Hei
Tuo kompaktiuden määritelmähän kuuluu:
Joukko on kompakti, mikäli sen jokaisella avoimella peitteellä on äärellinen alipeite.
Jotenkin joukon osoittaminen kompaktiksi tuon avulla tuntuu lähes mahdottomalta. Kompaktilla joukollahan on avoimia peitteitä ääretön määrä. Miten voidaan tietää, että kaikilla niillä on äärellinen alipeite? Voisiko joku antaa esimerkin jonkin joukon kompaktiksi osoittamisesta tämän määritelmän avulla.
Kompaktiuden määritelmän käyttö
minä vain
28
1060
Vastaukset
- Erdös
Tässä on jonkinlainen esimerkki:
http://en.wikipedia.org/wiki/Heine-Borel_theorem
Kompaktiuden todistaminen onnistuu monissa tilanteissa käyttämällä tuon antamasi määritelmän kanssa ekvivalentteja ehtoja. Metristen avaruuksien tapauksessa tällainen ehto on seuraava: Jokaisella kompaktin joukon jonolla on suppeneva osajono. Yleisissä topologisissa avaruuksissa, joiden ei tarvitse olla metristyviä, käytetään kompaktisuuden osoittamiseen äärellisten leikkausten ominaisuutta, joka on edelleen mainitunlainen ekvivalentti ehto. - nkorppi
... on varsin helppo käyttää, aika monessa tilanteessa.
Etenkin sillä (ja muutamalla muulla lemmalla) on helppo osoittaa, että tietty avaruus EI ole kompakti, vaikkapa reaaliluvut R.
Määritelmällä voi yleensä osoittaa kompaktiudenkin. (Tai voit käyttää vaihtoehtoista määritelmää metrisille avaruuksille: jokaisella jonolla on suppeneva osajono.)
Esim. Jos sinulla on äärellinen joukko {x_1,...,x_n}, ja avoin peite U, voit valita avoimen naapuruston U_i jokaiselle x_i. Näin saat äärellisen osapeitteen {U_i}.
Voit myös osoittaa, että X*Y on kompakti jos ja vain jos X ja Y ovat kompakteja.
R^n osajoukoille kompaktit avaruudet ovat täsmälleen ne jotka ovat rajalliset ja suljetut.
Annan sinulle hauskan esimerkin alkuperäisen määritelmän muunnoksesta.
Muunnos: X on kompakti jos kaikki äärelliset intersektiot ovat epätyhjiä.
Harjoitustehtävä: Osoita, että muunnos vastaa alkuperäistä määritelmää.
Filtteri F on kokelma joukon N osajoukkoja joille:
1) tyhjä joukko kuuluu F:ään.
2) Jos A kuuluu F:ään, myös kaikki A:n osajoukot kuuluvat siihen.
3) Jos A,B kuuluvat F:ään, niiden intersektio kuuluu siihen.
Olkoon ultrafiltteri sellainen F, että jokaiselle joukon N osajoukolle A: joko A kuuluu F:ään, tai sen komplementti kuuluu siihen.
Ultrafiltterit ovat maksimaalisia filttereitä ja jokainen filtteri on laajennettavissa ultrafiltteriksi.
Olkoon B kaikkien ultrafilttereiden joukko.
Määrittelemme topologian joukolle B, ottamalla kantajoukoiksi joukot
C_A = {U in B | A in U} kaikille A in N.
Elikä topologiassamme kaikki näiden joukkojen unionit ovat 'avoimia'. Voit tarkistaa, että tämä on oikeasti topologia.
Nyt osoitamme, että B on kompakti.
WLOG, voimme olettaa, että kukin joukko äärellisessä intersektiossa on kantajoukko (Miksi?).
Huomaa, että C_A1 (inters.) C_A2 = C_(A1(inters.)A2).
Siispä mikä tahansa joukkojen Ai äärellinen intersektio on epätyhjä.
Määrittelemme filtterin
F = {A in N | (Ai_1 (int.)...(int.)Ai_n) in A joillekin i_1,...,i_n}
Laajennamme filtterin F joksikin ultrafiltteriksi U.
Nyt Ai in U jokaiselle i. Siispä U in C_Ai jokaiselle i. Elikä U on intersektiossa.- nkorppi
Kompaktiuden määritelmän muunnos:
Suljettujen osajoukkojen äärelliset intersektiot ovat epätyhjiä.
Tuo 'suljetut' jäi vahingossa pois.
Huomaa, että B:n suljetut osajoukot ovat nimenomaan muotoa (inters.) C_Ai, (sillä B\C_A = C_(A^c), missä A^c on A:n komplementti). - aloittaja
nkorppi kirjoitti:
Kompaktiuden määritelmän muunnos:
Suljettujen osajoukkojen äärelliset intersektiot ovat epätyhjiä.
Tuo 'suljetut' jäi vahingossa pois.
Huomaa, että B:n suljetut osajoukot ovat nimenomaan muotoa (inters.) C_Ai, (sillä B\C_A = C_(A^c), missä A^c on A:n komplementti).Kiitos selvennyksestä. Tuo loppuviestisi meni vähän yli hilseen, joten täytyy tutkailla sitä ajan kanssa.
