Okei, vähän päässyt ruostumaan tuo derivointitaito. D sin(x) = cos(x), mutta onko D sin(2X) = cos(2x)? Ja miten lasketaan D ln(2X)? Vai pitääkö näissä derivoida sisä- ja ulkofunktio erikseen?
derivointisäännöt
unohduksissa...
74302
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 7
Vanhimmat
(f o g) (x)=f(g(x)) derivoidaan kaavalla
D (f o g) (x)=Df(g(x))*Dg(x)
Eli esim. e^(x^2) derivaatta
De^(x^2)*D(x^2)=e^(x^2)*2x
Eli derivoi ulkofunktio kuten olit kysymyksessäsi tehnyt ja tämän jälkeen kerrot sisäfunktion derivaatalla.
Dsin(2x)=cos(2x)*D2x=2cos(2x)
juu, ja eikös myös Dsin2x=2sinxcosx
"juu, ja eikös myös Dsin2x=2sinxcosx"
Ei.
Sinin yhteenlaskukaavalla:
sin(x y) = sin(x)*cos(y) cos(x)*sin(y) || y=x
sin(2*x) = 2*sin(x)*cos(x)
D sin(2x) = D 2sinx*cosx
= 2*(cosx*cosx - sinx*sinx)
=1 cos(2x) - 1 cos(2x)
= 2cos(2x)
MOT
löytyy se sieltä vaikeammankin kautta
perskules
Yhdistettyä kuvaustasi voidaan havainnollistaa ao. lohkokaaviolla:
x g=2x f=sin(g)
----->[kerroin 2]------->[sin]--------->
Kun muuttujaan x lisätään differentiaali dx, tulokseen g lisäytyy differentiaali dg ja tulokseen f lisäytyy differentiaali df
x dx g dg f df
----->[kerroin 2]----->[funktio f]----->
Koska g = 2x niin dg = 2dx.
Koska f = sin(g) niin (kun f'=df/dx)
df = sin'(g)dg = cos(g)dg.
Siten:
dx dg df
----->[kerroin 2]----->[kerroin cos(g) ]------->
Eliminoidaan dg:
df = cos(g)dg=cos(g)(2dx)=cos(2x)2dx
Tästä koko kuvauksen derivaataksi saadaan
df/dx = cos(2x)2
Ketjusääntö voidaan päätellä tähän tapaan yleisemminkin, myös monimuuttujatapauksessa, jossa derivaattojen yleistyksenä ovat Jacobin matriisit. Yhdistetyn kuvauksen h,
h(x)=f(g(x)) ; x,g,f vektoreita
Jacobin matriisiksi Jh saadaan tällaisella lohkokaaviopäättelyllä
Jh(x) = Jf(g)Jg(x)=Jf(g(x))Jg(x)
missä Jf on f:n Jacobi ja Jg on g:n Jacobi.
Jacobin matriisi on esim. kahden muuttujan tapauksessa seurausta tietystä formalismista: dudu := 0, dvdv := 0 ja
dudv := -dvdu,
kun g(u,v): R -> A ja f(x,y): A -> R^1, missä
R ja A ovat R^2:n osajoukkoja.
Silloin (fog)(u,v) = f(g_1(u,v),g_2(u,v)) eli x = g_1(u,v) ja y = g_2(u,v). Differentioituina
dx = D_1g_1du D_2g_1dv ja dy = D_1g_2du D_2g_2dv ja formalismin mukaan
dxdy = (D_1g_1D_2g_2 - D_2g_1D_1g_2)dudv ja tässä dudv:n kerroin on muuttujanvaihdossa syntyvä Jacobin determinantti.