Autolla, (massa 1511kg) ajetaan ympyrän muotoista rataa nopeudella 50km/h. Radan halkaisija on 50m. Auton nopeutta kasvatetaan vakio kiihtyvyydellä nopeuteen 150km/h. Kiihdytys kestää 12 sekunttia. Laske ajanhetkellä 6s kiihdytyksen aloittamisesta auton keskeiskiihtyvyys ja autoon kohdistuva keskeisvoima. Entä miten lasketaan kokonaiskiihtyvyys ja kokonais voima?
Voisiko joku vääntää ihan ratakiskosta kun rautalanka ei tunnu riittävän...
Voisiko joku vääntää ihan ratakiskosta kun rautalanka ei tunnu riittävän...
Vastaukset 32
Vanhimmat
Nopeus ja kiihtyvyys ovat vektoreita. Ympyräradalla niiden suunta muuttuu jatkuvasti. Ei siis ole vakionopeutta eikä vakiokiihtyvyyttä paitsi silloin kun ne ovat = 0.
Kun kyse sentään on fysiikan tehtävästä pitäisi tehtävä antaa oikeiden fysiikan suureiden avulla eikä jättää arvailtavaksi, mitä tarkoitetaan.
Äläs nyt !
Tässä tapauksessa käsitellään liikkuvaa koordinaatistoa (auto), johon vaikuttaa vakiosuuntaiset kiihtyvyydet.
Jos halutaan määritellä myös suunnat jossain muussa koordinaatistossa, se ainoastaan teettää hieman lisää töitä,mutta autoon vaikuttaviin sitä ei tarvita.
Tulkitsen tehtävää nyt näin:
Auto on ympyräradalla R(t). l R(t) l = r. Kulmanopeusvektori on W(t). dR/dt = R' = WxR.
R''= W' x R W x R' = W' x R W x (W x R) = W' x R (W,R) W - (W,W) R =
W' x R - w^2 R missä w = lWl.
W' xR on kiihtyvyyden R'' tangentiaalinen komponentti ja -w*2 R on keskeiskomponentti.
Mutta ajatellaan nyt näin:
Ajassa t auton paikkavektori kiertyy kulman u(t). Kuljetun kaaren npituus on s(t) = r u(t).
s'(t) = r u'(t) = r w. s''(t) = r w' . Jos s''(t) on vakio niin w' on vakio.
w(t) = w(0) w' t
v(0) = 50*10^3/3600 ja v(12) = 150*10^3/3600. w(t) = v(t) / r
w(12) = w(0) 12 w'. Tästä löytyy arvo vakiolle w'.
w(6) = w(0) 6 w'.
Kysytty keskeiskiihtyvyys on - w(6)^2 * r ja keskeisvoima on tämä kerrottuna auton massalla m = 1511 .
Kokonaiskiihtyvyys? Tarkoitetaanko vektoria R''(6) vai sen itseisarvoa (pituutta) l R''(6) l?
Autoon vaikuttaa hetkellä t kokonaisvoima F(t) = m R''(t). Hetkellä t = 6 sen itseisarvo on l F(6) l.
Tulkitsen tehtävää nyt näin:
Auto on ympyräradalla R(t). l R(t) l = r. Kulmanopeusvektori on W(t). dR/dt = R' = WxR.
R''= W' x R W x R' = W' x R W x (W x R) = W' x R (W,R) W - (W,W) R =
W' x R - w^2 R missä w = lWl.
W' xR on kiihtyvyyden R'' tangentiaalinen komponentti ja -w*2 R on keskeiskomponentti.
Mutta ajatellaan nyt näin:
Ajassa t auton paikkavektori kiertyy kulman u(t). Kuljetun kaaren npituus on s(t) = r u(t).
s'(t) = r u'(t) = r w. s''(t) = r w' . Jos s''(t) on vakio niin w' on vakio.
w(t) = w(0) w' t
v(0) = 50*10^3/3600 ja v(12) = 150*10^3/3600. w(t) = v(t) / r
w(12) = w(0) 12 w'. Tästä löytyy arvo vakiolle w'.
w(6) = w(0) 6 w'.
