Kuinka monella tavalla sanan MATEMATIIKKA kirjaimet voi järjestää niin, että missään paikassa ei ole sama kirjain kuin alkuperäisessä sanassa?
Esimerkiksi ETIKKAMATAMI ei kelpaa, koska kuudes kirjain on A. Mutta AEAAIIMKKMTT kelpaa.
Esimerkiksi ETIKKAMATAMI ei kelpaa, koska kuudes kirjain on A. Mutta AEAAIIMKKMTT kelpaa.
Vastaukset 57
Vanhimmat
Tekoäly vastasi:
Tämä on mielenkiintoinen kysymys! Voimme ratkaista sen käyttämällä permutaatioita. Permutaatio tarkoittaa erilaisten alkioiden järjestämistä tietyssä järjestyksessä. Sanan “MATEMATIIKKA” kirjainten järjestämiseksi ilman saman kirjaimen toistoa voimme käyttää seuraavaa kaavaa:
Lasketaan, kuinka monta eri tapaa kirjaimet voidaan järjestää. Tämä on sama kuin sanan “MATEMATIIKKA” kirjainten permutaatioiden määrä.
Vähennetään tästä määrästä ne tapaukset, joissa kirjaimet ovat samassa järjestyksessä kuin alkuperäisessä sanassa.
1. Kirjainten permutaatioiden määrä:
Sana “MATEMATIIKKA” koostuu 11 kirjaimesta. Voimme laskea permutaatioiden määrän käyttämällä kertomaa (n!). Kertoma lasketaan positiivisen kokonaisluvun ja kaikkien sitä pienempien positiivisten kokonaislukujen tulona.
11!=11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=39,916,800
2. Tapaukset, joissa kirjaimet ovat samassa järjestyksessä kuin alkuperäisessä sanassa:
Tämä on yksinkertainen tapaus, jossa kirjaimet ovat jo oikeassa järjestyksessä. Tämä tapaus on vain yksi.
Nyt voimme laskea lopullisen määrän:
Eri ja¨rjestyksissa¨:11!−1=39,916,799
Joten sanan “MATEMATIIKKA” kirjaimet voidaan järjestää 39,916,799 eri tavalla niin, että missään paikassa ei ole sama kirjain kuin alkuperäisessä sanassa. Esimerkiksi mainitsemasi “AEAAIIMKKMTT” on yksi tällainen järjestys! 😊
En osannut kysyä oikein tekoälyltä koska se antoi esimerkkinä sanoja jossa määritelmä ei toiminut.
Kokeilepa näillä sanoilla: https://www.wolframalpha.com/input?i=number+of+derangements+of+MATIKKA
Pitemmälle sanalle WA:kaan ei anna vastausta.
Tuossa laskutavassa sanalla ei ole mitään merkitystä. Vain pituus merkitsisi. Sama vastaus tulisi sanalle "MMMMMMMMMMMM".
Ratkaiskaa tehtävä aluksi vaikka ihan paperilla sanalla 'MATA'.
Onko vastaus 2? (AMAT, ATAM)
Jos korvaa kirjaimet numeroilla 0...5 ja käy läpi kaikki luvut 0...6^12, niin tulokseksi tulee 487092.
Ei edes tarvitse mitään optimointia.
Alkuperäisessä sanassa MATEMATIIKKA on 11 kirjainta, joista 6 erilaista. Joten erilaisten järjestystapojen määrä on 11! / (6! * 5!) = 34 650. Joten sanan MATEMATIIKKA kirjaimet voi järjestää 34 650 eri tavalla niin, että missään paikassa ei ole sama kirjain kuin alkuperäisessä sanassa.
Kirjaimia on 12 ja kaikki muukin on täyttä puppua.
Jokaisen kirjaimen lukumäärä on huomioitava erikseen. Eli ei onnistu ihan vaan keksityillä kaavoilla.
Kokeile sanalla MATEMA.
MATEMA: 29
MATEMAT: 84
MATEMATI: 772
MATEMATII: 3048
MATEMATIIK: 33905
MATEMATIIKK: 168040
MATEMATIIKKA: 487092
MATEMATIIKKAA: 910128
EAMTMA
EATAAM
EATMAM
EATMMA
EAMTAM
EAMTMA
ETAAMM
ETAMMA
ETAMAM
ATEAMM
ATMEAM
ATMEAM
ATMEAM
ATEMMA
ATEAAM
ATEAAM
ATEMAM
MTEAMM
MTAMEA
MTAAEM
MTAEAM
MTAMAE
MTAMAE
MAATME
MAATEM
MAATME
MAATEM
MAATEM
MAETAM
MEATAM
MEATMA
MEAMTA
MEAMAT
MTAEMA
MTAEMA
MTAEAM
MTAEAM
MTAAME
MTAAME
MTAAME
MTEAMA
MTEAMA
MTEAMM
MTEAMM
MTEAMM
MAETAM
伊
东
Suuri osa on täysin vääriä monin eri tavoin eli täyttä puppua. -10 pistettä.
Oikeita on vain 29 kpl. Ks. ylempi viesti.
Kriteerit täyttäviä vaihtoehtoja on ~17 miljoonaa.
Mille sanalle? Ehkä jollekin paljon pitemmälle sanalle.
Et ole lainkaan ymmärtänyt tehtävää. Karkean maksimiarvon pystyy laskemaan ihan päässälaskunakin.
Avauksen tehtävälle.
Vedän hätiköidyn kommenttini pois. Palataan asiaan joskus myöhemmin.
Mitä selität? Kokeile ensin 3- tai 4-kirjaimisilla sanoilla, niin ehkä opit joskus jotain.
Vai onko taas vain kieliongelmia? Onnistuisiko englanniksi paremin?
MATHEMATICS: 989660 vaihtoehtoa.
Sinä suuri tietäjä, laita analyyttinen kaava pöytään. Saan kymmenen pistettä ja papukaijamerkin.
Y = f(x) = 2x + 5
Pyydä äidiltä kynä ja pala paperia. Lyhyet sanat onnistuu jokaiselta peruskoululaiseltakin alle tunnissa.
Y = x^2 + 5x + C
Sanassa on 10 eri kirjainta, joten kirjaimet voi järjestää 10!=3 628 800 eri tavalla.
Eri kirjaimia on 6 ja missään paikassa ei saa olla sama kirjain kuin alkuperäisessä sanassa.
A-kirjaimia on 3 kpl. Jos ne merkattaisiin A1, A2 ja A3, niin niiden peräkkäisestä jonosta muodostuu vain yksi vaihtoehto. Tuo jono voi esiintyä sanan keskellä (esim. merkit 3, 4 ja 5)
E-kirjaimia on vain yksi, paikassa 4. Se voi esiintyä uuden sanan kaikissa muissa paikoissa.
Sanassa MATEMATIIKKA on 11 kirjainta, joista 3 on A, 2 on M, 2 on T, 2 on I ja loput yksi kumpaakin merkkiä. Tästä seuraa, että kaikkiaan on 11!/(3!*2!*2!*2!) = 27 720 erilaista tapaa järjestää kirjaimet siten, ettei missään paikassa ole sama kirjain kuin alkuperäisessä sanassa.
Mikset koskaan tarkista mitään laskujasi?
Kirjoita sama tekstisi sanalle MATEMA.
Ja sitten sanalle MATEMAT.
Kaavasi alkaa olla lähellä oikeaa. Mitä unohtui?
Jos et keksi, niin aloita sanoista MATE ja MATEM.
Lisäkysymys: Otetaan sana MATEMATIIKKA n kertaa putkeen ja sekoitetaan. Olkoon p(n) todennäköisyys, että sekoitetussa ei ole missään kohtaa sama kirjain kuin alkuperäisessä.
MATEMATIIKKAMATEMATIIKKAMATEMATIIKKA...MATEMATIIKKA
Mitä lukua p(n) lähenee, kun n menee äärettömään? Vastaus on mukavan yllättävä :-).
Selvitetään ensin, montako erilaista kirjainta sanassa MATEMATIIKKA on.
MATEMATIIKKA sisältää seuraavat kirjaimet: M, A, T, E, I, K
Näitä kirjaimia on yhteensä 6, joten p(n) = 6/11.
Eli todennäköisyys, että sekoitetussa sanassa ei ole missään kohtaa samaa kirjainta kuin alkuperäisessä sanassa MATEMATIIKKA, on 6/11.
Sanassa MATEMATIIKKA on 11 kirjainta, joista 3 on A:t, 2 I:t, 2 K:t ja kaikki muut erilaisia. Järjestämällä nämä kirjaimet eri tavalla saadaan kaikkiaan 11!/(3!*2!*2!) = 166320 erilaista tapaa, eli sanan MATEMATIIKKA kirjaimet voi järjestää 166320 eri tavalla niin, että missään paikassa ei ole sama kirjain kuin alkuperäisessä sanassa.
Kaikista erilaisista mahdollisuuksista on vähennettävä ihan kaikki virheelliset vaihtoehdot. Ongelmana on löytää joka ikinen yhdenkin merkin osalta virheellinen tapaus. Niitä on aina paljon. Ei tietystikään onnistu suoraan permutaatiokaavoilla.
