Potenssin integrointi

Haloo, oletko koskaan katsonut kaavastoista löytyviä integrointikaavoja? Niissä esitetyt ratkaisut vaikeille integroitaville on sellaisia ettei niitä voi päättelemällä ja soveltamalla keksiä itse ellei aikaa ole muutamia vuosia. Nämä kaavat jaetaan myös yliopistossa mukaan tentteihin, koska niiden ulkoaopettelu olisi mahdotonta ja täysin turhaa. Ratkaisutkin perustuvat täysin valmiisiin kaavoihin sijoitteluihin. Jos sinä osaat nämä ratkaista pelkästään päätäsi käyttämällä on maailma menettänyt sinussa suuren matemaatikon. Epäilen kuitenkin ettet edes asiasta tiedä mitään kun kehotat heittämään kaavaston pois.
Jos nyt joku asiasta jotain ymmärtävä osaa neuvoaeteenpäin niin olen asiasta kiitollinen.

Catja kirjoitti:

Haloo, oletko koskaan katsonut kaavastoista löytyviä integrointikaavoja? Niissä esitetyt ratkaisut vaikeille integroitaville on sellaisia ettei niitä voi päättelemällä ja soveltamalla keksiä itse ellei aikaa ole muutamia vuosia. Nämä kaavat jaetaan myös yliopistossa mukaan tentteihin, koska niiden ulkoaopettelu olisi mahdotonta ja täysin turhaa. Ratkaisutkin perustuvat täysin valmiisiin kaavoihin sijoitteluihin. Jos sinä osaat nämä ratkaista pelkästään päätäsi käyttämällä on maailma menettänyt sinussa suuren matemaatikon. Epäilen kuitenkin ettet edes asiasta tiedä mitään kun kehotat heittämään kaavaston pois.
Jos nyt joku asiasta jotain ymmärtävä osaa neuvoaeteenpäin niin olen asiasta kiitollinen.

..jäi noi koulut kesken, mutta sen vaan sanon, että toi sun probleemis ei ainakaan nopeasti silmäiltynä näytä mitenkään vaikealta.

Kuten sanoin, heitä se kaavasto syvälle suohon ja paloittele funktiosi toimintamekanismi helpoimmin hallittaviin palasiin.

Mikäli et vieläkään tajua mitä tarkoitan niin levitä vaikka faijas auton vaihdelaatikko olohuoneen lattialle ja katso miten elävän elämän kertotaulu ja lukujen suhteet toimivat luonnossa. Niitä voi aivan vapaasti vääntää ja kääntää, mutta suhteet muihin mekanismeihin pitää säilyttää muuttumattomina.

Jonttu

Jonttu kirjoitti:

..jäi noi koulut kesken, mutta sen vaan sanon, että toi sun probleemis ei ainakaan nopeasti silmäiltynä näytä mitenkään vaikealta.

Kuten sanoin, heitä se kaavasto syvälle suohon ja paloittele funktiosi toimintamekanismi helpoimmin hallittaviin palasiin.

Mikäli et vieläkään tajua mitä tarkoitan niin levitä vaikka faijas auton vaihdelaatikko olohuoneen lattialle ja katso miten elävän elämän kertotaulu ja lukujen suhteet toimivat luonnossa. Niitä voi aivan vapaasti vääntää ja kääntää, mutta suhteet muihin mekanismeihin pitää säilyttää muuttumattomina.

Jonttu

ovat aivan oma lajinsa eikä niitä voi ain tuolla tavalla paloittelemalla ratkaista. Kyseinen lasku on esim. laitettu yliopiston kurssin vaativimpien ratkaistavien joukkoon eikä sitä saa noin vain ratkaistua.
"Faija" asuu niin kaukana etten viitsi hänen autonsa vaihdelaatikkoa lattialle levittää, kävisikö oman auton vaihdelaatikko? Taisit luulla minua ihan teiniksi?

Catja kirjoitti:

ovat aivan oma lajinsa eikä niitä voi ain tuolla tavalla paloittelemalla ratkaista. Kyseinen lasku on esim. laitettu yliopiston kurssin vaativimpien ratkaistavien joukkoon eikä sitä saa noin vain ratkaistua.
"Faija" asuu niin kaukana etten viitsi hänen autonsa vaihdelaatikkoa lattialle levittää, kävisikö oman auton vaihdelaatikko? Taisit luulla minua ihan teiniksi?

..heittäytyä tyhmäksi ja kysyä mikä tuossa funktiossa on muuten se the ongelma? Kaikki vouhkaa jostain integroinnista, mutta kukaan ei tunnu osaavan selittää mistä integroinnissa on oikein kyse aivan kuin se olisi jotain v..n salatiedettä.

En myöskään ole mikään teini ja tämän jo eletyn elämän aikana olen havainnut, että jokainen vaikeanakin pidetty asia voidaan esittää helppotajuisesti, kunhan asian kertoja itse ymmärtää mistä kyseisessä asiassa on todella kyse.

Teidän korkeakoulusta tulevien ongelma on selvästi se, että ymmäryksen sijasta haalitte päänne täyteen eri tekniikoita, joiden tarkoituksena on poistaa ymmärryksen tarve.

Fysiikassa tämä on johtanut jopa siihen, että osa porukasta väittää tosissaan universumin laajentumisen olevan loputonta vaikka asia ei todellakaan ole näin, sanoo teidän laskutoimituksenne mitä tahansa.

Fyysikoilla suhteellisuusteorian ymmärryksen puute aiheuttaa tilanteita, jossa funktioon työnnetään sontaa sisään ja saadaan sontaa ulos.

Jep, nyt olisinkin kiinnostunut kuulemaan integroinnin salat ilman epäselvää mongerrusta, please...

Jonttu

Catja kirjoitti:

ovat aivan oma lajinsa eikä niitä voi ain tuolla tavalla paloittelemalla ratkaista. Kyseinen lasku on esim. laitettu yliopiston kurssin vaativimpien ratkaistavien joukkoon eikä sitä saa noin vain ratkaistua.
"Faija" asuu niin kaukana etten viitsi hänen autonsa vaihdelaatikkoa lattialle levittää, kävisikö oman auton vaihdelaatikko? Taisit luulla minua ihan teiniksi?

..kaavan "1/((x^2-a)^3/2)" toimintaa ja se tuntuu pelittävän ihan hienosti kunhan x^2 > a . Edelleen, mikäli se laitetaan vaikkapa for-luuppiin niin silloin sillä voidaan helposti laskea muodostuneen käyrän pinta-ala (likimääräisesti).

Onko muuten tuo likimääräisyys se, joka tässä ketuttaa vai mikä?

Jonttu

Jonttu kirjoitti:

..kaavan "1/((x^2-a)^3/2)" toimintaa ja se tuntuu pelittävän ihan hienosti kunhan x^2 > a . Edelleen, mikäli se laitetaan vaikkapa for-luuppiin niin silloin sillä voidaan helposti laskea muodostuneen käyrän pinta-ala (likimääräisesti).

