Nopan silmälukujen summan odotusarvo

Kun heitetään kolmea tavallista noppaa, mikä on niiden silmälukujen summan odotusarvo? Mahdolliset summat ovat siis välillä 3-18, pitääkö laskea näille kaikille erikseen todennäköisyydet? Tuntuu melko työläältä. Vai olisiko jotain kätevämpää tapaa?
1
Ilmoita


19 Vastausta

Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastaista viestiä.


Eiköhän se summan jakauma noudata Gaussin käyrää, eli odotusarvo on 10 tai 11, molemmat yhtä todennäköisiä.
1 VASTAUS:
Mutta normaalijakaumahan on jatkuva jakauma kun nopan silmäluvut ovat diskreettejä. Normaalijakauman odotusarvo saadaan integroimalla?
+Lisää kommentti
E = p1*3+p2*4+...+p8*10+p8*11+...+p2*17+p1*18
= 21*(p1+...+p8) = 21/2 =10,5
3 VASTAUSTA:
Mutta laskitko todella nuo kaikki todennäköisyydet p1, p2, p3, ... ? Mulla on siis tää kysymys sellaisena tehtävänä, joka on tarkoitus tehdä ilman mitään laskinohjelmien temppuja yms, vain perus funktiolaskin käytössä.
Anonyymi kirjoitti:
Mutta laskitko todella nuo kaikki todennäköisyydet p1, p2, p3, ... ? Mulla on siis tää kysymys sellaisena tehtävänä, joka on tarkoitus tehdä ilman mitään laskinohjelmien temppuja yms, vain perus funktiolaskin käytössä.
Siinä on taidettu käyttää symmetriaa. Ovela temppu tuokin!
Anonyymi kirjoitti:
Mutta laskitko todella nuo kaikki todennäköisyydet p1, p2, p3, ... ? Mulla on siis tää kysymys sellaisena tehtävänä, joka on tarkoitus tehdä ilman mitään laskinohjelmien temppuja yms, vain perus funktiolaskin käytössä.
Todennäköisyysksien summa on 1 ja kaikkia todennäköisyyksiä on tuplasti; siksi p1+...+p8 = 0,5
+Lisää kommentti
Kannattaa käyttää odotusarvon lineaarisuutta. Summan odotusarvo on odotusarvojen summa eli, kun Xi on i:nnen nopan silmäluku, niin

E[X1 + X2 + X3]
= E[X1] + E[X2] + E[X3]
= 3*3,5
= 10,5

Sillä jokaisen yksittäisen nopan odotusarvo on (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5.
10 VASTAUSTA:
Nerokasta! Mutta samaan tulokseen päädyimme kuitenkin. Sitä paitsi nopassa on vain täysiä kokonaislukuja silmälukuina, joten on loogisempaa sanoa, että odotusarvo summalle on 10 tai 11.
Anonyymi kirjoitti:
Nerokasta! Mutta samaan tulokseen päädyimme kuitenkin. Sitä paitsi nopassa on vain täysiä kokonaislukuja silmälukuina, joten on loogisempaa sanoa, että odotusarvo summalle on 10 tai 11.
Saahan sitä noinkin ajatella ja sanoa ihan vapaasti. On tosin kyllä matemaattisesti täysin väärä tapa ajatella tai sanoa noin.
Anonyymi kirjoitti:
Nerokasta! Mutta samaan tulokseen päädyimme kuitenkin. Sitä paitsi nopassa on vain täysiä kokonaislukuja silmälukuina, joten on loogisempaa sanoa, että odotusarvo summalle on 10 tai 11.
Siis odotusarvo on 10,5.
okaro kirjoitti:
Siis odotusarvo on 10,5.
Arvoa 10,5 ei ole nopassa! Joten odotusarvo on 10 tai 11.
Anonyymi kirjoitti:
Arvoa 10,5 ei ole nopassa! Joten odotusarvo on 10 tai 11.
Katsopas odotusarvon määritelmä uudelleen: https://fi.wikipedia.org/wiki/Odotusarvo .
Odotusarvon ei tarvitse olla satunnaismuuttujan mahdollinen arvo.
Silloin se on aika epätodennäköinen :)

Mihin sitä käytännössä käytetään silloin (kun ei ole mahdollinen)?
Anonyymi kirjoitti:
Silloin se on aika epätodennäköinen :)

Mihin sitä käytännössä käytetään silloin (kun ei ole mahdollinen)?
Tietysti odotusarvo on miksi se on määritelty ja sen soveltaja tulkitsee sen sitten miten parhaaksi näkee :)
Anonyymi kirjoitti:
Silloin se on aika epätodennäköinen :)

Mihin sitä käytännössä käytetään silloin (kun ei ole mahdollinen)?
Toistettaessa keskiarvo lähestyy odotusarvoa.

Muuten jatkuvalla satunnaismuuttujallakin odotusarvo
olisi äärettömän epätodennäköinen jos äärettömän tarkasti mitattaisiin jotain täysin satunnaista asiaa.

huom. teksti saattaa sisältää asiavirheitä ;)
Anonyymi kirjoitti:
Toistettaessa keskiarvo lähestyy odotusarvoa.

Muuten jatkuvalla satunnaismuuttujallakin odotusarvo
olisi äärettömän epätodennäköinen jos äärettömän tarkasti mitattaisiin jotain täysin satunnaista asiaa.

huom. teksti saattaa sisältää asiavirheitä ;)
Niin sisältääkin. Ja pahoja!
Anonyymi kirjoitti:
Arvoa 10,5 ei ole nopassa! Joten odotusarvo on 10 tai 11.
Odotusarvo vastaa tilastotieteen keskiarvoa, ei moodia.
+Lisää kommentti
Mikä on odotusarvo ohuen lantin heitossa? Siis sellaisen, joka ei voi jäädä seisomaan syrjälleen?
1 VASTAUS:
Sinä et näytä tietävän mikä' matemaattinen objekti odotusarvo on.

Aluksi tarvitaan todennäköisyysavaruus (A ) jolla on tietty matemaattinen määritelmä. Lantinheitossa tuon tn-avaruuden muodostavat kaikki mahdolliset kruuna-klaava-jonot (alkeistapahtumat). Niiistä muodostuvat tapahtumat eli tuon avaruuden sigma-algebra. Näille on määritelty todennäköisyysmitta ( P ), joka täyttää tietyt matemaattiset ehdot.

Satunnaismuuttuja X on mitallinen kuvaus A -> R tai jollekin R:n osajoukolle. Vasta satunnaismuuttujalla X on odotusarvo E(X) jolla on oma matemaattinen määritelmänsä. Odotusarvoa e i siis lasketa tuossa tn-avaruudessa A.

Sinun pitäisi määritellä tuosta kruuna-klaava- jonojen avaruudesta A tuo kuvaus X ja vasta sillä olisi odotusarvo.
+Lisää kommentti

Vastaa alkuperäiseen viestiin

Nopan silmälukujen summan odotusarvo

Kun heitetään kolmea tavallista noppaa, mikä on niiden silmälukujen summan odotusarvo? Mahdolliset summat ovat siis välillä 3-18, pitääkö laskea näille kaikille erikseen todennäköisyydet? Tuntuu melko työläältä. Vai olisiko jotain kätevämpää tapaa?

5000 merkkiä jäljellä

Rekisteröidy, jos haluat käyttää nimimerkkiä.

Peruuta