Oli tässä remontin yhteydessä pitkästä aikaa tilaisuus eli pakko tutustua oman kirjakaappinsa sisältöön. Pölyn seasta löysin kansion, sieltä edelleen probleeman, joka joskus villitti kaveripiiriä ja meikäläistä mitä suurenmoisenpiin matemaattisiin pohdintoihin. Mutta ei tämä paha ole. Ratkaisuun voi edetä eri teitä, ihan vasemmalla kädellä tämä ei ehkä mene.
Numeeriset luvut eivät tod.näk. vastaa alkuperäisiä. Se anteeksi annettakoon ja lukujen autenttisuus muutenkin unohdettakoon.
Alkujaan tämä löytyi venäläisestä matematiikan kirjasesta, mutta probleema on vanhaa perua. Kertoman mukaan se on innottanut itseään Isaac Newtonia.
Karjankasvattajalla oli kolme identtistä laidunta. Laitumilla pidettiin lehmiä. Jokainen lehmä syö saman määrän ruohoa vuorokaudessa. Myös vuorokautinen ruohomäärä pysyy samana vuorokaudesta toiseen.
Ensimmäisellä laitumella pidettiin 36 lehmää, jotka söivät oman laitumensa tyhjäksi 16 vuorokaudessa. Toisella laitumella oli 20 lehmää. Ne söivät oman laitumensa tyhjäksi 32 vuorokaudessa.
Kolmannella laitumella pidettiin 12 lehmää. Kuinka kauan niiltä kului oman laitumensa tyhjentämiseen?
Numeeriset luvut eivät tod.näk. vastaa alkuperäisiä. Se anteeksi annettakoon ja lukujen autenttisuus muutenkin unohdettakoon.
Alkujaan tämä löytyi venäläisestä matematiikan kirjasesta, mutta probleema on vanhaa perua. Kertoman mukaan se on innottanut itseään Isaac Newtonia.
Karjankasvattajalla oli kolme identtistä laidunta. Laitumilla pidettiin lehmiä. Jokainen lehmä syö saman määrän ruohoa vuorokaudessa. Myös vuorokautinen ruohomäärä pysyy samana vuorokaudesta toiseen.
Ensimmäisellä laitumella pidettiin 36 lehmää, jotka söivät oman laitumensa tyhjäksi 16 vuorokaudessa. Toisella laitumella oli 20 lehmää. Ne söivät oman laitumensa tyhjäksi 32 vuorokaudessa.
Kolmannella laitumella pidettiin 12 lehmää. Kuinka kauan niiltä kului oman laitumensa tyhjentämiseen?
Vastaukset 14
Vanhimmat
Olkoon
L = ruohoa / lehmä / vrk
R = ruohoa / laidun
Huomataan, että koska 36*16 != 20*32 niin kyseessä ei ole
ihan vaan R määrän syöminen eri nopeuksilla. Sovitaan
vaikka, että ruohoa kasvaa lisää nopeudella
K = ruohoa / vrk
N lehmää syö vuorokaudessa määrän NL, joten saadaan
(36L - K) * 16 = R
(20L - K) * 32 = R
(12L - K) * X = R
Olkoon L' = L/R ja K' = K/R, jolloin yhtälö on
(36L' - K') * 16 = 1
(20L' - K') * 32 = 1
(12L' - K') * X = 1
josta
L' = 0.0019531
K' = 0.0078125
X = 64
eli 64 vrk siinä kestäisi näillä oletuksilla.
Olet hanskannut perusyhtälöryhmän on tiukkaan, tyylikkääseen pakettiin. Vastauksesta saat kympin, jos vielä saa arvostella, saat esityksestä 9.
Oikea vastaus on (tasan) 64 vrk. Pisteen vähentämistä voisi perustella L' ja K' -esityksilläsi. Murtolukuesitykset eivät johtaisi pitkiin desimaaleihin.
Löytyykö muita ratkaisuesityksiä, -tapoja?
No juu, tarkemmin kai nuo olisivat
L' = 1/512
K' = 1/128
X = 64
jonka olisi saanut myöskin heti helposti jollei
laiskuuksissaan olisi ratkonut ensin yhtälöparia
Octavella...
Vähän vaikeammaksi tehtävä muuttuisi, jos oletettaisiinkin, että ruohoa voi kasvaa vain niihin kohtiin jossa sitä jo ei ole. Tällöin siis jos laitumellinen ruohoa on R ja hetken t [vrk] ruohon määrä on r(t), niin ruohon kasvaminen per vrk on
K(t) = c (R - r(t))
jossa c on jokin tuntematon vakio. Edelleenkin tehtävän voinee ratkaista, mutta ei ihan noin helposti.
Siispä jos L on kuin aiemmin, niin esim 36 lehmällä yhtälö on
dr/dt = c (R - r) - 36L
r(0) = R
r(16) = 0
Osaattekos ratkaista nyt sen 12 lehmän ruohon syömisen keston?
Pienillä lisäoptioilla tämä probleemi kyllä lähtee suoranaiseen liitoon.., varmaankin juuri siksi tämä tehtävä Newtonia kiinnosti.
Pikalukemalta en tainnut sisäistää esittämääsi lisäoptiota. Onko sinun tarkoitus muuttaa alkuehtoja myös? Ruohon kokonaiskasvu voidaan johtaa (monilla tavoilla) alkuehdoista suoraan. Siis se on (mielestäni) vakio, joka ei riipu siitä miten paljon ruohoa syödään tai siitä minne päin laidunta ruohon kulloinkin oletetaan kasvavan?
