Integraali 1/(1+x potenssiin a) nollasta äärettömään

Olkoon a>1. Laske integraali

I_a = int_0^∞ 1 / (1 x^a) dx

Törmäsin tällaiseen tehtävään kompleksianalyysin parissa. Sain sen jo laskettua mutta laitetaan nyt tänne muillekin pohdittavaksi. Kompleksianalyysin keinoin mukava ja opettavainen tehtävä, sai kyllä käyttää jos jonkin näköistä teoreemaa (ainakin siinä tavassa, jolla itse ratkaisin). Mutta voisikohan tätä ratkaista ilman kompleksianalyysiä?

3

255

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Tarkoittaa varmaan int 0->∞

      • Joo, int.rajat 0:sta äärettömään. Tuo _.^* -merkintä on latex:issa, mutta tänne ei mitään MathJaxiäkään saa :(.
        Noh, kokeilkaapa tällä vimstaakilla noita integraalin arvoja:

        https://www.desmos.com/calculator/ckq1kstpgm

        Tuossa pitää vähän sen ylärajan R kanssa pelata, että ei mene undefineksi, mutta kuitenkin tarpeeksi suuri, jotta approksimaatio on hyvä.

        Ratkaiseminen kannattaa aloittaa tapauksella a on kokonaisluku. Tapaus a=2 onkin ehkä jo tuttu.


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Vihamielisyys naisia kohtaan on jo yllättävän suuri ongelma

      Esiintyy laajemmassa mittakaavassa, mitä vain tällä palstalla. Mistä tuo ilmiö nyt oikein johtuu, ja saa alkuvoimansa?
      Sinkut
      640
      2954
    2. Muistatko kaivattusi

      Syntymäpäivän? Päivämäärä riittää. 🌹
      Ikävä
      110
      1595
    3. Odotan sitä hetkeä

      kun nähdään taas. Tiedän, että sinäkin odotat. Kun se päivä koittaa, katseesi hakee minua. Ehkä arkailemme toisiamme väh
      Ikävä
      72
      1566
    4. Olen melko vakuuttunut

      etten tule olemaan koskaan täysin onnellinen ilman sinua. En uskonut, että näin kävisi kenenkään kanssa. Kunnes sain kok
      Ikävä
      83
      1410
    5. Minkälaisessa asennossa

      Haluaisit kaivattusi kanssa olla?
      Ikävä
      117
      1323
    6. Leijonat Maailmanmestareita!

      Ihanaa Leijonat, ihanaa!!!
      Maailman menoa
      140
      1282
    7. 105
      1157
    8. Postimerkki kirjeeseen ja kortiin maksaa jo 3 euroa!

      https://yle.fi/a/74-20229241 Kyllä tämä on järjetön hinta, Posti tuhoaa itsensä tällä hinnalla, täytyyhän Postin "Herro
      Maailman menoa
      138
      1061
    9. Sinä siellä lähistöllä

      Tahtoisin tutustua paremmin 💫
      Ikävä
      48
      970
    10. Mulla on ikävä

      sua nainen ja niitä katseita ❤️ Lupaatko, että katseemme kohtaa taas?
      Ikävä
      49
      949
    Aihe