Onko muuten tuo likimääräisyys se, joka tässä ketuttaa vai mikä?

Jonttu

Pitäisi vain osata integroida se. Yliopiston matikka on hvyin harvoin käytännönläheistä eli että laskettaisiin mitään todellisia ongelmia vaan tarkoitus on opettaa eri tekniikat.
Eli tässäkin tehtävässä on tarkoituksena vain integroida kyseinen funktio. Oikea vastaus on annettu kirjassa, mutta pitäisi päästä tähän oikeaan vastaukseen välivaiheden kautta. Mitään arvoa ei tarvitse funktioon sijoittaa.

Catja kirjoitti:

Pitäisi vain osata integroida se. Yliopiston matikka on hvyin harvoin käytännönläheistä eli että laskettaisiin mitään todellisia ongelmia vaan tarkoitus on opettaa eri tekniikat.
Eli tässäkin tehtävässä on tarkoituksena vain integroida kyseinen funktio. Oikea vastaus on annettu kirjassa, mutta pitäisi päästä tähän oikeaan vastaukseen välivaiheden kautta. Mitään arvoa ei tarvitse funktioon sijoittaa.

... jos annettu funktio on "1/((x^2-a)^3/2)" ja siitä pitäisi päästä muotoon "-1/((x(x^2-a)) x^2 a)" niin miksi ihmeessä niiden toiminta muuttuu täysin? Ja mitä etua muutoksesta yleensä saavutetaan?

Työnnä noi molemmat funktiot vaikka Exceliin ja pistä se piirtämään käppyrät vaikka x:n arvoilla 2-40 ja aseta a:n arvo vaikka -500 niin huomaat kuinka eritavalla ne käyttäytyvät.

Jonttu

Jonttu kirjoitti:

... jos annettu funktio on "1/((x^2-a)^3/2)" ja siitä pitäisi päästä muotoon "-1/((x(x^2-a)) x^2 a)" niin miksi ihmeessä niiden toiminta muuttuu täysin? Ja mitä etua muutoksesta yleensä saavutetaan?

Työnnä noi molemmat funktiot vaikka Exceliin ja pistä se piirtämään käppyrät vaikka x:n arvoilla 2-40 ja aseta a:n arvo vaikka -500 niin huomaat kuinka eritavalla ne käyttäytyvät.

Jonttu

Tuo jälkimmäinen funktiohan on integroitu! Jos helpompi esimerkki niin x^2 on integroituna 1/3 *x^3. Jos niihinkin sijoittaa x:n paikalle esim. kakkosen saadaan tulokseksi ennen integrointia 4 ja integroidussa funktiossa 8/3.

Catja kirjoitti:

Tuo jälkimmäinen funktiohan on integroitu! Jos helpompi esimerkki niin x^2 on integroituna 1/3 *x^3. Jos niihinkin sijoittaa x:n paikalle esim. kakkosen saadaan tulokseksi ennen integrointia 4 ja integroidussa funktiossa 8/3.

..älypää on antanut funktion muuntamiselle nimeksi "funktion integrointi", joka tarkoitaa (tiiviimmän) kokonaisuuden muodostamista?

Jonttu

Catja kirjoitti:

Tuo jälkimmäinen funktiohan on integroitu! Jos helpompi esimerkki niin x^2 on integroituna 1/3 *x^3. Jos niihinkin sijoittaa x:n paikalle esim. kakkosen saadaan tulokseksi ennen integrointia 4 ja integroidussa funktiossa 8/3.

..sultakin, että mitä integrointi tekee funktiolle? - Ja vastaukseksi ei riitä "se integroi"...

Jonttu

Jonttu kirjoitti:

..kaavan "1/((x^2-a)^3/2)" toimintaa ja se tuntuu pelittävän ihan hienosti kunhan x^2 > a . Edelleen, mikäli se laitetaan vaikkapa for-luuppiin niin silloin sillä voidaan helposti laskea muodostuneen käyrän pinta-ala (likimääräisesti).

Onko muuten tuo likimääräisyys se, joka tässä ketuttaa vai mikä?

Jonttu

jos halutaan laskea integraalille likiarvo niin sitten se on ihan perus riemannin summien laskua. tosin tehtävän anto ei ollut sellainen että laske likiarvo. vaan pitää saada muodostettua integraalifunktio.

tosin riemannin summien raja-arvolla voidaan laskea funktion integraali aika tarkasti. esim. integraali yhdestä kahteen 1/x = sijoitus yhdestä kahteen ln x = ln 2. ja tämä voidaan todistaa riemannin summilla(eli periaatteessa pinta-alalla)

joku kirjoitti:

jos halutaan laskea integraalille likiarvo niin sitten se on ihan perus riemannin summien laskua. tosin tehtävän anto ei ollut sellainen että laske likiarvo. vaan pitää saada muodostettua integraalifunktio.

tosin riemannin summien raja-arvolla voidaan laskea funktion integraali aika tarkasti. esim. integraali yhdestä kahteen 1/x = sijoitus yhdestä kahteen ln x = ln 2. ja tämä voidaan todistaa riemannin summilla(eli periaatteessa pinta-alalla)

..et toi sun selitykses ei ollut suomea? Se oli jotain sekalaista paskaa, jonka joukkoon oli tungettu sopivasti abstrakteja käsitteitä, joita terminologiaan vihkiytymättömällä ei ole mahdollista ymmärtää.

Järki ei taatusti lopu, mutta terminologian turhanpäiväinen päntääminen alkaa nyppiä suunnattomasti.

Jonttu

Jonttu kirjoitti:

..et toi sun selitykses ei ollut suomea? Se oli jotain sekalaista paskaa, jonka joukkoon oli tungettu sopivasti abstrakteja käsitteitä, joita terminologiaan vihkiytymättömällä ei ole mahdollista ymmärtää.

Järki ei taatusti lopu, mutta terminologian turhanpäiväinen päntääminen alkaa nyppiä suunnattomasti.

Jonttu

sellaista se on. samanlainen ongelma on joka alalla. kysy vaikka autonkorjaajalta miten auto toimii siten että hän ei käytä yhtään alan terminologiaa tai muita ei itsestään selviä sanoja. saattaa onnistua, mutta teit kyseisen korjaajan elämän vaikeaksi vähäksi aikaa..

Jonttu kirjoitti:

..heittäytyä tyhmäksi ja kysyä mikä tuossa funktiossa on muuten se the ongelma? Kaikki vouhkaa jostain integroinnista, mutta kukaan ei tunnu osaavan selittää mistä integroinnissa on oikein kyse aivan kuin se olisi jotain v..n salatiedettä.

En myöskään ole mikään teini ja tämän jo eletyn elämän aikana olen havainnut, että jokainen vaikeanakin pidetty asia voidaan esittää helppotajuisesti, kunhan asian kertoja itse ymmärtää mistä kyseisessä asiassa on todella kyse.

Teidän korkeakoulusta tulevien ongelma on selvästi se, että ymmäryksen sijasta haalitte päänne täyteen eri tekniikoita, joiden tarkoituksena on poistaa ymmärryksen tarve.

Fysiikassa tämä on johtanut jopa siihen, että osa porukasta väittää tosissaan universumin laajentumisen olevan loputonta vaikka asia ei todellakaan ole näin, sanoo teidän laskutoimituksenne mitä tahansa.

Fyysikoilla suhteellisuusteorian ymmärryksen puute aiheuttaa tilanteita, jossa funktioon työnnetään sontaa sisään ja saadaan sontaa ulos.

Jep, nyt olisinkin kiinnostunut kuulemaan integroinnin salat ilman epäselvää mongerrusta, please...

Jonttu

elämää vahvempaa olet nauttinut ? Kerro heti, haluan päästä itsekkin kokeilemaan mistä pääsee noin sekaisin :-)

Taijjat nyt olla pikkasen pihalla? Kysyjähän halus tietää miten toi ratkaistaan. Ei pelkkää vastausta.

Mä osaan laskea kerto-, jako-, prosetti- ja juurilaskut päässä ennenku nyhveröt saa kaivettua laskimet esille, mutta näistä mato-laskuista on vaa jääny joku ontto hokema "sisäfunktion derivaatta kertaa ulkofunktio..." ja paskat.

Tiedän mitä pitäisi tulla oikeaksi vastaukseksi eli -1/ ((x(x^2-a)) x^2 a) mutta en pääse millään välivaiheilla tuohon vastaukseen.

Catja kirjoitti:

Tiedän mitä pitäisi tulla oikeaksi vastaukseksi eli -1/ ((x(x^2-a)) x^2 a) mutta en pääse millään välivaiheilla tuohon vastaukseen.

...kun noi sun kaksi funktio-versiota tuottaa samoilla x:n ja a:n arvoilla täysin eri käppyröitä.

Taisit kasata sen vaihdelaatikkos hieman vitulleen?

Jonttu

Jonttu kirjoitti:

...kun noi sun kaksi funktio-versiota tuottaa samoilla x:n ja a:n arvoilla täysin eri käppyröitä.

Taisit kasata sen vaihdelaatikkos hieman vitulleen?

Jonttu

harvemmin funktio ja sen integraali funktio on samanlainen. (ellei olla sitten integroimassa f(x) = e^x)

joku kirjoitti:

harvemmin funktio ja sen integraali funktio on samanlainen. (ellei olla sitten integroimassa f(x) = e^x)

...integrointi tekee funktiolle? - Ja vastaukseksi ei riitä "se integroi"...

Jonttu

Jonttu kirjoitti:

...integrointi tekee funktiolle? - Ja vastaukseksi ei riitä "se integroi"...

Jonttu

ei se tee mitään itse funktiolle. funktio pysyy samana kuin ennenkin. siitä vain pystytään muodostamaan integraalifunktio joka taas helpottaa elämää. kansantajausesti sanottuna integraalifunktio kuvaa funktion alle ja 'x-akselin' välille jäämää pinta-alaa

fysiikassa voidaan esim. integroinin avulla helposti laskua kappaleen paikka x(t) tietyllä ajan hetkellä, jos tiedetään kappaleen nopeus v(t)

jos olet noin kiinostunut aiheesta niin mene lukemaan hieman teoriaa (riemann-)integroitimisesta:

http://www.math.helsinki.fi/kurssit/difint12/2001/int1.pdf
http://www.math.helsinki.fi/kurssit/difint12/2001/int2.pdf
http://www.math.helsinki.fi/kurssit/difint12/2001/int3.pdf

joku kirjoitti:

ei se tee mitään itse funktiolle. funktio pysyy samana kuin ennenkin. siitä vain pystytään muodostamaan integraalifunktio joka taas helpottaa elämää. kansantajausesti sanottuna integraalifunktio kuvaa funktion alle ja 'x-akselin' välille jäämää pinta-alaa

fysiikassa voidaan esim. integroinin avulla helposti laskua kappaleen paikka x(t) tietyllä ajan hetkellä, jos tiedetään kappaleen nopeus v(t)

jos olet noin kiinostunut aiheesta niin mene lukemaan hieman teoriaa (riemann-)integroitimisesta:

http://www.math.helsinki.fi/kurssit/difint12/2001/int1.pdf
http://www.math.helsinki.fi/kurssit/difint12/2001/int2.pdf
http://www.math.helsinki.fi/kurssit/difint12/2001/int3.pdf

..sekaisin menee funktiolla integrointi ja funktion integrointi, jotka ainakin Catjan mukaan ovat kaksi eri asiaa.

Funktiolla integrointi on mielestäni ihan simpeli juttu ja sen ymmärtämisessä ei ole mitään vaikeuksia (funktio for-luuppiin ja lasketaan pinta-ala).

Catja kuitenkin halusi integroida funktionsa, joka toimenpiteenä on hieman outo meikäläiselle. Olen todella kiinnostunut kuulemaan mitä kyseinen toimenpide tekee funktiolle ja miksi sellainen operatio suoritetaan.

Jonttu

Jonttu kirjoitti:

..sekaisin menee funktiolla integrointi ja funktion integrointi, jotka ainakin Catjan mukaan ovat kaksi eri asiaa.

Funktiolla integrointi on mielestäni ihan simpeli juttu ja sen ymmärtämisessä ei ole mitään vaikeuksia (funktio for-luuppiin ja lasketaan pinta-ala).

Catja kuitenkin halusi integroida funktionsa, joka toimenpiteenä on hieman outo meikäläiselle. Olen todella kiinnostunut kuulemaan mitä kyseinen toimenpide tekee funktiolle ja miksi sellainen operatio suoritetaan.

Jonttu

eli on olemassa käsitteet: määräämätön integraali ja määrätty integraali

määräämättömästä integraalista tulee aina arvoksi jokin arvo.(paitsi jos väli on määritelty jollakin muuttujalla)

määrätystä integraalista tulee taas yleensä vastaukseksi jokin funktio.

molemmat tehdään samallalailla, mutta toiseen ei sijoiteta mitään arvoja.(ja eikä tehdä erotuksia)

"Funktiolla integrointi on mielestäni ihan simpeli juttu ja sen ymmärtämisessä ei ole mitään vaikeuksia (funktio for-luuppiin ja lasketaan pinta-ala)."

tuo asia on juuri se mihin riemann-integraali perustuu.
ja tietenkin otat selvää että funktio on jatkuva sillä välillä mitä tutkit. samoin kun seuraava silmukka alkaa niin menet vain todella pienen askeleen eteenpäin. eli sinulla on jokin tietty väli [a,b]. väli on jaettu pieniin osiin eli väliin D = {x0,x1,x2,..,xn},missä a=x0

joku kirjoitti:

eli on olemassa käsitteet: määräämätön integraali ja määrätty integraali

määräämättömästä integraalista tulee aina arvoksi jokin arvo.(paitsi jos väli on määritelty jollakin muuttujalla)

määrätystä integraalista tulee taas yleensä vastaukseksi jokin funktio.

molemmat tehdään samallalailla, mutta toiseen ei sijoiteta mitään arvoja.(ja eikä tehdä erotuksia)

"Funktiolla integrointi on mielestäni ihan simpeli juttu ja sen ymmärtämisessä ei ole mitään vaikeuksia (funktio for-luuppiin ja lasketaan pinta-ala)."

tuo asia on juuri se mihin riemann-integraali perustuu.
ja tietenkin otat selvää että funktio on jatkuva sillä välillä mitä tutkit. samoin kun seuraava silmukka alkaa niin menet vain todella pienen askeleen eteenpäin. eli sinulla on jokin tietty väli [a,b]. väli on jaettu pieniin osiin eli väliin D = {x0,x1,x2,..,xn},missä a=x0

..pysyin kärryillä niin 'määrätty' integraalifunktio kuvaa pinta-alaa absoluuttisen tarkasti ja yhdellä funktion suorituksella voidaan laskea koko pinta-ala kertarysäyksellä...kö?

Onko muuten vaikea tehdä integraalifunktio seuraavalle jutulle, jotta saisin hieman vihiä asian problematiikasta:

- ammus lentää x-akselin suuntaisesti lähtönopeudella v ja -korkeudella h.
- y-suunassa ammukseen vaikuttaa maan gravitaatio g.
- ammuksen lentonopeutta hidastaa ilmanvastuskerroin k (ilmanpaine oletetaan olevan vakio koko lentomatkan ajan).

Millaisella määrätyllä integraalifunktiolla voidaan laskea ammuksen lähtöpaikan ja kohdan x välinen pinta-ala koordinaatiston 0-tasoon nähden?

Jonttu

Jonttu kirjoitti:

..pysyin kärryillä niin 'määrätty' integraalifunktio kuvaa pinta-alaa absoluuttisen tarkasti ja yhdellä funktion suorituksella voidaan laskea koko pinta-ala kertarysäyksellä...kö?

Onko muuten vaikea tehdä integraalifunktio seuraavalle jutulle, jotta saisin hieman vihiä asian problematiikasta:

- ammus lentää x-akselin suuntaisesti lähtönopeudella v ja -korkeudella h.
- y-suunassa ammukseen vaikuttaa maan gravitaatio g.
- ammuksen lentonopeutta hidastaa ilmanvastuskerroin k (ilmanpaine oletetaan olevan vakio koko lentomatkan ajan).

Millaisella määrätyllä integraalifunktiolla voidaan laskea ammuksen lähtöpaikan ja kohdan x välinen pinta-ala koordinaatiston 0-tasoon nähden?

Jonttu

>>Onko muuten vaikea tehdä integraalifunktio seuraavalle jutulle, ..

Ei ole. Hieman monimutkainen kyllä, kun voima f(k) on kohtisuorassa lentosuuntaa vastaan, mutta ei sitä silti kannata vaikeaksi sanoa:D

..Taitaisi olla paras kehittää yhtälö ensin ajan funktiona x=f(t), ja sitten ratkaista se aseman x suhteen?

oloneuvos kirjoitti:

>>Onko muuten vaikea tehdä integraalifunktio seuraavalle jutulle, ..

Ei ole. Hieman monimutkainen kyllä, kun voima f(k) on kohtisuorassa lentosuuntaa vastaan, mutta ei sitä silti kannata vaikeaksi sanoa:D

..Taitaisi olla paras kehittää yhtälö ensin ajan funktiona x=f(t), ja sitten ratkaista se aseman x suhteen?

..varmaan joka poika tuon laskee perinteisellä tavalla (integroimalla), mutta tämän 'määrätyn' integraalifunktion laatiminen ei varmastikkaan ole aivan näin yksinkertaista - Yhtälönhän pitää kuvata koko pinta-ala absoluuttisen tarkasti, johon perinteinen integrointi ei pysty.

Juuri edellisestä syystä johtuen olisin todella kiinnostunut näkemään kyseisen funktion valmiina, koska sen syvimpään olemukseen tutustuminen helposti hahmoitettavan ammus-esimerkin kautta olisi mahdollista päästä jotenkin kiinni.

Taitaa kuitenkin olla niin, että pienmunaisten porukka elvistelee täällä olemattomilla matikantaidoillaan ja sitten, kun tälläinen peruskoulun (yli 20 vuotta sitten) käynyt häiskä kysyy yhdenkin ulkoa opetellusta poikkeavan kysymyksen niin selkeää vastausta ei enää löydykkään.

Jos osaatte niin funktio esiin ja näyttäkää miltä se näyttää - tai sitten pää kiinni.

Jonttu

Jonttu kirjoitti:

...kun noi sun kaksi funktio-versiota tuottaa samoilla x:n ja a:n arvoilla täysin eri käppyröitä.

Taisit kasata sen vaihdelaatikkos hieman vitulleen?

Jonttu

Et ole näemmä käynyt lukiota, sillä et tiedä mitä
on integrointi. Integraalilaskenta on kätevä apuväline erilaisten laskutoimitusten ratkaisemiseen. Esim. Määrätyn integraalin avulla pystyy laskemaan käyrien rajoittamia pinta-aloja sekä pyörähdyskappaleiden tilavuuksia.

Ehkä käytännön läheisempi esimerkki on
matkan, keskinopeuden, ja kiihtyvyyden selvittäminen.
Jos tiedetään kiihtyvyys niin sen integraali ajan suhteen on nopeus. Jos tiedetään nopeus niin sen integraali ajan suhteen on matka.

Jonttu kirjoitti:

..varmaan joka poika tuon laskee perinteisellä tavalla (integroimalla), mutta tämän 'määrätyn' integraalifunktion laatiminen ei varmastikkaan ole aivan näin yksinkertaista - Yhtälönhän pitää kuvata koko pinta-ala absoluuttisen tarkasti, johon perinteinen integrointi ei pysty.

Juuri edellisestä syystä johtuen olisin todella kiinnostunut näkemään kyseisen funktion valmiina, koska sen syvimpään olemukseen tutustuminen helposti hahmoitettavan ammus-esimerkin kautta olisi mahdollista päästä jotenkin kiinni.

Taitaa kuitenkin olla niin, että pienmunaisten porukka elvistelee täällä olemattomilla matikantaidoillaan ja sitten, kun tälläinen peruskoulun (yli 20 vuotta sitten) käynyt häiskä kysyy yhdenkin ulkoa opetellusta poikkeavan kysymyksen niin selkeää vastausta ei enää löydykkään.

Jos osaatte niin funktio esiin ja näyttäkää miltä se näyttää - tai sitten pää kiinni.

