköisyyden kannalta - ainakin jos ammuttaisiin vaikkapa pienoiskiväärillä. Renkaan leveys siis määrää pienen ympyrän halkaisijan, johon tähdätään. Renkaan muulla pinta-alalla ei ole juuri merkitystä erityisesti isojen renkaiden tapauksessa.
Amatööri tähtää keskelle taulua ja on jo tyytyväinen, jos osuu edes joka kerta tauluun. Tällöin renkaiden suhteellinen pinta-ala lähinnä määrää kunkin numeron todennäköisyyden.
Antaahan se simulointi kuvaa asiasta, havainnollistaa tilannetta. Mutta jos täsmällistä todennäköisyysteoreettista ratkaisua tehtävälle tosiaan tässä on haluttu niin hankala on!
Tehtävänanto+on+hiukan+epätäsmällinen.+Jotta+tehtävässä+olisi+mitään+järkeä,+50%+osumistodennäköisyys+ykkössektoriin+tarkoittaa+osumaa+ykköseen+TAI+PAREMPAAN.+Samoin+osumistodennäköisyys+kakkossektoriin+tarkoittaa+osumista+kakkoseen+tai+parempaan+jne.+Puolet+heitoista+ei+siis+osu+tauluun+ollenkaan.
No, hops, et tainnut ymmärtää tehtävänantoa, ei heittoja pyritä heittämään keskelle, vaan parhaiten keskimääräisesti tuottavaan kohteeseen kyseisillä osumatodennäköisyyksillä.
No ei sitä tehtävänantoa ymmärrä, kun koko ajan annataan lisämääritelmiä. Käytännössä jotta tuollainen todennäköisyysjakauma voisi pitää paikkansa, taulun reankaiden pitäisi olla erilevyisiä.
Renkaat lienevätkin eri levyisiä, senhän voi jo päätellä todennäköisyyksien hyppäyksissä, selvimmin sektorien 2 ja 3 sekä 4 ja 5 välillä, muutoin todennäköisyydet pienenisivät tai kasvaisivat lineaarisesti. Mutta sitähän ei tässä tarvitse miettiä.
Tehtävän idea ei varmastikaan liene se, että mietitään mitä kannattaisi yrittää, kyllähän tikassa aina koetetaan osua mahdollisimman keskelle. Ja jos juju olisi taktikoinnissa ja jonkun tietyn pisteluvun yrittäminen olisi kannattavinta, silloin muiden sektorien todennäköisyyksien tulisi samalla muuttua. Ei ole mitään logiikkaa siinä, että kutosta ja ykköstä yrittäessä ohiheiton todennäköisyys pysyy samana. Eiköhän tässä ole kysymys ihan tavallisesta oletusarvotehtävästä. Kiinnostaisi tietysti tietää, minkä tason oppimateriaalissa tehtävä on esitetty.
" Tehtävän idea ei varmastikaan liene se, että mietitään mitä kannattaisi yrittää "
Se juuri se idea oli.
Jotkut sen huomasivatkin !
Tarkoittanet "odotusarvotehtävästä". Mutta kun tämä nyt on matemaattinen tehtävä ja tarkkana pitää olla niin ei se, että n:n heiton jälkeen pisteluvun S(n) odotusarvo E(S(n)) = 100 ole sama asia kuin että P(S(n) >= 100) = 0.5.Jos jakauma on symmetrinen kuten esim. normaalijakauma N(0,1) niin silloin tämä pätee.
Mainitsin kommentissani myös, että"saa arvot 1,2,...,6 tietyillä todennäköisyyksillä". Esittämäni pätee, olivat nuo todennäköisyydet mitkä hyvänsä. Tuo osumapinta-alaan perustuva tn tuntuu kuitenkin aika luonnolliselta.
:) Oletkos koskaan heittänyt tikkaa? Jos taulu on perinteinen, eli sisäkkäisistä renkaista muodostuva, ainahan taulussa yritetään keskelle. Jos heitto on tarkka, saadaan paras tai lähes paras tulos, ja vaikka olisi vähän epätarkkakin, osuu silti johonkin. Käytännössä nelosen ohueeseen renkaaseen on ihan yhtä vaikeaa tähdätä kuin keskustaankin, minkä lisäksi taulusta ohi heiton todennäköisyys kasvaa, epätarkkuuden aiheuttaman poikkeaman suuntaa kun ei voi valita.
Tilanne olisikin eri jos pistesektorit olisivat kokonaan toisistaan erillään olevia ympyröitä, ja ohiheitto tarkoittaisi aina nollaa pistettä. Tällöin annetussa tehtävässä todellakin kannattaisi yrittää nelosta. ( Ja vastaus olisi 100 heittoa...) Mutta miten voit laskea koko tehtävää omalla logiikallasi, kun ei ole kerrottu, millä todennäköisyydellä tikka osuu muihin kuin yrittämääsi sektoriin?
Odotusarvoista tietenkin on kyse, oikein havaittu. Kerro nyt samalla, miten itse ymmärrät todennäköisyydet tässä tikkataulussa ja miten tehtävä mielestäsi pitää laskea?
Etkö lue kommentteja? Johan minä sen selostin periaatteessa ja totesin laskun niin hankalaksi etten viitsi ruveta sitä käytännössä laskemaan. Ja sanon vielä, että odotusarvoa ei kysytty vaan sitä milloin P(S(n) >= 100) = 0,5.Tämä e i o l e sama asia kuin odotusarvon määrääminen kun tarkkoja ollaan. Matemaattisessa tehtävässä pitäisi vastata siihen mitä kysytään. Tietenkin erilaisia approksimaatioita voi yritellä mutta sellainen on kuitenkin eri asia kuin eksakti vastaus.
En nyt ole miettinyt saisiko tämän ratkaistua jollain toisellakin tavalla kuin jo esittämälläni, esim. soveltamalla stokastisten prosessien teoriaa jotenkin. Mutta en nyt taida enempää tätä miettiäkään.
Annetuilla lähtöarvoilla on laskettavissa eri numeroiden toteutumisen todennäköisyydet ja niistä kysytty tulos.
Spekulointi lähtöarvojen suhteesta käytäntöön tai omiin käsityksiinne tilanteesta ei palvele mitenkään matemaattisen ratkaisun suoritusta, jos asia häiritsee, avatkaa uusi ketju mieleisillänne arvoilla ja jättäkää se p***n jauhaminen.
Kyseessä+ei+varmaankaan+ole+MIT:n+viimeisen+vuosikurssin+tai+Triple+nine+societyn+älypähkinä.+Tarkoitus+on+annettuja+arvoja+käyttäen+ratkaista+yksinkeratinen+todennäköisyyslasku+eikä+spekuloida+loputtomiin.+Täällä+ei+juuri+kukaan+lisäkseni+ole+esittänyt+ratkaisuehdotusta,+jossa+olisi+jotain+tolkkua.+Miten+muuten+todennäköisyydet+ovat+ymmärrettävissä+kuin+esittämälläni+tavalla+jos+niiden+suumaksi+saadaan+165%?
Lue+ja+mieti+hieman+tarkemmin+niin+saatat+ymmärtää.
Olen+lukenut+ja+mielestäni+suurin+piirtein+ainoana+täällä+ymmärtänyt.+En+ole+laskemassa+todennäköisyyksiä+yhteen,+totesin+vain+että+koska+summa+ei+ole+100%,+arvoissa+on+päällekkäisyyksiä.
Sinä et ymmärrä edes alkeita. Olivatpa ne yhden heiton pistelukujen todennäköisyydet mitä hyvänsä niin eivät nuo odotusarvon laskeminen ja kysytyn tn:n määrääminen ole sama asia. Voit helposti varmistua tästä esimerkillä,.
Otetaan ensin vain yksi heitto: mahdolliset tulokset ovat 1,2,3,4,5 ja 6. Jos näillä on sama tn = 1/6, niin E(X) = 1/6 * ( 1 2 ... 6) = 21/6 = 7/2 = 3,5.
P(X >= 3,5) = 3/6 = 1/2 (todellakin!)
Mutta jos tn:t ovat toisenlaiset, esim. 1/24,2/24,3/24, 4/24, 6/24, 8/24 niin
E(S(1)) = E(X) = 1/24 2*2/24 3*3/24 4*4/24 5* 6/24 6* 8/24 = (1 4 9 16 30 48)/24 = 108/24 = 27/6 = 4,5.
