Kysymys määrätystä integraalista

Olet kirjoittanut d/da[F(a^2)-F(0)]. Tässä integraali juoksee 0:sta a^4:ään, vaikka pitäisi juosta 0:sta a^2:een. Toiseksi F(a^2):ssa integrandi on a^2 x-1 eikä ax-1.

Moi.

Kummallisuus johtuu siitä, että luku a toimii paitsi integraalifunktion muuttujana, myös integroitavan funktion f "vakiona". Merkitään integraalifunktiota F:llä. Jos ajattelemme, että vakion a paikalle sijoitettaisiin esim. luku 7, saisimme F(7) = integraali 0..49 (7x - 1) dx. Siis vakio a kasvaa samalla, kun integroinnin ylärajaa nostetaan. Kun määritämme ensin integraalifunktion ja sitten derivoimme sen a:n suhteen, saamme tosiaan derivaataksi (5/2)a^4 - 2a, joka on hivenen suurempi kuin saamasi 2a^4 - 2a. Jälkimmäisen lausekkeen virheellisyys johtuu siitä, ettei sitä laskettaessa ole huomioitu a:n muutosta (eli kasvua). On tavallaan integroitu (kokeile!) välillä 0..t^2 funktiota (ax - 1), derivoitu sitten t:n suhteen (saamme 2at^3 - 2t) ja lopulta sijoitettu t:n paikalle a, jolloin tulos vastaa omaasi.

(Jälkimmäisellä tavalla ratkaistaisiin esim. tehtävä "Määritä funktion F, F(a) = integraali 0..a^2 (3x - 1), derivaatta pisteessä a = 3.)

Helen

F'(a)=f(a) on virheesi sillä se edyllättäisi
integraalia jossa ylärajana olisi a, mutta sinullapa se on a^2.

Jos merkitset integraalia kyseistä integraalia G(a), ja merkitse F(a) on sellainen integraali jossa yläraja on a. Silloin F'(a)=f(a)
Silloin derivoit d/da G(a)=d/da F(a^2)=F'(a^2)*2a=f(a^2)*2a=...

Pinta-ala määräytyisi vain ylärajan mukaan, jos integroitava funktio g(x) = ax - 1 ei sisältäisi a:ta.

Saataisiin F'(a) = D( G(a^2) - G(0)) * 2a

missä G on mielivaltainen g:n integraalifunktio ja 2a sisäfunktion derivaatta.

Nyt F'(x) = g(a^2) * 2a , koska G'(0) = 0
eli F'(x) = 2a^3 - 2a

Mutta näin ei ole, koska g = g(a,x) ja derivoitaessa G(a^2) ei täsmää vaikka sisäfunktion derivaatta huomioidaan.

Tehtävää ei ole tarkoituksenmukaista ratkaista analyysin peruslauseen avulla.