Otsikosssa mainittu lause sanoo, että jos meillä on formaali systeemi joka on riittävän rikas käsittääkseen aritmetiikan niin on olemassa tosa lause jota ei voi tuossa systeemissä todistaa.
Mutta mistä tiedetään että jokin lause on tosi jos sille ei ole todistusta?
Gödelin 1. epätäydellisyyslause
Anonyymi-ap
12
231
Vastaukset
- Anonyymi
Näppäilyvirhe: P.O.: ...tosi lause...
- Anonyymi
Se "jokin lause" voidaan todistaa kyseisen systeemin laajennuksessa.
- Anonyymi
Mutta silloinhan tuo Gödelin lause olisi melkoisen mitäänsanomaton. Jos se alkuperäinen järjestelmä on A ja tuo laajennus on B, niin Gödel 1 sanoisi, että B:n osassa A voidaan ilmaista lause jonka todistamiseen tarvitaan muutakin B:n arsenaalia kuin sen osaan A kuuluvaa..
Ei kovin kummoinen tulos! - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Mutta silloinhan tuo Gödelin lause olisi melkoisen mitäänsanomaton. Jos se alkuperäinen järjestelmä on A ja tuo laajennus on B, niin Gödel 1 sanoisi, että B:n osassa A voidaan ilmaista lause jonka todistamiseen tarvitaan muutakin B:n arsenaalia kuin sen osaan A kuuluvaa..
Ei kovin kummoinen tulos!Niin, mutta tuo epätäydellisyys on myös laajennus B:ssä.
Siis A:ssa ja B:ssa on lauseita joita ei voi siinä itsessään todistaa. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Niin, mutta tuo epätäydellisyys on myös laajennus B:ssä.
Siis A:ssa ja B:ssa on lauseita joita ei voi siinä itsessään todistaa.Tulee mieleen tällainen analogia: Meillä on henkilö, joka tuntee maantiedettä sen verran, että tietää valtioita ja kaupunkeja, mutta ei tiedä mitkä ovat minkin valtion pääkaupunkeja.
Hänelle lause " Helsinki on Suomen pääkaupunki" ei ole tosi eikä vale. Mutta sitten hän opiskelee lisää, myös pääkaupungit, ja nyt tämän laajemman ntiedon varassa hän tietää, että lause on tosi.
Gödelin mukaann siis jossain formaalissa systeemissä A on tosi lause a, jota ei voida todistaa todeksi. Tällöin ei voida myöskään todistaa lausetta ei-a. a on siis A:n aksioomeista riippumaton.
Laajennetaan nyt systeemiä systeemiksi B lisäämällä aksioomaksi a. Tällöin B:ssä lauseella a on todistus, sehän on aksiooma. Voidaan valita myös ei-a aksioomaksi jolloin saadaan systeemi B' missä ei-a on todistettavissa.
Onko asia todella näin yksinkertainen? - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tulee mieleen tällainen analogia: Meillä on henkilö, joka tuntee maantiedettä sen verran, että tietää valtioita ja kaupunkeja, mutta ei tiedä mitkä ovat minkin valtion pääkaupunkeja.
Hänelle lause " Helsinki on Suomen pääkaupunki" ei ole tosi eikä vale. Mutta sitten hän opiskelee lisää, myös pääkaupungit, ja nyt tämän laajemman ntiedon varassa hän tietää, että lause on tosi.
Gödelin mukaann siis jossain formaalissa systeemissä A on tosi lause a, jota ei voida todistaa todeksi. Tällöin ei voida myöskään todistaa lausetta ei-a. a on siis A:n aksioomeista riippumaton.
Laajennetaan nyt systeemiä systeemiksi B lisäämällä aksioomaksi a. Tällöin B:ssä lauseella a on todistus, sehän on aksiooma. Voidaan valita myös ei-a aksioomaksi jolloin saadaan systeemi B' missä ei-a on todistettavissa.
Onko asia todella näin yksinkertainen?"Tulee mieleen tällainen analogia: Meillä on henkilö..."
Gödelin tapauksessa ei ole mitään erityisen helppoja analogioita, nettiä
kaivelemalla löytyi joitakin.
-This statement is unprovable.
-The axioms of this theory do not contradict each other.
