Pässi on sidottu narusta kiinni ympyrän muotoisen nurmikentän kehälle. Kentän säde on 1 pituusyksikkö. Kuinka pitkä narun täytyy olla jotta pässi voi syödä puolet nurmikentästä. Ilmoita vastaus tarkkana arvona. EI OLE HELPPO
Ratkaisija saa mainetta ja kunniaa.
Ratkaisija saa mainetta ja kunniaa.
Vastaukset 23
Vanhimmat
Ensimmäinen ratkaisu on, että pässi syö puolet kentän pinta-alasta, eli sisemmän alueen.
Puolet kentän alasta sisäpuolella on
Ap = PII r^2 / 2 ja tämän säde on
PII x^2 = Ap, saadaan
x^2 = r^2/2 -> x = sqrt(r^2/2)
Jos r = 1 pituusyksikköä, niin
x = sqrt(1/2) = noin 0.707 pituusyksikköä
-----------------------------------
Toinen vaihtoehto on, että narua käytetään AITANA, jolla pulet kentästä aidataan pässin ulkopuolelle ko. narun avulla. Tällöin
x = 2 pituusyksikköä (eli kentän halkaisija)
Lisäksi pässin naruksi riittää naru jonka pituus
x = 1 pituusyksikköä
------------------------------
Jne.... jokin kolmas "kompa". Pässi roikkuu helikopterissa narusta, ja naru on sidottu kentän keskelle... heh
lopeta nyt tommonen mongertaminen
Ratkaisua odotetaan edelleen
Kaikki koleme ratkaisuani tuottavat oikean lopputuloksen! Sun ratkaisus on VÄÄRÄ!
http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi?category=2000000000000020&conference=4000000000000027&posting=22000000004340273
Ja tarkkaa arvoa ei taida tulla.
Ratkaisu on netissä, etsi se!
Jaaha, siis kehälle eikä keskelle. Muuttaa tilannetta. Ja ilmeisesti seipäässä eikä liukuvasti kehässä?
----------------------------------
Suora "kopma" ratkaisu: Naru, joka on 10
kertaa säde!
2 säteen pituutta käytetään kentän halkaisemiseen keskeltä kahteen osaan!
PII * r, eli 3.14 pituusyksikköä käytetään
puolikkaan kaaren aitaamiseen.
Loput narusta käytetään pässin sitomiseen, joka on tarpeetonta, koska tässä vaiheessa pässi on aitauksessa narun sisällä, jonka sisälle jää puoli kenttää!
> "Jotta pässi voi syödä puolet nurmikentästä"
Edellä esitetyllä menetelmällä, jossa narua käytetään aitaamiseen päästään oikeaan lopputulokseen!!!!
Vaadin että kunnia ja maine muutetaan euroiksi ja siirretään tilileni!
juuri niin
paksu nurmikentän nurmi mahtaa olla? Jos oletetaan,
että ruohoa on esimerkiksi n metrin paksuudelta, niin
se painuu kasaan pässin alla. Tällöin on kyseessä
kolmiulotteinen ongelma, ja pitäisi tietää pässin
paino ja ruohon kimmomoduli, sillä syödyn alueen
ulkorajasta tulee jotakin, joka muistuttaa
pallopintaa (tai jotain).
Valitettavasti luonto saivartelee, se ei suostu vaihtamaan tapojaan sen mukaan kun joku pässi leikkii jumalaa!
Tehtävä on lähes mahdoton ratkaista analyyttiseti (ainakin siis omasta mielestäni). Lopussa on ainakin otettava numeriset menetelmät käyttöön. sain pässin narulle pituudeksi 1,16R kun R on saaren säde. Ratkaisin ensin kulman sektorista jonka kaaren saari rajaa (pässi liikkuu sektorilla 2 segmentillä).
Pinta-ala- ja projektioehdoista (kuvio piirtämällä) saadaan kolme yhtälöä kolmelle tuntemattomalle (liekanarun pituus r, sekä kaaria vastaavat keskuskulmat alpha ja beta; R on laitumen tunnettu säde) eli
Pi*R^2/2=R^2*(alpha-sin(alpha))/2 r^2*(beta-sin(beta))/2,
R*sin(alpha/2)=r*sin(beta/2),
R*cos(alpha/2) r*cos(beta/2)=R.
