Onko kaikkien reaalilukujen keskiarvo 0?
Keskiarvo?
Anonyymi
35
647
Vastaukset
- Anonyymi
Jotta keskiarvo voitaisiin yleistää kaikille reaaliluvuille pitäisi sinne määritellä tiheysfunktio, josta keskiarvo lasketaan. Mehän haluaisimme laittaa tasajakauman, jotta jokainen reaaliluku olisi painotettu samalla tavalla. Ongelma on siinä, että tämä "tasajakauma" ei ole olemassa, sillä positiivisen vakion integraali reaalilukujen yli on ääretön.
- Anonyymi
Minusta on koska kaikkien reaalilukujen summa on 0.
Tuo tulee siitä että kaikki reaaliluvut voidaan järjestää pareiksi x ja -x ja tuon parin summa on 0 joten kaikkien parien summa on myös 0.- Anonyymi
Yhtä hyvin ne voidaan järjestää pareiksi -x ja 2x jolloin summa on ääretön. Ylinumeroituva summa ei koskaan suppene itseisesti (harjoitustehtävä) joten uudelleen järjestelemällä sen arvoksi saa mitä tahansa. Näin ollen summana keskiarvoa ei ole mielekästä määritellä. Integraalina määrittely onnistuu jos joukon mitta on äärellistä. Silloinkin tosin keskiarvo voi olla olematta äärellistä mutta ainakin se on määritelty ja tulos järkevä.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Yhtä hyvin ne voidaan järjestää pareiksi -x ja 2x jolloin summa on ääretön. Ylinumeroituva summa ei koskaan suppene itseisesti (harjoitustehtävä) joten uudelleen järjestelemällä sen arvoksi saa mitä tahansa. Näin ollen summana keskiarvoa ei ole mielekästä määritellä. Integraalina määrittely onnistuu jos joukon mitta on äärellistä. Silloinkin tosin keskiarvo voi olla olematta äärellistä mutta ainakin se on määritelty ja tulos järkevä.
Niin siis jos summassa on ylinumeroituvan monta nollasta eroavaa termiä, niin silloin se ei suppene itseisesti.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Niin siis jos summassa on ylinumeroituvan monta nollasta eroavaa termiä, niin silloin se ei suppene itseisesti.
Kertoisitko miten reaaliluvuista muodostetaan "ylinumeroituva summa"?
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Kertoisitko miten reaaliluvuista muodostetaan "ylinumeroituva summa"?
Tosiaan sen määritteleminen on jo ongelmallista, jos mukana on negatiivisiä lukuja. Ei-negatiivisille se voidaan määritellä supremumina kaikista äärellisistä osasummista.
Tai voihan sen, jos negatiivisia mukana, niin tehdä näin:
Negatiiviset otetaan erilleen ja jos niiden itseisarvojen summa ei ole ääretön, niin määritellään sitten koko summa positiivisten summa miinus negatiivisten summa. Mutta jos lasketaan kaikki reaaliluvut, niin päädytään tietenkin tilanteeseen ∞ - ∞ eli ei määritelty. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tosiaan sen määritteleminen on jo ongelmallista, jos mukana on negatiivisiä lukuja. Ei-negatiivisille se voidaan määritellä supremumina kaikista äärellisistä osasummista.
Tai voihan sen, jos negatiivisia mukana, niin tehdä näin:
Negatiiviset otetaan erilleen ja jos niiden itseisarvojen summa ei ole ääretön, niin määritellään sitten koko summa positiivisten summa miinus negatiivisten summa. Mutta jos lasketaan kaikki reaaliluvut, niin päädytään tietenkin tilanteeseen ∞ - ∞ eli ei määritelty.Taisi mennä nyt höpöstelyn puolelle tämä yhteenlasku.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Taisi mennä nyt höpöstelyn puolelle tämä yhteenlasku.
