Suoran ympyräpohjaisen lieriön korkeuden ja pohjaympyrän säteen summa on 13. Määritä ympyräpohjaisen lieriön tilavuuden suurin arvo maksimissaan.
Suurin tilavuus on maksimissaan ?
Pää lyö niin tyhjää
Suurin tilavuus on maksimissaan ?
Pää lyö niin tyhjää
Vastaukset 4
Vanhimmat
Oletko koittanut kirjoittaa tilavuuden kaavaa funktiona (otitpa sitten muuttajaksi joko pohjan säteen tai korkeuden)?
Jos pohjaympyrän säde on x niin korkeus on 13 - x.
Lieriön tilavuus on silloin f(x) = pii*x^2*(13 - x).
Derivoi se x:n suhteen ja etsi positiivinen nollakohta niin saat maksimitilavuuden tuottavan säteen arvon. Laske sitten tilavuus em. kaavalla.
Lieriön tilavuus on V(x) missä x on tuon pohjaympyrän säde.
V(x) = pii*x^2*(13-x) = pii(13 x^2 -x^3)
V'(x) = pii*(26 x - 3 x^2) = 0
x=0 tai x = 26/3
Kun x kasvaessaan ohittaa pisteen 26/3 niin derivaatan V'(x) etumerkki muuttuu plussasta miinukseksi joten pisteessä x = 26/3 tilavuus V(x) saavuttaa maksimin.
Tässä tehtävässä x >= 0 ja kun x=0 niin V(0) = 0.
V(26/3) = pii* (26/3)^2 * (13 - 26/3) = pii*4/9*13^2 *13/3 = pii*4/27*13^3 = 1022,529... =~ 1023
Joo kiitos. Sainkin ratkastua tuon jo!