- nkorppi
aloittaja kirjoitti:
Kiitos selvennyksestä. Tuo loppuviestisi meni vähän yli hilseen, joten täytyy tutkailla sitä ajan kanssa.
Se mitä kirjoitin, oli osiosta 2.2 näissä Ramsey-teorian muistiinpanoissa: http://www.dpmms.cam.ac.uk/~par31/notes/ramsey.pdf
Mainitsin sen siksi, että on hyvä huomata että vaikkapa luonnollisten lukujen osajoukkojen joukkojen joukko B voi olla 'topologinen avaruus'. Eli siis joukkojen joukkojen joukko. :)
Eli kompaktius on varsin laaja ja abstrakti määritelmä.
Suosittelen tulostamaan nuo sivut ja lukemaan rauhallisella tahdilla. - tietämätöntopolog
"Voit myös osoittaa, että X*Y on kompakti jos ja vain jos X ja Y ovat kompakteja. "
Miten tuo osoitetaan? Liitos (vai mikä lie suomeksi, englanniksi join) kyllä tuli vastaan homotopiateoriassa, mutta tuota tulosta en muista. - nkorppi
tietämätöntopolog kirjoitti:
"Voit myös osoittaa, että X*Y on kompakti jos ja vain jos X ja Y ovat kompakteja. "
Miten tuo osoitetaan? Liitos (vai mikä lie suomeksi, englanniksi join) kyllä tuli vastaan homotopiateoriassa, mutta tuota tulosta en muista.X*Y merkinnällä tarkoitan ihan vain joukkojen karteesituloa.
Todistus löytyy tiedoston metric3.pdf sivulta 4 tässä paketissa:
http://people.pwf.cam.ac.uk/nk283/topology.zip
Voin suomentaa idean tähän:
Teoreema: X*Y on kompakti iff X,Y ovat kompakteja.
Yhteen suuntaan implikaatio on helppo: Oleta, että X*Y on kompakti. Projektiot f:X*Y-->X ja g:X*Y-->Y ovat jatkuvia (todista!). Mutta kompaktin avaruuden jatkuva kuva on kompakti.
(Vaihtoehtoisesti ota X:n peite {U_x} ja Y:n peite {V_y} ja käytä kompaktiutta X*Y:n peitteeseen {U_x*V_y} . )
Siispä varsinainen työ on toiseen suuntaan. Olkoon X ja Y kompakteja, ja {U_i} avoin peite X*Y:lle.
Fiksaa jokin x in X. Huomaa, että {x}*Y on homeomorfinen Y:n kanssa, joten se on kompakti.
Jokaiselle y in Y, piste (x,y) kuuluu johonkin U_i. Tulotopologian määritelmästä seuraa, että U_i sisältää jonkin joukon B_y*C_y, missä x in B_y ja y in C_y (ja B_y, C_y ovat avoimia).
{B_y*C_y} on avoin peite joukolle {x}*Y. Kompaktiudesta seuraa, että on olemassa äärellinen alipeite. Määrittelemme A_x olemaan näin saatujen (äärellisen monen) B_y:n intersektio.
Huomaa, että A_x*Y voidaan siis peittää äärellisen monella A_x*C_y, ja jokainen näistä on jonkin U_i:n osajoukko.
Siispä jokaiselle pisteelle x in X saamme:
*) On olemassa sellainen avoin naapurusto A_x, että äärellinen määrä joukkoja U_i peittää suikaleen A_x*Y.
Huomaa, että {A_x} on X:n avoin peite. Kompaktius antaa äärellisen alipeitteen.
Siispä X*Y voidaan peittää äärellisen monella suikaleella A_x*Y, jotka vuorostaan voidaan peittää äärellisen monella joukolla U_i.
Näin saadaan äärellinen alipeite joukolle X*Y, ja olemme valmiita. QED - tietämätöntopolog
nkorppi kirjoitti:
X*Y merkinnällä tarkoitan ihan vain joukkojen karteesituloa.
Todistus löytyy tiedoston metric3.pdf sivulta 4 tässä paketissa:
http://people.pwf.cam.ac.uk/nk283/topology.zip
Voin suomentaa idean tähän:
Teoreema: X*Y on kompakti iff X,Y ovat kompakteja.
Yhteen suuntaan implikaatio on helppo: Oleta, että X*Y on kompakti. Projektiot f:X*Y-->X ja g:X*Y-->Y ovat jatkuvia (todista!). Mutta kompaktin avaruuden jatkuva kuva on kompakti.
(Vaihtoehtoisesti ota X:n peite {U_x} ja Y:n peite {V_y} ja käytä kompaktiutta X*Y:n peitteeseen {U_x*V_y} . )
Siispä varsinainen työ on toiseen suuntaan. Olkoon X ja Y kompakteja, ja {U_i} avoin peite X*Y:lle.
Fiksaa jokin x in X. Huomaa, että {x}*Y on homeomorfinen Y:n kanssa, joten se on kompakti.