Sanan MAT kirjaimet voidaan järjestää 3! (=6) eri järjestykseen. Vain 2 on oikeita:
MAT -
MTA -
AMT -
ATM +
TMA +
TAM -
M-alkuisia vääriä on 2 kpl.
A-keskellä vääriä on 2 kpl
T-loppuisia vääriä on 2 kpl
Väärien vaihtoehtojen summakaavasta tulee pitkillä sanoilla aina hankala.
MATE sanalla on 4! (=24) vaihtoehtoa. Vain 9 niistä on oikeita. (AMET, ATEM, AEMT, TMEA, TEMA, TEAM, EMAT, ETMA, ETAM).
Sanalla MATEM on 5! (=120) vaihtoehtoa. Vain 12 niistä on oikeita. (AMMTE, AMEMT, ATMME, AEMMT, TMMAE, TMAME, TMEMA, TEMMA, EMMAT, EMMTA, EMAMT, ETMMA)
Korjaus. Sanalla MATEM on tietysti vain 5!/2! (=60) vaihtoehtoa.
Suurin osa vastaajista ei ymmärrä lausetta:
"missään paikassa ei ole sama kirjain kuin alkuperäisessä sanassa?"
Sijoitetaan sokkona johonkin permutaatiokaavan jotain vääriä arvoja ja sivuutetaan tärkein vaadittu ehto kokonaan. Rikollista!
Ei missään yleisessä kaavassa voi olla suoraan huomioitu kaikkia keksittyjä täysin epämatemaattisia reunaehtoja. Pitää aina käyttää hiukan maalaisjärkeä.
Matematiikan opetuksessa on jotain pahasti pielessä. Ei lukujen sijoittaminen kirjasta löydettyyn kaavaan ole mitään matematiikkaa. On ehkä laskentaa.
Kyse on yhdestä sairaalloisesta kusipäästä. Terrorisoi palstaa tahallisesti väärillä puppu-vastauksillaan.
Tein yksinkertaisen n. 10 rivin rekursiivisen ohjelman, jolla saa oikean vastauksen aina alle sekunnissa.
Tehtävä on ratkaistavissa myös ihan kynällä ja paperinipulla jakamalla tehtävä useaan eri osaan ja hyödyntämällä symmetrioita. Saman voi tietysti tehdä sitten kaavoilla, jos jaksaa kerätä ja niputtaa kaikki löydetyt laskennan kannalta samanlaiset tapaukset yhteen.
Tarkistakaa kaavanne myös sanalla MATEMAATIKKO. Löytyi 1151487 tapaa.
Tässä tapauksessa kyseessä on anagrammi ilman toistuvia kirjaimia. Joten laskemalla 10 kirjainta sanasta MATEMATIIKKA, järjestelyitä voi muodostaa 10! = 3 628 800 eri tavalla.
Sana MATEMATIIKKA sisältää 11 kirjainta, joista 4 kappaletta on erilaisia. Joten eri tavoin kirjain voidaan järjestää 4! = 4x3x2x1 = 24 tavalla.
Tässä kaava: https://www.desmos.com/calculator/r6lukxfufr
Tuolla voi lähteä sitten lisätehtävääkin analysoimaan.
Alkuperäisessä sanassa MATIIKKAA on 4 A-kirjainta ja 2 K-kirjainta. Järjestellään sanan kirjaimet siten, että missään paikassa ei ole sama kirjain kuin alkuperäisessä sanassa:
AAKKKKTTII --> 9!/(4!2!2!1!) = 7560 tapaa
Yhteensä siis 7560 erilaista tapaa järjestellä kirjaimet.
7554 tarjottu
Laskin kaikki mahdollisuudet 3...12 pituisille sanoille, joissa kaikki kirjaimet (merkit) ovat erilaisia. Tulos on monille varmasti ihan tuttu sarja:
2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841, ...
https://oeis.org/wiki/Number_of_derangements
https://en.wikipedia.org/wiki/Derangement
derangement = A permutation of a set such that no element is in its previous position
Matemaatikot varmasti löytävät valmiita kaavoja tapauksille, joissa osa merkeistä on samoja. Itse en enää jaksa lähteä selvittelemään mitään, sillä saan lähes aina ratkaistua kaikki ongelmat muutamassa minuutissa Pypy:llä ilman kaavavirheitä ja ilman mitään rajoituksia. Kokeilkaa muutama vuosi kaikkiin löytämiinne ongelmiin, niin homma alkaa sujumaan.
https://oeis.org/A105927
Tuo löytyi heti, kun laskin määrät sellaisille sanoille, joiden alussa on kaksi samaa kirjainta ja kaikki muut ovat erilaisia.