Nyt P(X >= 4,5) = 14/24 = 7/12. Tämä ei ole = 1/2.
Jos sitten lasketaan kahden heiton summaa S(2) = X1 X2 vaikka noilla arvoilla missä kaikilla tuloksilla on sama tn
E(S(2)) = E(X1 X2) = 2*3.5 = 7. (X1 ja X2 riippumattomia ja jakautuvat samalla tavalla eli kuten X yllä.)
P(S(2) >= 7) =(6 5 4 3 2 1) /36 = 21/36 = 7/12. Tämä ei enää olekaan 1/2.
Ja kun heittoja on niin paljon että tulos 100 alkaa olla saavutettavissa niin tuo summan S(n) jakauma on jo varsin monimutkainen kuten 1. kommentissani jo totesin.
Enpä taida antaa sinulle tn:n alkeisopetusta tämän enempää. Opiskele itse. Mutta et tule löytämään sellaista lausetta että jos X on satunnaismuuttuja niin yleisesti olisi P(X >= E(X) ) = 1/2.
Ja vähemmän arroganssia kun et kerran asioita hallitse! Vaikka niinhän se on, että tyhjät tynnyrit...
"totesin+vain+että+koska+summa+ei+ole+100%,+arvoissa+on+päällekkäisyyksiä."
Kyllä summan kertymisen voi laskea odotusarvon avulla. Sinun vinossa jakaumassasikin suurempien silmälukujen suuremmat todennäköisyydet kompensoituvat pienempien silmälukujen suuremmalla poikkeamalla odostusarvosta.
Tehtävässä jakauma on sitä paisti symmetrinen. Eli ykkösen ja kakkosen todennäköisyydessä on yhtä suuri ero kuin viitosen ja kuutosen. Samoin kakkosen/kolmosen ja nelosen/vitosen.
Sinun tynnyrisi taitaa olla pelkkää teoriaa pullollaan, kun et onnistu antamaan mitään vastausta alkuperäiseen kysymykseen. Luuletko että joku on vain huvikseen laittanut tänne suomi24:ään tehtävän, jonka ratkaisemiseen tarvitaan stokastisten prosessien teoriaa? Tuskin.
"Ratkaisu+on+jo+pääpiirteittäin+edellä+selitetty."
Et ymmärrä mitään.
Näytin myös esimerkillä, että vaikka tn:t olivat samat niin kahden heiton pistelukujen summassa ei enää ollut P(S(2) >= E(S(2)) = 1/2 vaan se oli jo 7/12. Ja näin siis jo kahden heiton tapauksessa.
Lopetan omalta osaltani tämän hedelmättömän keskustelun.
Hyvä+Öhman,+älä+hiilly+vaan+jatketaan.+Jos+otetaan+sinun+jakaumasi+ja+pannaan+säkkiin+niiden+mukainen+määrä+lappusia:+Yhdessä+lapussa+on+ykkönen,+kahdessa+kakkonen,+kolmessa+kolmonen,+neljässä+nelonen,+kuudessa+vitonen+ja+kahdeksassa+kutonen.+Yhteensä+siis+24+lappua.+Yhden+nostetun+lapun+pistemäärän+odotusarvo+on+4,5+kuten+laskit.+On+totta,+että+14:ssä+lapussa+on+isompi+luku+ja+vain+10:ssä+pienempi.+On+siis+todennäköisempää,+että+saadaan+odotusarvoa+suurempi+luku.+Mutta+tehtävässä+ei+olekaan+kyse+siitä,+millä+todennäköisyydellä+tulee+kerran+tai+kaksi+odotusarvoa+suurempi+tai+pienempi+pistemäärä,+vaan+siitä+miten+yhteenlaskettujen+pisteiden+summa+suhtautuu+odotusarvoon+(eli+toisin+sanoen+yhden+tapauksen+odotusarvon+ja+toistojen+lukumäärän+tuloon).
Kummaa örvellystä. brittipunta yrittää väittää pystyvänsä laskemaan tuon pistelukujen summan todennäköisyyksiä määräämättä ollenkaan summan sen jakaumaa. Tämähän saadaan tuolla konvoluutiolla kuten Ohman on jo ajat sitten todennut.
Ei tarvitse konvoluutiota tässä.