- Matematiikan palauttaminen logiikkaan ei onnistu epätäydellisyys
periaatteen takia. Russell ja Whitehead yrittivät tätä 1900-luvun vaihteessa,
sitten Gödel esitti tuloksensa 1931, aika myöhään siis, kukaan muu ei ollut
hoksannut samaa.
-The incomplete puzzle of the natural numbers: nomatter what you try,
some pieces will never fit.
Aivan kuin olisi palapeli, jota koottaisiin millä tavalla tahansa, niin aina olisi
palasia jotka eivät sovi.
-The concepts and methods Gödel introduced in his incompleteness paper are central to all of modern computer science. This is not surprising, since computers are forced to use logical rules mechanically without recourse to intuition or a "birds-eye view" that allows them to see the systems they are using from the outside.
Another result that derives from Gödel's ideas is the demonstration that no program that does not alter a computer's operating system can detect all programs that do. In other words, no program can find all the viruses on your computer, unless it interferes with and alters the operating system.
Tuossa muutamia analogioita mitä löysin.
- Anonyymi
Ei yksittäisestä lauseesta tiedetäkään onko se todistuva eikä voisikaan tietää muuten kuin onnistumalla todistamaan se oikeaksi tai vääräksi.
Mutta voidaan toki konstruoida lauseita jotka eivät ole todistuvia (sisältävät yleensä paradoksin) tai sitten yleisemmin todistaa että sellaisia on vain olemassa.
Riittävän laaja tarkoittaa sitä, että sisältää esim. kokonaislukuaritmetiikan (eli lukuteorian). Huomaa että joukkojen pitää olla äärettömiä.
Jos systeemi käsittää vain äärellisen määrän väitteitä niin siihen ei Gödel vaikuta.- Anonyymi
Jotta en olisi epäkohtelias, ilmaisen asian näin:
En näköjään pystynyt esittämään asiaani ymmärrettävästi. En usko pystyväni siihen juttua jatkamallakaan joten lopetan tästä aiheesta kirjoittelun ainakin tällä kertaa tähän.
- Anonyymi
Kysyjä halusi tietää, mitä eroa on totuudella ja todistamisella. Gödelin lause koskee matematiikassa paljon käytettyä ensimmäisen asteen logiikkaa
https://en.wikipedia.org/wiki/Model_theory#First-order_logic
Tässä logiikassa on rakenne ja ns. malli, jossa rakenne toteutuu.
https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_arithmetic#Peano_arithmetic_as_first-order_theory
Esim. Peanon aritmetiikka ja nimenomaan hänen aksioomansa ovat yksi logiikka ja kokonaisuluvut ovat sen malli tai yksi tulkinta. Sama logiikka voi omata useita tulkintoja, joilloin logiikassa esiintyvät symbolit olisivat esim. jonkun lukujoukon jäseniä.
Äskeisellä sivulla näkyvillä logiikan symbooleilla voidaan kirjoittaa jokin mielivaltainen ns. 'Lause'. Tätä Lausetta voidaan verrata aksioomiin. Jos Lause on aksioomien ja etenkin loogisten operaattoreiden seuraus, ilman että mitään mallia tai tulkintaa pitää ehdottaa, silloin kyseinen Lause on syntaksinen seuraus ja puhutaan todisteesta (aksioomat todistavat Lauseen tms.). Ks. sen merkintä
https://en.wikipedia.org/wiki/Turnstile_(symbol)
Voidaan myös tutkia tällaista Lausetta ja olla jostain syystä varmoja, että jokin keksitty tulkinta, kuten kokonaisuluvut, ovat myös sen Lauseen toteutus. Itseasiassa silloin sanotaan, että 'totuus', josta kysyttiin, on sitä että 'Lause' toteutuu mallissa, ja tätä merkitään symboolilla
https://en.wikipedia.org/wiki/Double_turnstile
Tämä merkintä on erityisesti tarkoitettu tulkinnan ja jonkin lauseläjän välille. Mutta on olemassa vahva tietämys, että aksioomien tulkinta on esim. luvut, ja nämä luvut toteuttavat myös jonkin uuden Lauseen. Silloin kun kerran määritelmä 'luvuille' on ikäänkuin vahva, voidaan puhua siitäkin, että aksioomat liittyvät kyseessä olevaan uuteen Lauseeseen vähintään tätä (semanttista) kautta, ja merkintää käyttäessä tämä on sen tarkoitus.