Jonttu

äläpä nyt hätäile. itse en päivystä tätä palsaa 24h/päivä joten vastaus tulee aina joskus. (päätit sitten heti mennä henkilökohtaisuuksiin?)

fysiikka ei ole ollut vahvoja puoliani, joten tuota fysikaalista funktiota en ala muodostamaan, koska siinä olisi kuitenkin virheitä.

joten luon funktion f(t) = h-at, joka kuvaa luodin kulkemaa käyrää ja toteuttaa nuo vaatimasi ehdot(a taitaa olla jotain < 1)

eli F(t) = ht - a/2t^2 c

sen jälkeen halusit laskea pinta-alan lähtöpaikan(x0) ja kohdan x välisen pinta-alan


eli 'määrätty' integraali:

integraali x0:sta x:n = sijoitus x0:sta x:n F(t) = F(x) - F(x0) = (hx - a/2x^2 c) - (hx0 - a/2x0^2 c) = hx - a/2x^2 c - hx0 a/2x0^2 - c = h(x - x0) a/2(x0^2 - x^2)

eli sijoittamalla h,x,x0 ja a:n arvot niin saat pinta-alan x0:sta x:n


laske f(x) = 3x sillä 'perinteisellä' tavalla välillä [0,1] (eli pinta-ala 0:sta 1:n) mitään geometrisiä vastauksia ei hyväksytä.

"Jos osaatte niin funktio esiin ja näyttäkää miltä se näyttää - tai sitten pää kiinni."

joku kirjoitti:

ei se tee mitään itse funktiolle. funktio pysyy samana kuin ennenkin. siitä vain pystytään muodostamaan integraalifunktio joka taas helpottaa elämää. kansantajausesti sanottuna integraalifunktio kuvaa funktion alle ja 'x-akselin' välille jäämää pinta-alaa

fysiikassa voidaan esim. integroinin avulla helposti laskua kappaleen paikka x(t) tietyllä ajan hetkellä, jos tiedetään kappaleen nopeus v(t)

jos olet noin kiinostunut aiheesta niin mene lukemaan hieman teoriaa (riemann-)integroitimisesta:

http://www.math.helsinki.fi/kurssit/difint12/2001/int1.pdf
http://www.math.helsinki.fi/kurssit/difint12/2001/int2.pdf
http://www.math.helsinki.fi/kurssit/difint12/2001/int3.pdf

täältä löytyy, mielestäni helpomminsulavassa muodossa:
http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/index.htm

joku kirjoitti:

äläpä nyt hätäile. itse en päivystä tätä palsaa 24h/päivä joten vastaus tulee aina joskus. (päätit sitten heti mennä henkilökohtaisuuksiin?)

fysiikka ei ole ollut vahvoja puoliani, joten tuota fysikaalista funktiota en ala muodostamaan, koska siinä olisi kuitenkin virheitä.

joten luon funktion f(t) = h-at, joka kuvaa luodin kulkemaa käyrää ja toteuttaa nuo vaatimasi ehdot(a taitaa olla jotain < 1)

eli F(t) = ht - a/2t^2 c

sen jälkeen halusit laskea pinta-alan lähtöpaikan(x0) ja kohdan x välisen pinta-alan


eli 'määrätty' integraali:

integraali x0:sta x:n = sijoitus x0:sta x:n F(t) = F(x) - F(x0) = (hx - a/2x^2 c) - (hx0 - a/2x0^2 c) = hx - a/2x^2 c - hx0 a/2x0^2 - c = h(x - x0) a/2(x0^2 - x^2)

eli sijoittamalla h,x,x0 ja a:n arvot niin saat pinta-alan x0:sta x:n


laske f(x) = 3x sillä 'perinteisellä' tavalla välillä [0,1] (eli pinta-ala 0:sta 1:n) mitään geometrisiä vastauksia ei hyväksytä.

"Jos osaatte niin funktio esiin ja näyttäkää miltä se näyttää - tai sitten pää kiinni."

..oli kyllä soitettu tuolle "oloneuvokselle" ja hänen tyylilleen brassailla näennäistietämyksellään.

Ihan selvennykseksi kysyn, että ovatko edellisessä kirjoituksessasi käyttämäsi lyhenteet seuraavia:

t = aika
a = kiihtyvyys
c = nopeus (v?)
h = ammuksen lähtokorkeus x-akselista
x0 = lähtöpaikka
x = ammuksen kulkema matka ts. piste johon saakka lasketaan pinta-alaa suhteessa X0:aan

"fysiikka ei ole ollut vahvoja puoliani, joten tuota fysikaalista funktiota en ala muodostamaan, koska siinä olisi kuitenkin virheitä."

Tarkoitatko edellisellä sitä, että tekemäsi kaava ei ota huomioon ilmanvastuksen nopeutta vähentävää elementtiä?

Joten kaava "h(x - x0) a/2(x0^2 - x^2)" kuvaa pelkästään luodin tekemän kaaren ja X0-X:n sisälle jäävä pinta-alaa-kö?

Nähdäkseni kaavassasi aliyhtälö "h(x - x0)" edustaa perinteistä neliön pinta-alan laskukaavaa, josta pitää vähentää vielä luodin lentoradan kaarevuudesta aiheutuva menetys, eikö vaan?

Ottamatta sen enempää kantaa tuon toisen aliyhtälön " a/2(x0^2 - x^2)" syntymekanismiin niin totean, että se ei voi pitää paikkaansa siksi, koska koko kaavasta puuttuu ammuksen lentonopeuden huomioon ottaminen (c tai v).

Totuushan on, että mitä hiljemmin ammus lentää, sitä kaarevampi on lentorata ja päinvastoin äärettömällä nopeudella lentorata on viivasuora, jolloin pinta-alan geometria on suorakulmio "h(x-x0) - 0".

"laske f(x) = 3x sillä 'perinteisellä' tavalla välillä [0,1] (eli pinta-ala 0:sta 1:n) mitään geometrisiä vastauksia ei hyväksytä."

Mitä tarkoitat tuolla?

Jonttu

integrointi kirjoitti:

Et ole näemmä käynyt lukiota, sillä et tiedä mitä
on integrointi. Integraalilaskenta on kätevä apuväline erilaisten laskutoimitusten ratkaisemiseen. Esim. Määrätyn integraalin avulla pystyy laskemaan käyrien rajoittamia pinta-aloja sekä pyörähdyskappaleiden tilavuuksia.

Ehkä käytännön läheisempi esimerkki on
matkan, keskinopeuden, ja kiihtyvyyden selvittäminen.
Jos tiedetään kiihtyvyys niin sen integraali ajan suhteen on nopeus. Jos tiedetään nopeus niin sen integraali ajan suhteen on matka.

..varmistan, että onko 'määrätyn' ja 'määrittämättömän' integraalifunktion ero se, että ensimmäinen kykenee kuvaamaan käyrien rajoittaman pinta-alan absoluuttisen tarkasti, kun taas 'määrittämätön' perustuu saman funktion toistamiseen useamman kerran (x1,x2...xn) ja jonka jokaisen suorituksen paluuarvo lasketaan yhteen ja saadaan likimääräinen pinta-ala?

Tietenkin voin olla ollut kokonaan väärillä jäljillä ja molemmat on sitä samaa paskaa, mutta 'määrätty' yhtälö pitää sisällään vain 'määrittämättömän' funktion toistokomennon (tietokonekielessä sitä kutsutaan for-luupiksi).

Nähdäkseni Catja oli kuitenkin integroimassa funktiota, jonkin ennalta sovitun säännön mukaan, joka edelleen muuttaa funktion toiminnan toiseksi (integroi sen?). Siksi kiinnostuin asiasta ja aloin ihmetellä mitä funktion integrointi tekee sille. Lisätäänkö siihen joku uusi aliyhtälö vai mistä tässä on oikein kyse?

Ensin Catjalla oli funktio "A", joka integroinnin jälkeen muuttui "B":ksi. "A":n ja "B":n toimintojen välillä ei kuitenkaan integroinnin jälkeen näytä olevan enää mitään korrelaatiota toisiinsa, joten jostain korkeamman olennon ajatusmaailmasta tässä täytyy olla kyse.

Jonttu

Jonttu kirjoitti:

..oli kyllä soitettu tuolle "oloneuvokselle" ja hänen tyylilleen brassailla näennäistietämyksellään.

Ihan selvennykseksi kysyn, että ovatko edellisessä kirjoituksessasi käyttämäsi lyhenteet seuraavia:

t = aika
a = kiihtyvyys
c = nopeus (v?)
h = ammuksen lähtokorkeus x-akselista
x0 = lähtöpaikka
x = ammuksen kulkema matka ts. piste johon saakka lasketaan pinta-alaa suhteessa X0:aan

"fysiikka ei ole ollut vahvoja puoliani, joten tuota fysikaalista funktiota en ala muodostamaan, koska siinä olisi kuitenkin virheitä."

Tarkoitatko edellisellä sitä, että tekemäsi kaava ei ota huomioon ilmanvastuksen nopeutta vähentävää elementtiä?

Joten kaava "h(x - x0) a/2(x0^2 - x^2)" kuvaa pelkästään luodin tekemän kaaren ja X0-X:n sisälle jäävä pinta-alaa-kö?

Nähdäkseni kaavassasi aliyhtälö "h(x - x0)" edustaa perinteistä neliön pinta-alan laskukaavaa, josta pitää vähentää vielä luodin lentoradan kaarevuudesta aiheutuva menetys, eikö vaan?

Ottamatta sen enempää kantaa tuon toisen aliyhtälön " a/2(x0^2 - x^2)" syntymekanismiin niin totean, että se ei voi pitää paikkaansa siksi, koska koko kaavasta puuttuu ammuksen lentonopeuden huomioon ottaminen (c tai v).

Totuushan on, että mitä hiljemmin ammus lentää, sitä kaarevampi on lentorata ja päinvastoin äärettömällä nopeudella lentorata on viivasuora, jolloin pinta-alan geometria on suorakulmio "h(x-x0) - 0".

"laske f(x) = 3x sillä 'perinteisellä' tavalla välillä [0,1] (eli pinta-ala 0:sta 1:n) mitään geometrisiä vastauksia ei hyväksytä."

Mitä tarkoitat tuolla?

Jonttu

:".oli kyllä soitettu tuolle "oloneuvokselle" ja hänen tyylilleen brassailla näennäistietämyksellään."

Pahoittelen, tarkoitus ei ollut loukata. Alla pieni yritys paikata tilannetta; täällä vain ei tiedä, kuka nimimerkki on todellisuudessa "brassaileva" matematiikan kanditaatti, joka joutoaikoinaan nöyryyttää ihmisiä kompakysymyksillä ym.. Minä en ole matemaatikko, vaikka käytän päivittäin todella paljon matematiikkaa ja fysiikkaa noin tietokoneen avulla.

Löysin moisen valmiin esimerkin jostain mappien uumenista. Mikäli kiinnostaa, niin lisää integroinnista yms löytyy vaikkapa sivulta http://www.oph.fi/etalukio/opiskelumodulit/pimatem/paavalikko/pmku8/pmku8_1.html
Samasta paikasta löytyy käsitteet "määrätty" ja "määräämätön integraali", sekä alla esimerkissä käytetty differentiaaliaskenta, joka siis on hyvin läheistä sukua integraalialaskennalle.

Varaus kirjoitusvirheisiin ym. pidätetään..

Ammuksen eksaktin radan selvittäminen on hankalaa koska kaikkien todellisten parametrien määrittäminen ja huomioonottaminen on todella työlästä. Toisekseen ilmanvastus on verrannollineen nopeuden neliöön (v^2), joka hieman rumentaa yhtälöä. Tällainen tapaus ei taitaisi olla esimerkkinä kovin hyvä, koska itse asia hukkuisi "kilometrien pituiseen" kaavarykelmään.

Käytännön elämässä differentiaalilaskennalla on rajansa, koska usein todellisia muuttujia ei joko voida määrittää tarkasti, tai sitten ei todellakaan kannata uhrata päiväkausia aikaa siihen, lentääkö esimerkiksi heitetty pallo muurin ylitse tarkkuudella 0,001 metriä. Lisäksi yhtälö menee todella mutkikkaaksi, jos otetaan huomioon muurinharjan 'maaefektivaikutus' jne. Mitään muuta ei tuollaisella saavuta, kuin todistuksen väitteelle että lujapäinen mies menee vaikka lävitse harmaan kiven :) Tuntipalkalla moisen ratkaisu on tietenkin aivan eri asia tai sitten jokin mahdollisesti saatavilla oleva FEM -ohjelma roiskaisee riittävän tarkan vastauksen hetkessä.

Tässä on nyt yksinkertainen perusesimerkki vinosta heittoliikkeestä. Asia voi olla Jontulle tuttu, mutta mahdollisesti muut (tätä kirjoittessa säikeellä on ollut n. tuhat lukijaa..) lukijat ovat kiinnostuneita:

Heitetään pallo kulmassa 0'

Jonttu kirjoitti:

..oli kyllä soitettu tuolle "oloneuvokselle" ja hänen tyylilleen brassailla näennäistietämyksellään.

Ihan selvennykseksi kysyn, että ovatko edellisessä kirjoituksessasi käyttämäsi lyhenteet seuraavia:

t = aika
a = kiihtyvyys
c = nopeus (v?)
h = ammuksen lähtokorkeus x-akselista
x0 = lähtöpaikka
x = ammuksen kulkema matka ts. piste johon saakka lasketaan pinta-alaa suhteessa X0:aan

"fysiikka ei ole ollut vahvoja puoliani, joten tuota fysikaalista funktiota en ala muodostamaan, koska siinä olisi kuitenkin virheitä."

Tarkoitatko edellisellä sitä, että tekemäsi kaava ei ota huomioon ilmanvastuksen nopeutta vähentävää elementtiä?

Joten kaava "h(x - x0) a/2(x0^2 - x^2)" kuvaa pelkästään luodin tekemän kaaren ja X0-X:n sisälle jäävä pinta-alaa-kö?

Nähdäkseni kaavassasi aliyhtälö "h(x - x0)" edustaa perinteistä neliön pinta-alan laskukaavaa, josta pitää vähentää vielä luodin lentoradan kaarevuudesta aiheutuva menetys, eikö vaan?

Ottamatta sen enempää kantaa tuon toisen aliyhtälön " a/2(x0^2 - x^2)" syntymekanismiin niin totean, että se ei voi pitää paikkaansa siksi, koska koko kaavasta puuttuu ammuksen lentonopeuden huomioon ottaminen (c tai v).

Totuushan on, että mitä hiljemmin ammus lentää, sitä kaarevampi on lentorata ja päinvastoin äärettömällä nopeudella lentorata on viivasuora, jolloin pinta-alan geometria on suorakulmio "h(x-x0) - 0".

"laske f(x) = 3x sillä 'perinteisellä' tavalla välillä [0,1] (eli pinta-ala 0:sta 1:n) mitään geometrisiä vastauksia ei hyväksytä."

Mitä tarkoitat tuolla?

Jonttu

eli muuten oli oikein, mutta a=jokin muuttaja joka on (kanta*korkeus)/2,ei ole hyvä vastaus, koska harvoin tilanne on sellainen että se muodostaa noin yksinkertaisen pinta-alan

itse osaan ratkaista sen siten että lasken sille kaavan mukaan 'määräämättömän' integraalin ja siitä 'määrätyn'

ja

siten että lasken pinta-alan (riemann)-integraalilla.

molemmista tulee samaa vastaus(= yhtä tarkka), mutta eri laskutoimituksin

(kumpaakaan tapaan ei välttämättä tarvita tietokonetta)

kyllä matikka on jännää..

masa kirjoitti:

eli muuten oli oikein, mutta a=jokin muuttaja joka on (kanta*korkeus)/2,ei ole hyvä vastaus, koska harvoin tilanne on sellainen että se muodostaa noin yksinkertaisen pinta-alan

itse osaan ratkaista sen siten että lasken sille kaavan mukaan 'määräämättömän' integraalin ja siitä 'määrätyn'

ja

siten että lasken pinta-alan (riemann)-integraalilla.

molemmista tulee samaa vastaus(= yhtä tarkka), mutta eri laskutoimituksin

(kumpaakaan tapaan ei välttämättä tarvita tietokonetta)

kyllä matikka on jännää..

..nyt aletaan olla samalla jyvällä tämän mieltä askarruttavan kysymyksen suhteen.

Tuon "oloneuvoksen" antaman linkin (http://www.oph.fi/etalukio/opiskelumodulit/pimatem/paavalikko/pmku8/pmku8_2.html) perusteella löysin suht' hyvän mestan liittyen matikkaan ja integrointiin.

Siellä on aika hyvä esimerkki määrätyn integraalin luomisesta funktiolle y=sqrt(x) välillä 1-5, joka määrätyssä muodossa muuttuu muotoon 2/3*5*sqrt(5).

Sen verran olen oppinut. että määrätyn integraalin arvo (peruslause) on erotus F(b)-F(a), joka tietokonekielessä suoritettaisiin sqrt(5)-sgrt(1).

Jostain käsittämättömästä syystä johtuen koko paska muutuu kuitenkin muotoon 2/3*5*sqrt(5)ja jonka antama vastaus on aivan eri planeetalta kuin ensimmäisen.

(Hieman meikäläistä ihmetyttää vielä esimerkissä se, että määrätyn integraalia laadittaessa 5/1 on muuttunut yht'äkkiä muotoon 5/0. Mistä h..stä se nyt tuli ja miksei saman tien 6/1?)

En ollenkaan kritisoi määrätyn funktion "2/3*5*sqrt(5)" oikeellisuutta, mutta se vitunaikainen (merkintä)tapa, jolla tähän päästiin on aivan perseestä. Huomaa hyvin, että matematiikka on säilynyt samana paskana antiikin kreikasta saakka.

En muuten enää yhtään ihmettele miksi eräs FEM-äijä meni aivan juntturaan, kun pyysin sitä laatimaan yhtälön, jolla voidaan ratkaista säde kolmen koordinaattipisteen avulla. Hemmo otti korkeakoulusta oppimansa tekniikan käyttöön ja viikon odottelun jälkeen oli päätynyt ympyrän yhtälöä mistuttavaan hässäkkään, joka sekin oli tietenkin väärin...

Mikäli mennään vielä tuohon Catjan kahteen yhtälöön niin siinä meikäläistä ihmetyttää se, että miten yhtälöiden väliin voidaan laittaa yhtäsuuruusmerkki, jos ne eivät tosiasiassa ole yhtäsuuria. Joko esimerkistä puuttuu jokin oleellinen tieto tai sitten merkintätapa (integroinnissa) ei ole looginen.

Joskus tärkeämpää on tietää mitä tekee ennemmin kuin tekeminen tietämättä miksi.

Onkohan tätä tautia paljonkin liikkeellä?

Jonttu

Jonttu kirjoitti:

..nyt aletaan olla samalla jyvällä tämän mieltä askarruttavan kysymyksen suhteen.

Tuon "oloneuvoksen" antaman linkin (http://www.oph.fi/etalukio/opiskelumodulit/pimatem/paavalikko/pmku8/pmku8_2.html) perusteella löysin suht' hyvän mestan liittyen matikkaan ja integrointiin.

Siellä on aika hyvä esimerkki määrätyn integraalin luomisesta funktiolle y=sqrt(x) välillä 1-5, joka määrätyssä muodossa muuttuu muotoon 2/3*5*sqrt(5).

Sen verran olen oppinut. että määrätyn integraalin arvo (peruslause) on erotus F(b)-F(a), joka tietokonekielessä suoritettaisiin sqrt(5)-sgrt(1).

Jostain käsittämättömästä syystä johtuen koko paska muutuu kuitenkin muotoon 2/3*5*sqrt(5)ja jonka antama vastaus on aivan eri planeetalta kuin ensimmäisen.

(Hieman meikäläistä ihmetyttää vielä esimerkissä se, että määrätyn integraalia laadittaessa 5/1 on muuttunut yht'äkkiä muotoon 5/0. Mistä h..stä se nyt tuli ja miksei saman tien 6/1?)

En ollenkaan kritisoi määrätyn funktion "2/3*5*sqrt(5)" oikeellisuutta, mutta se vitunaikainen (merkintä)tapa, jolla tähän päästiin on aivan perseestä. Huomaa hyvin, että matematiikka on säilynyt samana paskana antiikin kreikasta saakka.

En muuten enää yhtään ihmettele miksi eräs FEM-äijä meni aivan juntturaan, kun pyysin sitä laatimaan yhtälön, jolla voidaan ratkaista säde kolmen koordinaattipisteen avulla. Hemmo otti korkeakoulusta oppimansa tekniikan käyttöön ja viikon odottelun jälkeen oli päätynyt ympyrän yhtälöä mistuttavaan hässäkkään, joka sekin oli tietenkin väärin...

Mikäli mennään vielä tuohon Catjan kahteen yhtälöön niin siinä meikäläistä ihmetyttää se, että miten yhtälöiden väliin voidaan laittaa yhtäsuuruusmerkki, jos ne eivät tosiasiassa ole yhtäsuuria. Joko esimerkistä puuttuu jokin oleellinen tieto tai sitten merkintätapa (integroinnissa) ei ole looginen.

Joskus tärkeämpää on tietää mitä tekee ennemmin kuin tekeminen tietämättä miksi.

Onkohan tätä tautia paljonkin liikkeellä?

Jonttu

ehkä ei pitäisi tähän aikaan illasta/yöstä vastata tämäntapaisiin kysymyksiin, varsinkin kun on juonut muutaman oluen..mutta avstataan nyt kuitenkin ;)

Eli, se esimerkki 3, johon viittaat eli integraali sqrt(x):stä.
Katsoin sen tehtävän läpi, ja siinä on virhe... eli EI lasketa pinta-alaa 1-5 vaan nimenomaan 0-5, tämä selviää kyllä siinä missä puhutaan ala- ja yläsummista kun välit piti olla [1,5].

Sitten vielä siihen integraalien merkintätapaan:
sqrt(x), eli neliöjuuri x:stä voidaan kirjoittaa potenssimuotoon: x½ (eli x potenssin 1/2).
Integroinnissa korotetaan integroitavan muuttujan potenssia yhdellä, eli 1/2 1 = 3/2 (desimaaleina 0,5 1 = 1,5). Ja jaetaan integroitu funktio samaisella 3/2.

Eli näin (§=integrointimerkki ja dx osoittaa että integroidaan muuttujalla x, C= määrittelemätön vakio):

§ x^(1/2) dx = x^(3/2) / 3/2 C = 2/3 * x^(3/2) C.

tarkistuslasku (derivointi):

D 2/3*x^(3/2) C = 3/2 * 2/3 * x^(1/2) 0 = x^(1/2) ...eli oikein.

Tämänjälkeen pitää syöttää integraalille arvot 0 ja 5:

[2/3*5^(3/2) C] - [2/3*0^(3/2) C] = 2/3*125^(1/2) C - 2/3*0 - C = 2/3*125^(1/2) ... tai näin: 2/3*sqrt(125)

ja kun luin hieman enemmän sitä integrointisivustoa (siis sitä linkkiä), niin huomasin siellä olevan enemmänkin virheitä... http://www.oph.fi/etalukio/opiskelumodulit/pimatem/paavalikko/pmku8/pmku8_4.html -sivulla on kirjoitusvirheitä niin että riittää kaavoissa.... toivon _todellakin_ ettei näitä sivuja käytetä etälukion suorittamiseen.

vikke kirjoitti:

ehkä ei pitäisi tähän aikaan illasta/yöstä vastata tämäntapaisiin kysymyksiin, varsinkin kun on juonut muutaman oluen..mutta avstataan nyt kuitenkin ;)

Eli, se esimerkki 3, johon viittaat eli integraali sqrt(x):stä.
Katsoin sen tehtävän läpi, ja siinä on virhe... eli EI lasketa pinta-alaa 1-5 vaan nimenomaan 0-5, tämä selviää kyllä siinä missä puhutaan ala- ja yläsummista kun välit piti olla [1,5].

Sitten vielä siihen integraalien merkintätapaan:
sqrt(x), eli neliöjuuri x:stä voidaan kirjoittaa potenssimuotoon: x½ (eli x potenssin 1/2).
Integroinnissa korotetaan integroitavan muuttujan potenssia yhdellä, eli 1/2 1 = 3/2 (desimaaleina 0,5 1 = 1,5). Ja jaetaan integroitu funktio samaisella 3/2.

Eli näin (§=integrointimerkki ja dx osoittaa että integroidaan muuttujalla x, C= määrittelemätön vakio):

§ x^(1/2) dx = x^(3/2) / 3/2 C = 2/3 * x^(3/2) C.

tarkistuslasku (derivointi):

D 2/3*x^(3/2) C = 3/2 * 2/3 * x^(1/2) 0 = x^(1/2) ...eli oikein.

Tämänjälkeen pitää syöttää integraalille arvot 0 ja 5:

[2/3*5^(3/2) C] - [2/3*0^(3/2) C] = 2/3*125^(1/2) C - 2/3*0 - C = 2/3*125^(1/2) ... tai näin: 2/3*sqrt(125)

ja kun luin hieman enemmän sitä integrointisivustoa (siis sitä linkkiä), niin huomasin siellä olevan enemmänkin virheitä... http://www.oph.fi/etalukio/opiskelumodulit/pimatem/paavalikko/pmku8/pmku8_4.html -sivulla on kirjoitusvirheitä niin että riittää kaavoissa.... toivon _todellakin_ ettei näitä sivuja käytetä etälukion suorittamiseen.

...sulla muuten monastikkin tapana pohtia matemaattisia juttuja about kello kolme yöllä?

Näyt muuten osaavan integroinnin, koska tyypillisen epäselvän mongerruksen sijaan sain nyt selkeän vastauksen muutamaan auki olleeseen kysymykseen. Toki itsekkin ounastelin kirjoitusvirhettä (1-5 vs. 0-5), mutta se yhdessä muutaman muun asian kanssa jätti liian monta asiaa arvailujen varaan.

Integroinnin mekaniikka perustuu selvästi kahteen simpeliin perusasiaan.

1. luodaan käyrän kokonaisalaa kuvaava funktio korottamalla integroitavan muuttujan potenssia yhdellä ja jakamalla se vastaavalla luvulla.
Esim: (x^3/2)/(3/2) tai 2/3*x^(3/2)

2. vähennetään funktion loppuarvosta alkuarvoa vastaava pinta-ala f(b)-f(a) (tarpeen mikäli x>0)

Vakion C merkintätapa tarkoituksineen on kaavassa hieman hönö ja sekoittaa varmasti jonkun pään. Kysehän on yksinkertaisesti siitä, että kaava laskee vain käyrän pinta-alan, jolloin vakiosta aiheutuva pinta-ala pitää laskea erikseen mukaan mikäli pinta-ala halutaan saada laskettua esim. nolla-tasosta saakka.


Funktio:
y=sqrt(x) C

Määrättyssä integraalissa C on häipynyt kuin pieru saharaan:
y=2/3*x^(3/2)

...jos ja kun vakiosta tuleva pinta-ala halutaan lisätä aiempaan tulokseen:
y=2/3*x^(3/2) (x*C)

Järkeenkäypää ja simppeliä, kiitokset avusta!

Jonttu