Ei, kyllä se on ihan kunnollista. Mutta ylinumeroituva summa vaan ei ole mielenkiintoinen juuri sen aluksi mainitun asian takia, että se on aina joko itse asiassa numeroituva (eli kaikki paitsi numeroituvan monta termiä on nollia) tai ääretön. Todistushan tälle on niinkin yksinkertainen kuin tarkastella joukkoja {termi > 1/n} kaikille luonnollisille luvuille n. Nämä eivät kaikki voi olla äärellisiä (eikä edes numeroituvia), jos positiivisiä termejä on ylinumeroituvan monta. Siis summassa on äärettömän monta termiä > 1/n jollekin n joten saadaan ääretön.
Tämä tarkastelu tulee ainakin mittateoriassa vastaan, kun osoitetaan että joukon peittämiseen väleillä ei tarvitse ottaa ikinä kuin numeroituva määrä välejä. Joukon Lebesguen ulkomitta määritellään tällaisten peitteiden mittojen summan infimumina. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Yhtä hyvin ne voidaan järjestää pareiksi -x ja 2x jolloin summa on ääretön. Ylinumeroituva summa ei koskaan suppene itseisesti (harjoitustehtävä) joten uudelleen järjestelemällä sen arvoksi saa mitä tahansa. Näin ollen summana keskiarvoa ei ole mielekästä määritellä. Integraalina määrittely onnistuu jos joukon mitta on äärellistä. Silloinkin tosin keskiarvo voi olla olematta äärellistä mutta ainakin se on määritelty ja tulos järkevä.
Voi ne reaaliluvut järjestää nelikoiksi -2x, -x, x, 2x. Ei summa ole nolla tai ääretön pelkästään lukujen järjestystä muuttamalla.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Voi ne reaaliluvut järjestää nelikoiksi -2x, -x, x, 2x. Ei summa ole nolla tai ääretön pelkästään lukujen järjestystä muuttamalla.
Osuit nyt juuri asian ytimeen, mutta ymmärsit sen väärin päin.
Jos lukujen summa on eri riippuen siitä, missä järjestyksessä käyt ne läpi, se ei tarkoita, että voit valita minkä vain summan haluat ja väittää sitä oikeaksi vastaukseksi, vaan summa ei silloin ole määritelty. ”Kaikkien reaalilukujen summa (tai keskiarvo)” ei tarkoita yhtään mitään.
Jos summa on hyvin määritelty, se on sama riippumatta missä järjestyksessä lasket. Kaikkien positiivisten reaalilukujen summa on ääretön. Kaikkien negatiivisten reaalilukujen summa on miinus ääretön. Nämä toteutuvat riippumatta siitä, missä järjestyksessä käsittelet luvut. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Osuit nyt juuri asian ytimeen, mutta ymmärsit sen väärin päin.
Jos lukujen summa on eri riippuen siitä, missä järjestyksessä käyt ne läpi, se ei tarkoita, että voit valita minkä vain summan haluat ja väittää sitä oikeaksi vastaukseksi, vaan summa ei silloin ole määritelty. ”Kaikkien reaalilukujen summa (tai keskiarvo)” ei tarkoita yhtään mitään.
Jos summa on hyvin määritelty, se on sama riippumatta missä järjestyksessä lasket. Kaikkien positiivisten reaalilukujen summa on ääretön. Kaikkien negatiivisten reaalilukujen summa on miinus ääretön. Nämä toteutuvat riippumatta siitä, missä järjestyksessä käsittelet luvut.Yksinkertaistetaan hiukan:
Lasketaan lukujen summa väliltä -a,a, missä a on joku reaaliluku. Ääretön ei ole reaaliluku.
Kun tuo summa lasketaan niin saadaan nolla. Kun a kasvaa rajatta, niin summa on edelleen nolla eikä mitään äärettömiä tarvitse vähennellä toisistaan. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Yksinkertaistetaan hiukan:
Lasketaan lukujen summa väliltä -a,a, missä a on joku reaaliluku. Ääretön ei ole reaaliluku.