Eli [0, 0, 1, 2, 3, ... n]
Kokeilkaa mitä löydätte sanoille [0, 0, 1, 1, 2, 3, ... n]. Kyllä tuokin on varmasti laskettu moneen kertaan.
Derangement (epäjärjestys) on ihan käyttökelpoinen termi monissa laskuissa.
[0, 0, 1, 1, 2, 3, ... n]. tapaukset :
https://oeis.org/A140526
Sana MATEMATIIKKA vastaa tapausta [0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5]. Kirjainten tai niitä vastaavien merkkien (numeroiden) alkuperäisellä järjestyksellä ei tietysti ole mitään merkitystä laskentaan.
Sanassa MATEMATIIKKA on 10 kirjainta, joista 3 on A:ta, 2 T:tä, 2 I:tä, 2 M:ää ja loput yksi kumpaakin kirjainta.
Järjestettäessä sanan MATEMATIIKKA kirjaimia uudelleen siten, että missään paikassa ei ole samaa kirjainta kuin alkuperäisessä sanassa, tulee ottaa huomioon eri kirjainten määrät.
Koska sanassa on toistuvia kirjaimia, joiden järjestystä halutaan muuttaa, tämä on käytännössä kombinatoriikkaongelma.
Lasketaan eri tapojen määrä järjestää kirjaimet:
A: 3 kirjainta, järjestetään 3! eri tavalla
T: 2 kirjainta, järjestetään 2! eri tavalla
I: 2 kirjainta, järjestetään 2! eri tavalla
M: 2 kirjainta, järjestetään 2! eri tavalla
Loput: 2 kirjainta, järjestetään 2! eri tavalla
Yhteensä eri tapoja järjestää kirjaimet uudelleen on siis:
3! * 2! * 2! * 2! * 2! = 3 * 2 * 2 * 2 * 2 = 48
Eli sanan MATEMATIIKKA kirjaimet voi järjestää 48 eri tavalla siten, että missään paikassa ei ole samaa kirjainta kuin alkuperäisessä sanassa.
Ilmoittakaa aina ylläpidolle tämän häirikön terrorisoinnista. Kyse on puhtaasta tarkoituksellisesta ilkeydestä.
Tässä tulee lisätehtävän ratkaisu.
Vastaus: lim (p_n) = e^(-13/6) ≈ 0.114558843993
Perustelu: https://img.aijaa.com/b/00992/15243221.jpg
Se mistä tuo integraalimuoto tulee on ns. torni-polynomien teoria. Löytyisiköhän tähän nyt hyvää lähdettä... noh esim. tuolla: https://strickland1.org/courses/MAS334/notes_html/S7.html
Kaava koko laudan torni-polynomille on propositiossa 7.11. Tässähän on kielletyt yksi 1x1, neljä 2x2 ja yksi 3x3 lautaa.
Sitten inkluusio-eksluusiosta saatu summakaava voidaan muutta
integraalimuotoon käyttämällä gammafunktion määritelmää kertomalle.
Lasketaan ensin, montako erilaista tapaa on järjestää kaikki kirjaimet. Sitten vähennetään niistä pois ne, joissa jokin kirjain on alkuperäisellä paikallaan.
Sanassa MATEMATIIKKA on yhteensä 11 kirjainta, joista 4 A-kirjainta, 2 E-kirjainta, 3 I-kirjainta, 2 K-kirjainta ja 1 M-tai T-kirjain.
Kaavalla C(n,k) = n! / (k!(n-k)!) voidaan laskea, että eri kirjainten lukumäärä on 11!/(4!2!3!2!) = 34 650.
Seuraavaksi lasketaan eri tapojen määrä, joissa jokin kirjain on alkuperäisellä paikallaan. Ensimmäinen kirjain voi olla mikä tahansa 11:stä, toinen 10:stä, jne.
P(11) = 1 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 39 916 800
Siis alkuperäisellä paikallaan voi olla vain yksi kirjain 39 916 800 eri tavasta.
Lasketaan erotus:
34 650 - 39 916 800 = -39 882 150
Eli kaikkiaan on 39 882 150 tapaa järjestää kirjaimet niin, että missään paikassa ei ole sama kirjain kuin alkuperäisessä sanassa.
Alkuperäisessä sanassa on 10 kirjainta, joista 3 on A:ta. Tästä syystä voi laskea eri järjestelyjen määrän jakamalla 10! (10 tekijää) A:n toistuvaisuudet 3!, 3! ja 2!.