Kysytty keskeiskiihtyvyys on - w(6)^2 * r ja keskeisvoima on tämä kerrottuna auton massalla m = 1511 .
Kokonaiskiihtyvyys? Tarkoitetaanko vektoria R''(6) vai sen itseisarvoa (pituutta) l R''(6) l?
Autoon vaikuttaa hetkellä t kokonaisvoima F(t) = m R''(t). Hetkellä t = 6 sen itseisarvo on l F(6) l.
Tulkitsen tehtävää nyt näin:
Auto on ympyräradalla R(t). l R(t) l = r. Kulmanopeusvektori on W(t). dR/dt = R' = WxR.
R''= W' x R W x R' = W' x R W x (W x R) = W' x R (W,R) W - (W,W) R =
W' x R - w^2 R missä w = lWl.
W' xR on kiihtyvyyden R'' tangentiaalinen komponentti ja -w*2 R on keskeiskomponentti.
Mutta ajatellaan nyt näin:
Ajassa t auton paikkavektori kiertyy kulman u(t). Kuljetun kaaren npituus on s(t) = r u(t).
s'(t) = r u'(t) = r w. s''(t) = r w' . Jos s''(t) on vakio niin w' on vakio.
w(t) = w(0) w' t
v(0) = 50*10^3/3600 ja v(12) = 150*10^3/3600. w(t) = v(t) / r
w(12) = w(0) 12 w'. Tästä löytyy arvo vakiolle w'.
w(6) = w(0) 6 w'.
Kysytty keskeiskiihtyvyys on - w(6)^2 * r ja keskeisvoima on tämä kerrottuna auton massalla m = 1511 .
Kokonaiskiihtyvyys? Tarkoitetaanko vektoria R''(6) vai sen itseisarvoa (pituutta) l R''(6) l?
Autoon vaikuttaa hetkellä t kokonaisvoima F(t) = m R''(t). Hetkellä t = 6 sen itseisarvo on l F(6) l.
Tulkitsen tehtävää nyt näin:
Auto on ympyräradalla R(t). l R(t) l = r. Kulmanopeusvektori on W(t). dR/dt = R' = WxR.
R''= W' x R W x R' = W' x R W x (W x R) = W' x R (W,R) W - (W,W) R =
W' x R - w^2 R missä w = lWl.
W' xR on kiihtyvyyden R'' tangentiaalinen komponentti ja -w*2 R on keskeiskomponentti.
Mutta ajatellaan nyt näin:
Ajassa t auton paikkavektori kiertyy kulman u(t). Kuljetun kaaren npituus on s(t) = r u(t).
s'(t) = r u'(t) = r w. s''(t) = r w' . Jos s''(t) on vakio niin w' on vakio.
w(t) = w(0) w' t
v(0) = 50*10^3/3600 ja v(12) = 150*10^3/3600. w(t) = v(t) / r
w(12) = w(0) 12 w'. Tästä löytyy arvo vakiolle w'.
w(6) = w(0) 6 w'.
Kysytty keskeiskiihtyvyys on - w(6)^2 * r ja keskeisvoima on tämä kerrottuna auton massalla m = 1511 .
Kokonaiskiihtyvyys? Tarkoitetaanko vektoria R''(6) vai sen itseisarvoa (pituutta) l R''(6) l?
Autoon vaikuttaa hetkellä t kokonaisvoima F(t) = m R''(t). Hetkellä t = 6 sen itseisarvo on l F(6) l.
Tulkitsen tehtävää nyt näin:
Auto on ympyräradalla R(t). l R(t) l = r. Kulmanopeusvektori on W(t). dR/dt = R' = WxR.
R''= W' x R W x R' = W' x R W x (W x R) = W' x R (W,R) W - (W,W) R =
W' x R - w^2 R missä w = lWl.