Kun tuo summa lasketaan niin saadaan nolla. Kun a kasvaa rajatta, niin summa on edelleen nolla eikä mitään äärettömiä tarvitse vähennellä toisistaan.Nuo yhteenlaskujutut avautuu sillä, että kirjoitetaan reaaliluvut unionina
{ positiiviset reaaliluvut r > 0 } U {positiiviset reaaliluvut r > 0 } U {nolla}
Jos x kuuluu ensimmäiseen joukkoon ja y toiseen, voidaan käydä molemmat joukot läpi pareina { x_i, y_j }, jotka vähennetään tässä toisistaan tai lisätään miinusmerkki toiseen joukkoon. Miten parit muodostetaan, voidaan ajatella funktiona. Kun kirjoitetaan erotus tarkoitetaan funktiota vastaavaa käyrää, jolla jokainen erotus d(t) on
d(t) = x (t) - y (t),
missä esim. x_i on nyt x (t).
Funktion, joka on y (x), ehtona on vain, että sen x-muuttujat saavat kaikki positiiviset reaaliluvut, samalla kun maalijoukko on koko positiivinen y-akseli. Nolla poistetaan joukoista.
Funktioksi kelpaa siten myös y (x) = 2 x, josta jokainen summattava erotuselementti on
d (t) = d (x) = x - 2 x = -x
Näiden elementtien summa tai integraali divergoi äärettömässä. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Nuo yhteenlaskujutut avautuu sillä, että kirjoitetaan reaaliluvut unionina
{ positiiviset reaaliluvut r > 0 } U {positiiviset reaaliluvut r > 0 } U {nolla}
Jos x kuuluu ensimmäiseen joukkoon ja y toiseen, voidaan käydä molemmat joukot läpi pareina { x_i, y_j }, jotka vähennetään tässä toisistaan tai lisätään miinusmerkki toiseen joukkoon. Miten parit muodostetaan, voidaan ajatella funktiona. Kun kirjoitetaan erotus tarkoitetaan funktiota vastaavaa käyrää, jolla jokainen erotus d(t) on
d(t) = x (t) - y (t),
missä esim. x_i on nyt x (t).
Funktion, joka on y (x), ehtona on vain, että sen x-muuttujat saavat kaikki positiiviset reaaliluvut, samalla kun maalijoukko on koko positiivinen y-akseli. Nolla poistetaan joukoista.
Funktioksi kelpaa siten myös y (x) = 2 x, josta jokainen summattava erotuselementti on
d (t) = d (x) = x - 2 x = -x
Näiden elementtien summa tai integraali divergoi äärettömässä.Jos yhteenlaskettaviksi alkioiksi valitaan x ja -x, niin huomataan helposti että laskelmasi on hörhöilyä.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Nuo yhteenlaskujutut avautuu sillä, että kirjoitetaan reaaliluvut unionina
{ positiiviset reaaliluvut r > 0 } U {positiiviset reaaliluvut r > 0 } U {nolla}
Jos x kuuluu ensimmäiseen joukkoon ja y toiseen, voidaan käydä molemmat joukot läpi pareina { x_i, y_j }, jotka vähennetään tässä toisistaan tai lisätään miinusmerkki toiseen joukkoon. Miten parit muodostetaan, voidaan ajatella funktiona. Kun kirjoitetaan erotus tarkoitetaan funktiota vastaavaa käyrää, jolla jokainen erotus d(t) on
d(t) = x (t) - y (t),
missä esim. x_i on nyt x (t).
Funktion, joka on y (x), ehtona on vain, että sen x-muuttujat saavat kaikki positiiviset reaaliluvut, samalla kun maalijoukko on koko positiivinen y-akseli. Nolla poistetaan joukoista.
Funktioksi kelpaa siten myös y (x) = 2 x, josta jokainen summattava erotuselementti on
d (t) = d (x) = x - 2 x = -x
Näiden elementtien summa tai integraali divergoi äärettömässä.Voit valita yhteenlaskettaviksi esimerkisi 2x ja -x, jolloin saat summaksi x, eli tuossa lasketaan yhteen positiiviset reaaliluvut ja saadaan tulokseksi ääretön. Kun äärettömästä vähennetään yksi kerrallaan negatiiviset reaaliluvut niin tulos on edelleen ääretön eli nyt on todistettu että reaalilukujen summa on ääretön.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ei, kyllä se on ihan kunnollista. Mutta ylinumeroituva summa vaan ei ole mielenkiintoinen juuri sen aluksi mainitun asian takia, että se on aina joko itse asiassa numeroituva (eli kaikki paitsi numeroituvan monta termiä on nollia) tai ääretön. Todistushan tälle on niinkin yksinkertainen kuin tarkastella joukkoja {termi > 1/n} kaikille luonnollisille luvuille n. Nämä eivät kaikki voi olla äärellisiä (eikä edes numeroituvia), jos positiivisiä termejä on ylinumeroituvan monta. Siis summassa on äärettömän monta termiä > 1/n jollekin n joten saadaan ääretön.