Siispä eri järjestelyjen määrä on:
10! / (3! * 3! * 2!) = 50400 / 36 = 1400
Siis sanan MATEMATIIKKA kirjaimet voi järjestää 1400 eri tavalla niin, että missään paikassa ei ole sama kirjain kuin alkuperäisessä sanassa.
Kokeilisin itse hieman erilaista lähestymistapaa.
Ei ole vieläkään näkynyt oikeaa analyyttistä kaavaa, josta avauksen tehtävän ratkaisu irtoaa.
Jos sanan kaikki merkit ovat erilaisia ja niitä on n kpl, niin kriteerin täyttäviä vaihtoehtoja on n!/e lähimpään kokonaislukuun pyöristetynä. Sanalle MATE niitä löytyy 9 kpl. Miten tilanne muuttuu, kun osa merkeistä on samoja, kuten sanassa MATEMATIIKKA. Jos kaikki merkit olisivat erilaisia, niin vaihtoehtoja olisi 176 214 841 kpl.
Jos eri merkkejä on k kpl ja jokaista on n kappaletta (eli tyyliin k=3, n=2: AABBCC) niin silloin vaihtoehtojen määrä kerrottuna luvulla (k!)^n / (k*n)! lähestyy lukua e^(-k), kun n menee äärettömään. Kokonaislukuun pyöristämällä ei kuitenkaan nyt jos k>1 saa oikeaa arvoa koska virhe ei mene nollaan, niinkuin tavallisten derangementtien tapauksessa.
Vastaavasti jos kirjaimia on epätasamäärät, niinkuin tuossa MATEMATIIKAN monistuksessa saatiin raja-arvo e^(-13/6). Mutta entäköhän jos kirmaimia myös lisätään jossain eri suhteissa eikä vain monisteta tiettyjä määriä. Miten silloin käy?
Sanalla MATA on vain kaksi vaihtoehtoa.
Matemaattisia tehtäviä ratkaistaan kaavoilla vain peruskoulussa ja ammattikoulussa.
Ja valmiita pitkiä monihaaraisia summakaavoja käytetäessäkin on aina käytettävä tietokonetta ja pitää tietää mitä tekee.
Tehtävä ratkaistiin jo 2024-05-08 15:34:06. Helppo, nopea ja varmasti toimiva algoritmi annettuun yksinkertaiseen helppoon tehtävään.
Jos sana on pitempi ja muillakin tavoin hankalampi, kannattaa käyttää rekursiivista silmukkaa. Sen tekemiseen ei mene montaa minuuttia.
Tehtävä pitää osata sieventää ja muuttaa yksinkertaistettuun numeeriseen yleiskäyttöiseen muotoon. Nyt kyseessä oli merkkijono: [0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5]. Tuosta (tai triljoonista vastaavista) voi laskea kaikki tarvittavat parametrit.
Kyllä kannattaa noihin torni-polynomeihin (rook polynomial) tutustua. Siinä lasketaan vain tietty polynomien tulo ja vastaus lasketaan tämän kertoimista summana, jossa kerroin c_k kerrotaan luvulla (n-k)!. Se on lineaarinen algoritmi kirjainten määrän n suhteen.
Vaihtoehtoiset tavat:
MIIETATMKKAA
MIIMAKTATKEA
MAIIEKTATKAM
MEATAKKITIAM
ATEMITAMIKAK
ATKMKAITIMAE
AKATAIIMMTKE
Sana MATEMATIIKKA sisältää 11 kirjainta, joista 7 erilaista kirjainta. Tämä tarkoittaa, että järjestämällä kirjaimet sisältäen vain eri kirjaimet, voimme laskea vaihtoehtojen määrän seuraavasti:
7!/(2!*2!*2!) = 630
Eli sanoja MATEMATIIKKA voidaan järjestää 630 eri tavalla niin, että missään paikassa ei ole sama kirjain kuin alkuperäisessä sanassa.
Ohessa analyyttisen kaavan kehittelijöille oikeita tuloksia WolframAlphasta:
MATE 9
MATEM 12
MATEMA 29
MATEMAT 84
MATEMATI 772
MATEMATII 3048
MATEMATIIK ei anna enää tulosta
Noilla voi testailla algoritmiaan.
Onko jollakin tietokonesovellus, joka antaa alkupään ja myös nämä
MATEMATIIK
MATEMATIIKK
MATEMATIIKKA
oikein.
Anonyymi 2024-05-08 18:33:20
MATEMA: 29
MATEMAT: 84
MATEMATI: 772
MATEMATII: 3048
MATEMATIIK: 33905
MATEMATIIKK: 168040
MATEMATIIKKA: 487092