W' xR on kiihtyvyyden R'' tangentiaalinen komponentti ja -w*2 R on keskeiskomponentti.
Mutta ajatellaan nyt näin:
Ajassa t auton paikkavektori kiertyy kulman u(t). Kuljetun kaaren npituus on s(t) = r u(t).
s'(t) = r u'(t) = r w. s''(t) = r w' . Jos s''(t) on vakio niin w' on vakio.
w(t) = w(0) w' t
v(0) = 50*10^3/3600 ja v(12) = 150*10^3/3600. w(t) = v(t) / r
w(12) = w(0) 12 w'. Tästä löytyy arvo vakiolle w'.
w(6) = w(0) 6 w'.
Kysytty keskeiskiihtyvyys on - w(6)^2 * r ja keskeisvoima on tämä kerrottuna auton massalla m = 1511 .
Kokonaiskiihtyvyys? Tarkoitetaanko vektoria R''(6) vai sen itseisarvoa (pituutta) l R''(6) l?
Autoon vaikuttaa hetkellä t kokonaisvoima F(t) = m R''(t). Hetkellä t = 6 sen itseisarvo on l F(6) l.
Näkyy olevan jotenkin sekaisin koko palstan systeemi.
Siltä näyttää edelleen. Kertoi, että jotakin meni pieleen ja kehoitti yrittämään uudestaan. Tuolla seurauksella: juttu tuli moneen kertaan. Eikö nyt mokomaa palstaa saada toimimaan?
Radan halkaisiija 50 m ? Mahtaako pysyä radalla edes tuossa alkuvauhdissa..
On varmaan tosi ihmeelliset kitkarenkaat!
Ratakiskosta näin:
Kulkusuuntaan nopeus v lienee hallussa, se lasketaan samoin kuin suoraankin kulkiessa, keskeiskiihtyvyys on v²/r.
Autoon vaikuttava kokonaiskiihtyvyys on ajosuuntaan x, keskiötä kohden y ja maan vetovoima g, josta kokonaiskiihtyvyys on sqrt(x² y² g²).
Ja voima tietenkin massa * kiihtyvyys.
Avauksessa ilmeisesti radan halkaisijan mitasta jäänyt yksi nolla pois !
Jos fyysikko istuu tukevasti tuolilla, nin kokonaiskiihtyvyys on nolla. Jos hän putoaa tuolilta, niin kokonaiskiihtyvyys on g jonkin aikaa. Arvelen.
Jos auto kiertää vakiosäteistä ympyrärataa vakionopeudella, niin kokonaiskiihtyvyyden itseisarvon täytyy olla nolla. Säteen suuntaiset voimat kumoavat toisensa (vrt. kivilinko narun päässä).
Niin, tässähän on aina paradoksi tämän Newtonin kanssa, eli onko vastavoiman aiheutettava massalle liikettä, vai onko myös staattinen olotila samojen lakien vaikutuspiirissä, eli kun voiman kumoaa vastavoima eikä voiman F=ma, tuo a, pääse pätemään.
Fysiikka ja filosofia reiät milloinkaan voi olla toistensa "kavereita", filosofialla ei ole rajoja, fysiikka ei taas voi ylittää rajojaan.
Juuripa niin, tilanteiden olomuoto on ymmärrettävä niin, että dynamiikan ja statiikan ero on osattava tunnistaa.
Tehtävässä ei ollut kyseessä vakionopeus. Mutta puhutaan nyt siitä. Ympyräradan pisteen paikkavektori on R = R(t).
Vektorin A itseisarvo lAl = a. (A,B) on vektorien A ja B "pistetulo". AxB on ristitulo.
Kulmanopeusvektori W on kohtisuorassa ratatasoa (tasoa missä R kiertää) vastaan.
V = dR/dt = W x R = w r T missä T on ympyrän yksikkötangenttivektori pisteessä R. Siis
v = w r.
(R,R) = r^2 = vakio joten d (R,R) / dt = (dR,R) (R,dR) = 2 (R,dR) = 0 joten dR/dt on kohtisuorassa paikkavektoria R vastaan eli ympyrän tangentin suuntainen.