Tämä tarkastelu tulee ainakin mittateoriassa vastaan, kun osoitetaan että joukon peittämiseen väleillä ei tarvitse ottaa ikinä kuin numeroituva määrä välejä. Joukon Lebesguen ulkomitta määritellään tällaisten peitteiden mittojen summan infimumina.Taisi tosiaan mennä tuo höpöstelyksi.
Siihen aikaan kun minä matematiikkaa opiskelin, oli reaalilukujen yhteen- ja kertolasku hyvin määritelty. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Jos yhteenlaskettaviksi alkioiksi valitaan x ja -x, niin huomataan helposti että laskelmasi on hörhöilyä.
Valitseminen on väärin. Samoin huomaaminen.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ei, kyllä se on ihan kunnollista. Mutta ylinumeroituva summa vaan ei ole mielenkiintoinen juuri sen aluksi mainitun asian takia, että se on aina joko itse asiassa numeroituva (eli kaikki paitsi numeroituvan monta termiä on nollia) tai ääretön. Todistushan tälle on niinkin yksinkertainen kuin tarkastella joukkoja {termi > 1/n} kaikille luonnollisille luvuille n. Nämä eivät kaikki voi olla äärellisiä (eikä edes numeroituvia), jos positiivisiä termejä on ylinumeroituvan monta. Siis summassa on äärettömän monta termiä > 1/n jollekin n joten saadaan ääretön.
Tämä tarkastelu tulee ainakin mittateoriassa vastaan, kun osoitetaan että joukon peittämiseen väleillä ei tarvitse ottaa ikinä kuin numeroituva määrä välejä. Joukon Lebesguen ulkomitta määritellään tällaisten peitteiden mittojen summan infimumina.Vilkaisepa vaikka Wikipedia(engl.): outer measure. Kyllä siellä puhutaan käsitteestä "countable additive".
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Vilkaisepa vaikka Wikipedia(engl.): outer measure. Kyllä siellä puhutaan käsitteestä "countable additive".
Eli en näe siellä ylinumeroituvia summia.
- Anonyymi
Kyllä on, jos laskun tekee äärettömän monella eri tavalla ja laskee tuloksista keskiarvon. Tulos lähestyy aina nollaa.
- Anonyymi
Höpö höpö!
- Anonyymi
Virhe tapahtuu siinä, että aloittaja ajattelee luvun nolla olevan jotenkin erityinen luku, joka voidaan valita lukusuoran keskimmäiseksi. Nollan sijaan äärettömän pituisen lukusuoran "keskikohdaksi" voitaisiin valita ihan mikä tahansa muukin luku. Näin ollen, jos r on valittu keskikohdaksi, kaikki muut reaaliluvut voidaan parittaa siten, että jokaisen parin keskiarvo on r, jolloin kaikkien reaalilukujen keskiarvo olisi r.
Jos "keskimmäiseksi" luvuksi valitaan r = 0, paritus toimii siten, että kunkin luvun pari on luvun vastaluku. Tälle valinnalle on kuitenkin vaikea keksiä mitään muuta perustetta kuin se, että 0 on ihan mukava luku. Perustelu on kuitenkin tällaisenaan hyvin heikko ja koska jonkun toisen mielestä vaikkapa -5 voi olla mukava luku valita jakamaan lukusuora kahtia, ei ole mielekästä puhua reaalilukujen keskiarvosta. Selvästi tämän äärettömän joukon tapauksessa keskiarvo ei ole mielekäs käsite, sillä yksikäsitteistä arvoa ei ole tarjolla.- Anonyymi
Ihan ok mutta unohdit yhden seikan josta ketjussa jo on puhuttu. Miten sinä määrittelet summan jossa lukuja on ylinumeroituva määrä?
Jos kyseessä on vain numeroituva määrä termejä puhutaan sarjasta ja sarjan summa, jos sarja suppenee, on äärellisen summan raja-arvo.
Jos sarja suppenee itseisesti sen termit voidaan panna toiseen järjestykseen ja saatu sarja suppenee samaan summaan kuin alkuperäinen.
Lisäksi: jos reaaliluvut käsitetään järjestetyksi joukoksi jossa järjestys on se tavallinen reaalilukujen suuruusjärjestys niin jokainen tämän joukon hyvin järjestetetty osajoukko on numeroituva. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ihan ok mutta unohdit yhden seikan josta ketjussa jo on puhuttu. Miten sinä määrittelet summan jossa lukuja on ylinumeroituva määrä?
Jos kyseessä on vain numeroituva määrä termejä puhutaan sarjasta ja sarjan summa, jos sarja suppenee, on äärellisen summan raja-arvo.
Jos sarja suppenee itseisesti sen termit voidaan panna toiseen järjestykseen ja saatu sarja suppenee samaan summaan kuin alkuperäinen.
Lisäksi: jos reaaliluvut käsitetään järjestetyksi joukoksi jossa järjestys on se tavallinen reaalilukujen suuruusjärjestys niin jokainen tämän joukon hyvin järjestetetty osajoukko on numeroituva.Ongelma taitaa olla juuri tuossa keskiarvon mielekkyydessä. Jos keskimmäiseksi luvuksi valitaan jotain muuta kuin nolla (tai lasketaan -x 2x - menetelmällä tmv.), keskiarvoksi tulee aina joko ääretön tai miinus ääretön.
Väitän kuitenkin lievemmän tuloksen pitävän paikkaansa:
Nolla on ainoa äärellinen luku, joka voidaan laskea reaalilukujen keskiarvoksi.
Tässä suhteessa on erityinen peruste valita keskimmäiseksi luvuksi nolla, koska se on ainoa valinta, joka tuottaa äärellisen keskiarvon. Vastaesimerkin voi halutessaan esittää. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ongelma taitaa olla juuri tuossa keskiarvon mielekkyydessä. Jos keskimmäiseksi luvuksi valitaan jotain muuta kuin nolla (tai lasketaan -x 2x - menetelmällä tmv.), keskiarvoksi tulee aina joko ääretön tai miinus ääretön.
Väitän kuitenkin lievemmän tuloksen pitävän paikkaansa:
Nolla on ainoa äärellinen luku, joka voidaan laskea reaalilukujen keskiarvoksi.
Tässä suhteessa on erityinen peruste valita keskimmäiseksi luvuksi nolla, koska se on ainoa valinta, joka tuottaa äärellisen keskiarvon. Vastaesimerkin voi halutessaan esittää.Välttelet vieläkin itse asiaa. Miten ihmeessä määrittelet summan jossa on ylinumeroituva määrä termejä?
Ilman tällaista määritelmää ei tuota keskiarvoa voi laskea.
Kerropa mikä se määritelmä on. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Välttelet vieläkin itse asiaa. Miten ihmeessä määrittelet summan jossa on ylinumeroituva määrä termejä?
Ilman tällaista määritelmää ei tuota keskiarvoa voi laskea.
Kerropa mikä se määritelmä on.En ole viestin 04.06.2022 10:02 kirjoittaja, mutta minä tuolla aiemmin jo annoin määritelmän epänegatiivisille summattaville: Katsotaan kaikkia äärellisiä osasummia ja otetaan näistä supremum. (Ja yleistys merkillisille luvuille: jaetaan ne negatiivisiin ja epänegatiivisiin.)
Äärellinen osasumma tarkoittaa summaa äärellisen osajoukon yli. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
En ole viestin 04.06.2022 10:02 kirjoittaja, mutta minä tuolla aiemmin jo annoin määritelmän epänegatiivisille summattaville: Katsotaan kaikkia äärellisiä osasummia ja otetaan näistä supremum. (Ja yleistys merkillisille luvuille: jaetaan ne negatiivisiin ja epänegatiivisiin.)