Miten tällainen optio: Tehtävä alkuehtoineen ja kysymyksineen pysyy muuten entisellään, mutta puolet kunkin laitumen lehmistä pitää aina ns. välipäivän joka toinen vrk, eli sulattelee ruohoa?
PS. ratkaisusta minulla ei ole hajuakaan...
Siis tässä ilmeisesti oletetaan, että ruoho kasvaa koko ajan ja sen pitää selittää erot?
Annetaan laitumelle tietty vuorokautinen kasvutekijä. Sehän on sama kaikille, koska laitumet ovat saman kokoisia?
Jokaiselle lehmälle annetaan jokin vuorokautinen vähennystekijä, joka sekin on vakio. Tämä on nyt sitten vain kerrottava lehmien lukumäärällä.
Yhtälöt on sitten helppo ratkaista.
Laitumesta poistuu vuorokaudessa = p x n
Laitumeen tulee lisää vuorokaudessa = l
Lehmien lukumäärä laitumella = n
Vuorokausien lkm = v
Laitumen yhtälö on:
lv - pnv = 0 (koska ruoho loppuu)
Saadaan yhtälöt:
l v1 - p n1 v1 = 0
l v2 - p n2 v2 = 0
l v3 - p n3 v3 = 0
Sijoitetaan tunnetut:
v1=16 n1=36
v2=32 n2=20
v3=? n3=12
16L - 16 36 p = 0
32L - 32 20 p = 0
v3 L - v3 12 p = 0
Koska on kolme yhtälöä ja kolme tuntematonta, niin kaikki tuntemattomat voidaan ratkaista....
jota en jaksa edes tehdä loppuun...
Sikäli kun ei tullut mitään virhettä, niin ratkaisu on oikein.
Niin alussa oleva ruoho unohtui yhtälöistä. Eli
lopullinen ja korjattu versio on:
a l v1 - p n1 v1 = 0
a l v2 - p n2 v2 = 0
a l v3 - p n3 v3 = 0
Jotka nimimerkki "märehtijä" ratkaisi seuraavassa haarassa saaden v3:ksi arvon 64.
Mikäli en laskenut oikein, niin tuli virhe.
a=alkuruoho
b=vrkkasvu
c=lehmä/vrk
n1,n2,n3=16,32,? eli vrk, ku loppuvi ruoho.
a n1*b-n1*36*c=0 (L1)
a n2*b-n2*20*c=0 (L2)
a n3*b-n3*12*c=0 (L3)
L1=L2 c=b*(n1-n2)/(36n1-20n2) = (1/4)*b
jonka sijoitus L1 = a 16b-144b=0 a=128*b
a=128*b ja c=(1/4)*b sijoitus L3 = 128*b n3*b-n3*3*b=0
eli b*(128 n3-3*n3)=0 , b>0
128-2*n3=0 eli n3=-128/-2 = 64
Ai ruoho kasvaa ?
A = ruohon määrä
L = lehmien määrä
D = vakiokasvu, vastakkainen lehmän aiheuttamalle ruohon määrän muutokselle
Epäilen vahvasti että ruohon määrän muutos on suoraan verrannollinen lehmien määrään ja ruohon kasvun erotukseen.
dA/dt = k(L - D) , k erisuuri kuin 0
ratkaistaan ajan funktio
A = k(L - D)*t C
muutamia ehtoja
(1) A(0) = C = A_0
(2) L = 36, A(16) = 0
(3) L = 20, A(32) = 0
1,2 ja 3:
16k * (36 - D) A_0 = 0
32k * (20 - D) A_0 = 0
16k * (-4 D) = 0
D = 4
k = -A_0/512
nyt A = A_0 * ( -1/512*(L - 4)*t 1 )
ja L = 12 ja A(t) = 0
-1/64*t 1 = 0
t = 64
64 päivää tällä mallinnuksella.
Tässä tehtävässä ruoho kasvaa. Ei välttämättä aina ja joka paikassa. Jos ruoho ei kasvaisi, alkuehdot eivät täyttyisi, siis tässä tehtävässä.
Suoritin hieman tutkimusta ja huomasin, ettei tehtävää voi ratkaista mallintamalla ilmiötä differentiaaliyhtälöllä ellei ruohokin kasva ja nähdään etteivät lehmät pysty tyhjentämään laidunta jos niitä on neljä tai vähemmän.
Tosi tyylikäs ratkaisu sulla.
Taiteellisista ansioista 10-. Kympin saa kai vielä jättää ylivääpelille, ja Jumalalle.
PS Huomaa se D, se on siellä sun ratkaisussasi, D = 4.
Sanasi lämmittävät.
Puhuit että ratkaisuihin voi edetä eri tavoin. Voisitko tehdä pientä selvitystä eri keinoista?
Pisteytys tuli tästä: Esittelit kasvutekijän (D), teit sen tyylikkäästi.
Tosiaan, pähkäilimme mekin aikanamme tätä probleemaa. Nikkaroimme näppäriä yhtälöitä. Vain yksi päätyi geometriseen lähestymistapaan, rekvisiittanaan millimetripaperi ja kynä. Hän oli kai ainoa, joka pystyi "näkemään" ongelman.
Jonkun näppärän yhtälöesityksen saatan löytää. Laitan myöhemmin näytille, jos ja kun löydän.