Yhtälöryhmä on vain valitettavasti transkendentaalinen, mikä tarkoittaa, ettei sille ole analyyttistä ratkaisua. Siksi se tulee ratkaista numeerisesti ja tällöin tulokseksi saadaan (kulmat radiaaneina)
alpha = 2.471793849,
beta = 1.905695729,
r = 1.158728473*R.
Ei tämä nyt niin kovin vaikea ollut, ainakaan jos oli sopivat välineet käytössä. Olisi tuon kyllä vääntänyt aivan pelkällä kynällä ja paperilla, joskin aikaa olisi mennyt paljon enemmän varsinkin tuohon numeeriseen ratkaisuun.
Tunnustit, että jotain kättä pidempää on numeerisia arvoja ratkaistaessa ollut käytössä. Voitko raottaa esirippua ja kertoa matikkaohjelman nimen. Onko kyseessä Mathcad, Matlab vai joku vielä järeämpi työkalu?
Tarkoitin vain, että tehtävän käytännön ratkaisun sai todella nopeasti, kun segmentin pinta-alan kaavan katsoi ensin matematiikan taulukkokirjasta ja sitten kirjoitti kaksi riviä (yhtälöryhmä ja sen numeerinen ratkaisu) Maple 9 -symbolimatematiikkaohjelmaan.
Yhtälöryhmän kirjoittaminen tehtävän ratkaisuksi on selvää pässin lihaa ja hankaluus syntyy vasta ratkaistaessa säteen numeerista likiarvoa.
Maple on minulle tuntematon (olen ikäluokkaa, joka suoritti opintonsa ennen tietokoneiden esiinmarssia), mutta kun katselin netistä Maplen ominaisuuksia, niin sain käsityksen monipuolisesta ja tehokkaasta ohjelmasta. Tosin ostaessa rahaakin palaa, eikä ainakaan pelkän matematiikan harrastuksen vuoksi kannattane ko. ohjelmaa yksityiskäyttöön hankkia. Toisaalta jos rahaa on, niin miksikäs ei. Tällaisilla nykyajan välineillä monet tälläkin sivustolla esitettävät tehtävät ratkeavat naurettavan helposti.
Kun kynällä, paperilla ja taskulaskimella laskeminen aikoinaan alkoi tuntua turhan hitaalta, niin hankin (firman piikkiin) 90-luvun alkupuolella laskenta-apulaiseksi Mathcad 4 ohjelman, joka päivityksien myötä on muuttunut versioksi 12. Mathcadissa on myös kevyensorttinen symbolinen laskenta, tuskin kuitenkaan samaa luokkaa kuin Maple 9:ssä.
Voin osaltani kommentoida, että olen suorittanut opintoni suurimmaksi osaksi jo ennen laskinten esiinmarssia, joten olen joskus oppinut myös manuaalisen yhtälönväännön oikein kunnolla. Sen jälkeen olen kylläkin tehnyt erilaisia tietokone- ja ohjelmointihommia vuosikymmenissä mitattavan ajan. Eräässä vaiheessa piti tehostaa työtä myös erilaisten numeeristen algoritmien kehittämisessä, mihin symbolimatematiikkaohjelmisto oli omiaan. Sieltä nämä työkalut ja niiden käyttötaidot.
Ei symbolimatematiikkaohjelmistoon tarvitse rahaa käyttää, sillä niitä on myös saatavissa ilmaisohjelmistona, ks. esimerkiksi
http://maxima.sourceforge.net/index.shtml
http://www.gnu.org/software/maxima/maxima.html
En ole tosin tarkemmin tutustunut Maximaan, mitä nyt kokeillut. Huomasin, että ei se käytettävyydeltään Maplen veroinen ole. Mutta ei ole hintakaan.
Nyt kyllä menee nostalgisen muistelun puolelle, mutta menköön. ;) Muistan omakohtaisena ajan eräässä nykyisessä Suomen "kruununjalokiviin" kuuluvassa yhtiössä, kun laskimma snurralla logaritmitauluja ja trigonometristen funktioden suorien arvojen taulukkoa apuna käyttäen kolmion sivujen pituuksia. Menetelmä oli käytössä siksi, ettei laskutikkutarkkuus riittänyt valmistukselle.Taskulaskimista ei kenelläkään silloin ollut edes harmaata aavistusta.