Äärellinen osasumma tarkoittaa summaa äärellisen osajoukon yli.Ei noin synny ylinumeroituvaa summaa.Et nyt näytä tajuavan asiaa.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Välttelet vieläkin itse asiaa. Miten ihmeessä määrittelet summan jossa on ylinumeroituva määrä termejä?
Ilman tällaista määritelmää ei tuota keskiarvoa voi laskea.
Kerropa mikä se määritelmä on.Jos lasketaan yhteen x ja -x, niin summa on nolla aivan riippumatta siitä, kuinka monta kertaa tuo laskutoimitus suoritetaan. Noita voi laskea yhteen vaikka tuomiopäivään saakka ja summa on siitä riippumatta nolla.
Minun matikankurssillani yliopistossa luku ja sen vastaluku sekä reaalilukujen yhteenlasku olivat erittäin hyvin määriteltyjä. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ei noin synny ylinumeroituvaa summaa.Et nyt näytä tajuavan asiaa.
Kyllä se on määritelmä:
https://planetmath.org/uncountablesumsofpositivenumbers
supremum synnyttää sen summan! - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Kyllä se on määritelmä:
https://planetmath.org/uncountablesumsofpositivenumbers
supremum synnyttää sen summan!Ramanujan laski yhteen positiivisia lukuja ja sai tulokseksi negatiivisen luvun.
Ehkä hänellä oli joku parempi määritelmä luvulle ja yhteenlaskulle. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Kyllä se on määritelmä:
https://planetmath.org/uncountablesumsofpositivenumbers
supremum synnyttää sen summan!Määritelmä käy ei-negatiivisille luvuille. Jotta tuo sup olisi äärellinen täytyy luvuissa olla vain numeroituva määrä nollasta eroavia lukuja.
Ei siis synny kaikkien reaalilukujen summaa jota tuossa keskiarvossa tarvittaisiin.
Kts. wikipedia (engl.) : series (mathematics) kohta "Families of non-negative numbers". - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Määritelmä käy ei-negatiivisille luvuille. Jotta tuo sup olisi äärellinen täytyy luvuissa olla vain numeroituva määrä nollasta eroavia lukuja.
Ei siis synny kaikkien reaalilukujen summaa jota tuossa keskiarvossa tarvittaisiin.
Kts. wikipedia (engl.) : series (mathematics) kohta "Families of non-negative numbers".No voi herranen vittu, kun sitä tässä on jankattu jo vaikka kuinka monta kertaa! Luetko sinä edes aiempia viestejä?!?!
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
No voi herranen vittu, kun sitä tässä on jankattu jo vaikka kuinka monta kertaa! Luetko sinä edes aiempia viestejä?!?!
Vitun kauan on kerrottu että positiivisia reaalilukuja yhteenlaskemalla saa sujuvasti äärettömän. Jotkut ovat saaneet peräti miinus äärettömän.
Riemann sai äärettömän ja miinus äärettömän summaksi piin.
- Anonyymi
summa on -1/12
- Anonyymi
Että mittee?
No sittee että nokkas on littee ja soat sen viijellä pennillä pittee.
- Anonyymi
Lukuparien valinnassa nollan ottaminen niiden keskipisteeksi on tosiaan mielivaltainen valinta. Ylinumeroituvuudesta juuri mitään ymmärtämättäkin voi siten käsittää, että kaikkien reaalilukujen keskiarvo ei ole nolla vaan ihan mitä tahansa.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 713240
- 2012832
- 222658
- 492618
- 202486
Kuule rakas...
Kerrohan minulle lempivärisi niin osaan jatkaa yhtä projektia? Arvaan jo melkein kyllä toki. Olethan sinä aina niin tyyl412325Miten hitsissä ulosoton asiakas?
On tää maailma kumma, tässä haisee suuri kusetus ja ennennäkemättömän törkeä *huijaus*! Miten to.monen kieroilu on edez2101783Törmättiin tänään
enkä taaskaan osannut reagoida fiksusti. Menen aina lukkoon. Yksi asia on varma: tunteeni sinua kohtaan ovat edelleen v241737- 371600
- 181456