Polynomi pisteiden kautta, pidä se positiivisena!

minkkilaukku

Kolmannen asteen polynomi p kulkee pisteiden
(0, 0)
(1, 1)
(2, a)
(3, 1)
kautta. Millä a:n arvoilla p(x)>=0 kaikilla x>=0?

3

213

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      P(x) = b x^3 c x^2 d x e . Koska P(0) = 0 on e = 0.
      b c d = 1
      8 b 4 c 2 d = a
      27 b 9 c 3 d = 1
      Näistä selviää funktiot b = b(a), c = c(a) ja d = d(a).
      Nämä sijoitetaan polynomin kertoimiksi . Täytyy olla P(x) >= 0 kun x >= 0.
      P(x) = b(a) x^3 c(a) x^2 n d(a) x =x * (b(a) x^2 c(a) x d(a)).
      Täytyy olla b(a) x^2 c(a) x d(a) >= 0 kun x >= 0. Ja tuohan selviäätutkimalla tuota toisen asteen polynomia.

      • Anonyymi

        Tuli tuohon ylimääräinen n. Älkää välittäkö. Ei Villekään välittänyt vaikka...

      • minkkilaukku

        Tosiaan, siinähän voi suoraan tutkia polynomia b(a) x^2 c(a) x d(a) ja rajatapauksen saa sitten asettamalla diskriminantin nollaksi kun ratkaisee b(a) x^2 c(a) x d(a) = 0. Ratkaisuksi tulee

        a on väliltä [(2-sqrt(3))/3, (2 sqrt(3))/3].

        Ratkoin itse Sagella vähän pitemmän kaavan kautta. Tuon pisteiden kautta kulkevan polynomin saa muuten kätevästi Lagrangen interpolaatiopolynomina ja se on Sagessa valmiina. Otin polynomin kerroinkunnaksi Q(a), jotta saa muuttujan a mukaan.
        Polynomiksi tulee
        (2/3-a/2)x^3 (2a-3)x^2 (10/3-3/2a)x
        Ratkaisin huippukohdat derivaatan nollakohdista ja sitten sijoitin toisen (tämä jälkimmäinen huippukohta on määräävä) p:hen ja siitä sain epäyhtälön, josta ratkaisin a:n rajat (piti käyttää Wolfram Alphaa, kun en Sagella tiennyt miten sillä saisi).
        Ihmettelinkin mistä noin sievä ratkaisu tulee, mutta sieltähän se diskriminantin alta toisen asteen yhtälön ratkaisuna tulee.

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Toiko Helen laivalastillisen vieraslajeja Suomeen?

      Loviisan satamaan tuotiin laiva­lastillinen pähkinän­kuoria Norsun­luu­rannikolta Loviisan satamaan kiinnittyi vapun al
      Maailman menoa
      96
      2355

    2. Elikkä Riikka Purra ei kannusta Suomea edes euroviisuissa

      Sellaista on persujen "isänmaallisuus", oma kansa viimeiseksi ja ulkomaalaiset ensimmäisiksi. https://www.iltalehti.fi/
      Maailman menoa
      22
      1824

    3. Koulujen kesälomien siirto

      Koulujen kesälomaa voitaisiin siirtää viikon verran. Se voisi olla hyvä kompromissi. Pääsiäsiseen voitaisiin lisätä muut
      Maailman menoa
      124
      1602

    4. Mitä kirjainta haluaisit

      rakastella juuri nyt?
      Ikävä
      85
      1285

    5. Perussuomalaisten onnistunut vappumarssi nostaa kannatusta

      Rauhanmarssilla olleiden kimppuun hyökänneiden vassareiden kannatus sen sijaan romahtaa. Kaikki näyttää hyvältä vuoden
      Maailman menoa
      16
      1280

    6. Inhottava stalkkeri

      Mikä ajaa ihmisen moiseen toimintaan ?
      Ikävä
      127
      1179

    7. Nainen, mistä johtuu että joskus et vain ymmärrä?

      Älä sitä, älä tätä. Ei niitä varoituksia turhaan sanota. Älä laita sormeasi sirkkeliin. Älä hengaile sen murhaaja poruka
      Ikävä
      135
      919

    8. "UKRAINA HYÖKKÄÄ LATVIAN ÖLJYVARASTOON JA JUNAAN"!!!

      "MATKUSTAJAJUNA SAI UKRAINALAISLENNOKEISTA VAKAVIA VAURIOITA"!!!
      Maailman menoa
      48
      898

    9. Yhä pyörit mielessä,

      ja tällä kertaa huomasin yhden asian: Sinusta välittyi sellaista lempeyttä ja välittämisen tunnetta, jota ei voi unohtaa
      Ikävä
      29
      827

    10. Victoria-tytär, 16, vertaa Martina Aitolehteä ja Esko Eerikäistä: "Iskä on enemmän..."

      Martina Aitolehti ja Esko Eerikäinen ovat ex-pari ja heillä on yksi yhteinen tytär, Victoria. Eerikäinen oli Huomenta Su
      Kotimaiset julkkisjuorut
      80
      826
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt