Voidaanko osoittaa, että piin desimaaliesitys sisältää jossain kohtaa 100 peräkkäistä nollaa? Tai voidaanko osoittaa, että ei sisällä? Entä yleisesti, voidaaanko osoittaa, että minkä tahansa irrationaaliluvun desimaaliesitys sisältää minkä tahansa äärellisen numerojonon?
Irrationaalilukujen desimaaleista
Anonyymi
7149
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 7
Vanhimmat
Piille ei olla vielä onnistuttu todistamaan, että jokainen äärellisen mittainen lukujono löytyy sen desimaalikehitelmästä. Toisaalta ei myöskään olla todistettu, ettei jotain lukujonoa sieltä löytyisi, joten ei voida vielä sanoa suuntaan tai toiseen.
Irrationaaliluvuille yleisesti tuo ei tietenkään päde, mikä on helppo osoittaa: Otetaan irrationaaliluku x, jonka desimaalikehitelmä on muuten sama kuin piin, paitsi että kaikki ysit jätetään välistä. Näinollen x:n desimaalikehitelmä ei sisällä mitään lukujonoa, joka sisältää luvun yhdeksän.
Toisaalta on myös helppo todistaa, että on olemassa irrationaalilukuja, joiden desimaaleista löytyy jokainen äärellisen mittainen lukujono, mikä käy helpoimmin generoimalla tuollainen irrationaaliluku: olkoon x sellainen luku, jonka desimaalissa esiintyy suuruusjärjestyksessä ensin kaikki yhden luvun mittaiset jonot, sitten kahden luvun mittaiset jonot, jne.
Siis x=0,0123456789000102030405...
Sikäli, että pii on satunnainen, desimaalit ei ala toistamaan alusta ja niitä on loputtomiin. Jossain vaiheessa on 100 peräkkäistä nollaakin. Pii sisältää itse itsensä desimaaleissa.
Pii ei ole satunnainen, vaan epäsäännöllinen, joten sitä voidaan käyttää satunnaislukujen generoinnissa.
On se satunnainen sikäli että mikään desimaali ei ole muita todennäköisempi.
Pii on toistettavissa oleva, satunnaisuus ei ole.
Juuri siksi, että mikään desimaali ei ole muita todennäköisempi, sitä voidaan käyttää satunnaislukujen generointiin. Silti pii ei tietenkään ole satunnainen. Muuten olisi aika uskomaton sattuma, että joka kerta kun piitä on arvottu, on saatu desimaaleiksi juuri nuo samat 3,14159 26535 89793 23846 26433...
Satunnaislukujen generointi perustuu siihen, että et voi edellisten lukujen perusteella tietää mikä seuraava luku on:
Aloitetaan "arpominen" jostain kohtaa piin desimaaleja.
Ensimmäiseksi luvuksi saamme kakkosen. Käyttäjä ei kuitenkaan voi tietää onko tuo kakkonen desimaalikehitelmän kohdassa 6, 16, 21, 33, 38 vai jossain myöhempänä, joten hän ei myöskään voi tietää mikä luku "arvotaan" seuraavaksi.
Toiseksi luvuksi saamme kutosen. Nytkään käyttäjä ei tiedä onko luvut arvottu kohdasta 6-7, 21-22, 225-226, vai jostain myöhempää, joten hän ei tiedä mikä luku "arvotaan" seuraavaksi.
Ja niin edelleen.
Vielä vahvemmalle ominaisuudelle, että jokainen äärellinen jono löytyy keskimäärin yhtä useasti (raja-arvona) on nimitys: "normaali luku". Linkki: https://fi.wikipedia.org/wiki/Normaali_luku . Melkein kaikki reaaliluvut ovat normaaleja; komplementti on nollamittainen. Piille normaalius on otaksuttu, mutta ei siis todistettu.