Laajempi logiikan käsite näistä merkinnöistä liittyy semanttiseen seuraukseen ja syntaksin aiheuttamaan seuraukseen
https://en.wikipedia.org/wiki/Logical_consequence#Proofs_and_models
Gödelistä:
Otetaan tietyt ja valikoidut ensimmäisen asteen logiikat, ja kuten yleensä ne johtavat mielellään tulkintoihin, joille on olemassa yleensä muitakin lauseita kuin logiikan aksioomissa lukee. Gödel väittää, että jokaiseen näistä logiikka- ja tulkintajoukko -pareista liittyy ns. aina lauseita, joita lauseita (edelleen lauseet ovat pelkän logiikan symboleina) ei voi todistaa pelkän syntaksin kautta eli riippumatta tulkinnasta.
Periaattessa väite on sen muotoinen, että sen voisi todistaa heti pelkällä esimerkillä, eli antamalla lauseen, joka ei syntaksista tule. Silti tällaista on vaikea muodostaa (ei ole sellaista järkevää lausetta kuin vrt. esim. 'irreducible' -loogiseen väittämään yhdessä linkissä yllä). Tulisi siis lukea, mitä Gödel alunperin teki todistaakseen väitteensä. Kokonaisluvuille hän joutui kasaamaan nämä uudet 'Lauseet' äärettömän pitkiksi jonoiksi. Samalla tavalla Peanon aksioomat muodostavat äärettömän monta oletusta tai niiden perusteella ääretön syntaksin mukaista väitettä. Sitten hän osoitti, että näitä väitteitä ei ole lukumäärältään tarpeeksi monta, ja kaikki 'Lauseet' jäävät vaille sen aksioomasta saapuvaa väitettä, ja siten sille ei ole todistusta ylläolevalla tavalla.
ks.
https://www.youtube.com/watch?v=PpSxqde0af4- Anonyymi
Kts. Wikipedia(eng.) : Gödel's incompleteness theorems ".
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Kts. Wikipedia(eng.) : Gödel's incompleteness theorems ".
Kysyin eräässä aiemmassa viestissä seuraavaa:
Olkoon a sellainen lause että formaalissa systeemissä A ei voida todistaa lausetta a eikä lausetta ei-a.Gödelin mukaan riittävän kattavassa systeemissä tällainen lause on olemassa. Lause a on siis A:n aksioomeista riippumaton. Tehdään nyt A;sta uusi systeemi B lisäämällä A:n aksioomeihin yhdeksi aksioomaksi tuo lause a. a on nyt B:n teoreema teoreeman määritelmän mukaan.
Voidaan myös luoda systeemi B' ottamalla uudeksi aksioomaksi lause ei-a. Tämä on nyt B'-systeemin teoreema.
Onko asia näin yksinkertainen?
Jos joku vastaa, pyytäisin vastaamaan ytimekkäästi kysymykseen eikä pitämään luentoja matemaattisen logiikan asioista yleisesti.
Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Tykkään sinusta tosi tosi paljon
Siksi en pysty sisäistämään sitä, että se ei ole molemminpuolista. Sattuu liikaa. En osaa käsitellä sitä tunnetta, koska513517- 1562129
Kaupan kassalla kannataa olla kylmä käytös
https://www.is.fi/taloussanomat/art-2000010488540.html "19-vuotias Minja ja 59-vuotias Anne työskentelevät sillä todelli2061825Mitä tehdä asialle?
Jos laitan deitti-ilmon "40-vuotias nainen etsii seuraa" niin ketään ei kiinnosta (korkeintaan paria runkkaripenaa joill1341746- 801165
Mitä helvettiä pakolaisille pitäisi tehdä RAJALLA?
Jos Venäjä työntää rajalle pakolaisia ja tekee Suomelle selväksi että heidän puolelleen ei ole pakolaisilla asiaa - mitä3101112- 2341104
- 1311019
Olen pahoillani mies
Olen surullinen puolestasi, ettet saanut kaipaamaasi naista. Yrititkö lopulta edes? Teistä olisi tullut hyvä pari52949- 72905