Ensimmäisen laskuviivaimen - 27 cm ranskalainen Graphoplex Rietz - sain joululahjaksi vuonna 1952. Viivain on edelleen tallessa. Ammatilliseen työhön matematiikka on liittynyt sivuroolissa, enkä sen saloihin ole liiemmin perehtynyt. Joskus oppina saatu tietokin on päässyt suurimmaksi osaksi unohtumaan. Käytetyt tietokoneohjelmat taas ovat pääosin olleet ohjelmistotalojen tekemiä toimialakohtaisia sovelluksia. Suurin osa työajasta on kulunut keskisuuressa yrityksessä.
Pässi narussa probleema on varmasti vanhempi kuin kukaan tällä sivustolla kävijä. Analyyttistä ratkaisua ei liene kukaan saanut aikaiseksi.(?) Piirtämällä kuviot paperille voi havaita miten ristiinmenevästä alueesta voi kirjoittaa tasogeometriaa vastaavat yhtälöt (sektori kaksi pienempää segmenttiä), mutta analyyttinen ratkaisu jää ainakin minun osaamisella tekemättä.
Ratkaisin säteen likiarvon piirtämällä AutoCad-ohjelmalla 1000 mm säteisen laidunympyrän ja sen kehältä oletusarvoisen liekanarua vastaavan ympyrän. AutoCad:ssa on ominaisuus, jolla voidaan laskea polyline-viivan rajoittaman mielivaltaisen muotoisen kuvion pinta-ala ja piiri. Muuttamalla yhteisen alueen rajaviivat polylineksi, voidaan kuvion ala määrätä. Kun tiedetään haettavan syöntialan koon olevan 0,5*pii*R^2, niin iteroimalla ja kokeilemalla eri liekanarun pituuksilla säteen likiarvo löytyy melko helposti.
Sain kahdeksannella laskentakerralla liekanarun pituuden likiarvoksi 1,1587*R (1,1587*R
Niistä segmenteistä ja kolmiosta saa suoraan johdettua tällaisen yhtälön.
(x^2-2)*arccos(x/2)-x*sqrt(1-x^2/4) PI/2 = 0
Anteeksi vaan, mutta en päässyt jyvälle siitä, mitä yhtälölläsi kerrot. Mikä x on, mitä neliöjuuritermi pitää sisällään (symboolit) ja mikä on laskentajärjestys? Näinkö? x*sqrt(1-0,25*x^2)
Oletko ratkaissut x:n arvon yhtälöstäsi? Oliko minun kertoma likiarvo mielestäsi pahasti virheellinen?
Neliönjuuren laskentajärjestys on minkä esitit ? ?
Tehtävässä oletettiin ympyrän säteeksi 1, joten yhtälö sieveni näin kauniiseen muotoon.
Yhtälössä x on se kysytty narun pituus ja pyydettyä tarkkaa arvoa tuskin voi paremmin ilmaista.
Tulosta en ole laskenut (laiska), ja sinun laskelmasi näyttää aika hyvältä.
Myönnettäköön, että graafiset ym. ratkaisut säästävät työmäärää, mutta tarkoitus oli kertoa että tehtävä kuuluu lukion alkeisgeometrian piiriin eli on ratkaistavissa ilman apuvälineitä, integrointia tai muuta lisäosaamista, ja ellei numeroarvon ratkaisu olisi noin "ikävä", niin tällaiset pulmat kuuluisivat sarjaan "keskivaikeat koetehtävät"
Kuten toisessa viestissä "Jäärä" kertoi, johtaa tehtävän ratkaisu transkendentaalisiin yhtälöihin. Myöskään sinun yhtälöstä ei x (tarkoitti se mitä hyvänsä) ole ratkaistavissa analyyttisesti. Eli, ei - ainakaan vielä - kumpikaan teistä ole päässyt matikan historiaan keksimällä analyyttistä ratkaisua tähän tehtävään.
Tässä eräs ratkaisumalli:
http://www.ifh.de/~henschel/puzzles/solutions/ziege.html
tosin "That's a transcendent equation wich requires an iterative solution:"
Tarkkaan otaen pässi pystyy syömään kaulan pituuden verran kauempaa kuin mitä naru on. Ja naru pitää tehdä hieman lyhyemmäksi.
Jos pässin kaulan pituudeksi otetaan Rp, niin oikea vastaus narun pituudelle on:
x = 1.15873R - Rp
(ei oo saivartelua! meillä päin pässit on pitkäkaulaisia) :D