Miten integroidaan

Laskin Schnaufin idealla ja sain tulokseksi ln |x|-1/2 ln (x^2 1) C.

xyz kirjoitti:

Laskin Schnaufin idealla ja sain tulokseksi ln |x|-1/2 ln (x^2 1) C.

Ei tässä muuta kun että ihmetyttää hieman, voihan tietty olla että jää tähän aikaan huomaamatta jotain hyvinkin triviaalia.

jos f(x) = 1/2 * ln( x^2 / (1 x^2) ) C ja
g(x) = ln (x) - 1/2 * ln (1 x^2) D.

niin huomasin että f(x) = g(x) kun x > 0 ja
D = C.

Olkoon kysytty integraali I.

I = int( 1/x * 1/(1 x^2) )dx , sijoitetaan
t = 1 x^2, x^2 = t - 1 ja dx = dt / 2x

Sijoitetaan vain differentiaali
I = 1/2 * int( 1/x^2 * 1/(1 x^2) )dt
I = 1/2 * int( 1/(t-1) * 1/t )dt

Osamurtoihin hajoitettuna
I = 1/2 * int( 1/(t-1) - 1/t)dt
edelleen I = 1/2 * ln|(t-1) / t| C
ja I = 1/2 * ln(x^2 / (1 x^2) ) C

jensen87 kirjoitti:

Ei tässä muuta kun että ihmetyttää hieman, voihan tietty olla että jää tähän aikaan huomaamatta jotain hyvinkin triviaalia.

jos f(x) = 1/2 * ln( x^2 / (1 x^2) ) C ja
g(x) = ln (x) - 1/2 * ln (1 x^2) D.

niin huomasin että f(x) = g(x) kun x > 0 ja
D = C.

Olkoon kysytty integraali I.

I = int( 1/x * 1/(1 x^2) )dx , sijoitetaan
t = 1 x^2, x^2 = t - 1 ja dx = dt / 2x

Sijoitetaan vain differentiaali
I = 1/2 * int( 1/x^2 * 1/(1 x^2) )dt
I = 1/2 * int( 1/(t-1) * 1/t )dt

Osamurtoihin hajoitettuna
I = 1/2 * int( 1/(t-1) - 1/t)dt
edelleen I = 1/2 * ln|(t-1) / t| C
ja I = 1/2 * ln(x^2 / (1 x^2) ) C

Niin ja piirtämällä huomasin. Integroin jopa graafisesti välin x = [1,12] kun C = D = 0 ja tulos oli neljän desimaalin tarkkuudella sama
-0,3974.

jensen87 kirjoitti:

Niin ja piirtämällä huomasin. Integroin jopa graafisesti välin x = [1,12] kun C = D = 0 ja tulos oli neljän desimaalin tarkkuudella sama
-0,3974.

Logaritmeillehan pätee:

a*log(b) = log(b^a)
log(a/b) = log(a) - log(b)

Tuossahan ei ole muusta kysymys kuin, että

(1/2)*ln(x^2/(1 x^2)) = (1/2)*(ln(x^2) - ln(1 x^2)) = ln((x^2)^(1/2)) - (1/2)*ln(1 x^2) = ln(x) - (1/2)*ln(1 x^2)

Toivottavasti esitykseni oli taas riittävän epäselvä. Vakiot tietysti vielä mukaan tuohon.

jukepuke kirjoitti:

Logaritmeillehan pätee:

a*log(b) = log(b^a)
log(a/b) = log(a) - log(b)

Tuossahan ei ole muusta kysymys kuin, että

(1/2)*ln(x^2/(1 x^2)) = (1/2)*(ln(x^2) - ln(1 x^2)) = ln((x^2)^(1/2)) - (1/2)*ln(1 x^2) = ln(x) - (1/2)*ln(1 x^2)

Toivottavasti esitykseni oli taas riittävän epäselvä. Vakiot tietysti vielä mukaan tuohon.

...että joku jaksoi tehdä raskaan työn. :)Kiitos.