Kiihtyvyys on
A = d^2 R/dt^2 = dV/dt = d(WxR) /dt =dW/dt x R W x dR/dt = 0 Wx(WxR) = (W,R)W - (W,W) R = - w^2 R = - w^2 r R/r.
l A l = w^2 r = v^2/r. Tämän suuruinen on kiihtyvyys ja sen suunta on - R :n suunta eli suuntautuu kohti ympyrän keskipistettä.
Kyllä tuolilla tukevasti istuvaan fyysikkoonkin vaikuttaa g-voima, jonka tuolin tukivoima kompensoi ja fyysikko ei ole kiihtyvässä liikkeessä. Auton tapauksessa pyörien kitkavoima synnyttää tukivoiman.
Kyse on terminologiasta. Mitä milloinkin tarkoitetaan temillä kokonaiskiihtyvyys.
Nyt en ymmärrä ?
Tehtävässä kysyttiin tilannetta hetkellä 't', jossa kaikki muuttujat ovat laskettavissa.
Mitä pitäisi vielä lisäksi hahmotella ?
Mitähän sinä et ymmärrä?
Kommentoin viestiä jossa Anonyymi/17.05.2021 18:19 puhui ympyräradan kiertämisestä vakionopeudella. Totesin, ettei tehtävässä ollut kyseessä vakionopeus ja selostin sitten hiukan tuota vakionopeuden tapausta.
Niin, sitä selostuksesi tarkoitusta.
Kyllä kai kaikille on selvää, että kun puhutaan kiihtyvästä liikkeestä, ei ole kyse vakionopeudesta.
Edellä olleen vakionopeusmaininnan taustana oli, että hetkellinen keskeiskiihtyvyys voidaan laskea kuin nopeus olisi kyseisellä hetkellä vakio, näin juuri on ja ymmärsit ilmeisesti asian väärin, ja ryhdyit taas sekoittamaan yksinkertaista, jo selitettyä asiaa.
No sitten et ymmärrä. Minkäs sille voi?
Varsinaisen tehtävän ratkaisun selostin jo viestissäni 17.05.2021 07:53
at = ((150/3,6) - (50/3,6))/12 = 2,31 m/s² (tangentiaalinen kiihtyvyys)
nopeus 6s kohdalla on 50 (150-50)/2 = 100 km/h eli 27,8 m/s
ar = 27,8²/25 = 30,86 m/s² (keskeiskiihtyvyys)
akok = sqrt(30,86² 2,31²) = 30,95 m/s² (kokonaiskiihtyvyys)
keskeisvoima Fr = 1511*27,8²/25 = 46,7 kN
kokonaisvoima Fkok = 1511*30,95 = 46,8 kN
Kulkeeko auto jossain painottomassa tilassa, kun gravitaation aiheuttama kiihtyvyys on jätetty pois ?
Kun autoon vaikuttava painovoima on noin 15 kN, pitäisi kitkakertoimen olla noin 3 jotta auto pysyisi radallaan. Luultavasti radan halkaisijan pitäisi olla 500 m.
Auto ei ole vapaassa putoamisliikkeessä.
Jos tynnyri viedään kauaksi avaruuteen maan vetovoimakentän ulkopuolelle ja pannaan pyörimään vakionopeudella, niin tynnyrissä olija ei voi tietää pitääkö hänet lattiassa maan vetovoima vai pyörimisen synnyttämä hitausvoima. Mutta painovoima ja hitausvoima eivät ole sama asia.
Lehdestä luin, että hitausvoima selitetään nykyään Higgsin hiukkasella.
Sitä vaan, että jos ratakiskosta pitää vääntää, niin joku voisi selittää hitausvoiman olemuksenkin.
Painovoima selitetään aika-avaruuden kaareutumisella.
Mielenkiintoinen juttu tuo hitausvoima https://fi.wikipedia.org/wiki/Onni_Suuronen on.