Jokaiselle y in Y, piste (x,y) kuuluu johonkin U_i. Tulotopologian määritelmästä seuraa, että U_i sisältää jonkin joukon B_y*C_y, missä x in B_y ja y in C_y (ja B_y, C_y ovat avoimia).
{B_y*C_y} on avoin peite joukolle {x}*Y. Kompaktiudesta seuraa, että on olemassa äärellinen alipeite. Määrittelemme A_x olemaan näin saatujen (äärellisen monen) B_y:n intersektio.
Huomaa, että A_x*Y voidaan siis peittää äärellisen monella A_x*C_y, ja jokainen näistä on jonkin U_i:n osajoukko.
Siispä jokaiselle pisteelle x in X saamme:
*) On olemassa sellainen avoin naapurusto A_x, että äärellinen määrä joukkoja U_i peittää suikaleen A_x*Y.
Huomaa, että {A_x} on X:n avoin peite. Kompaktius antaa äärellisen alipeitteen.
Siispä X*Y voidaan peittää äärellisen monella suikaleella A_x*Y, jotka vuorostaan voidaan peittää äärellisen monella joukolla U_i.
Näin saadaan äärellinen alipeite joukolle X*Y, ja olemme valmiita. QEDMonikaan ei ymmärrä, jos käytät karteesisen tulon merkkinä *:ää. Käytä mieluummin x:ää, joka on aika vakiintunut ASCII-tekstien karteesiseksi tuloksi. Lisäksi iff=joss suomeksi ja neighbourhood=ympäristö, ei naapurusto. Esimerkiksi kertomasi lause on minulle tuttu, mutta merkinnöistä ajattelin, että tarkoitat liitosta.
- nkorppi
tietämätöntopolog kirjoitti:
Monikaan ei ymmärrä, jos käytät karteesisen tulon merkkinä *:ää. Käytä mieluummin x:ää, joka on aika vakiintunut ASCII-tekstien karteesiseksi tuloksi. Lisäksi iff=joss suomeksi ja neighbourhood=ympäristö, ei naapurusto. Esimerkiksi kertomasi lause on minulle tuttu, mutta merkinnöistä ajattelin, että tarkoitat liitosta.
... että tiesit varsin hyvin, etten tarkoittanut liitosta, mutta halusit piruilla leikkimällä tyhmää.
- nkorppi
tietämätöntopolog kirjoitti:
Monikaan ei ymmärrä, jos käytät karteesisen tulon merkkinä *:ää. Käytä mieluummin x:ää, joka on aika vakiintunut ASCII-tekstien karteesiseksi tuloksi. Lisäksi iff=joss suomeksi ja neighbourhood=ympäristö, ei naapurusto. Esimerkiksi kertomasi lause on minulle tuttu, mutta merkinnöistä ajattelin, että tarkoitat liitosta.
... kirjoitan kaiken vähänkään pidemmälle menevän materiaalin englanniksi.
Minulla ei ole aikaa opiskella jotakin suomi-enkku-matematiikka-sanakirjaa, ja suomennosyritykset johtavat summittaiseen vittuiluun.
En IKINÄ tule kirjoittamaan joss -- se näyttää idioottimaiselta. - tietämätöntopolog
nkorppi kirjoitti:
... kirjoitan kaiken vähänkään pidemmälle menevän materiaalin englanniksi.
Minulla ei ole aikaa opiskella jotakin suomi-enkku-matematiikka-sanakirjaa, ja suomennosyritykset johtavat summittaiseen vittuiluun.
En IKINÄ tule kirjoittamaan joss -- se näyttää idioottimaiselta."... kirjoitan kaiken vähänkään pidemmälle menevän materiaalin englanniksi. "
Minäkin kirjoitan julkaisuni englanniksi. Suomenkielisillä palstoilla kirjoitan suomeksi, sillä lukija ei välttämättä hallitse sanastoa englanniksi.
"Minulla ei ole aikaa opiskella jotakin suomi-enkku-matematiikka-sanakirjaa, ja suomennosyritykset johtavat summittaiseen vittuiluun. "
Pilailetko? Sinulla ei ole aikaa opetella termejä suomeksi, mutta on aikaa vastata palstalla lähes jokaiseen kysymykseen. Ei niihin termien opetteluun mene kuin hetki. Olet lahjakan opiskelija, joten eikö kannattaisi keskittyä haastavampiin matikan ongelmiin?
"En IKINÄ tule kirjoittamaan joss -- se näyttää idioottimaiselta."
Ei kukaan pakota. Voithan kirjoittaa myös jos ja vain jos. Minusta joss ei näytä idioottimaiselta, mutta taidatkin olla nirsompi kuin minä. - nkorppi
tietämätöntopolog kirjoitti:
"... kirjoitan kaiken vähänkään pidemmälle menevän materiaalin englanniksi. "
Minäkin kirjoitan julkaisuni englanniksi. Suomenkielisillä palstoilla kirjoitan suomeksi, sillä lukija ei välttämättä hallitse sanastoa englanniksi.
"Minulla ei ole aikaa opiskella jotakin suomi-enkku-matematiikka-sanakirjaa, ja suomennosyritykset johtavat summittaiseen vittuiluun. "
Pilailetko? Sinulla ei ole aikaa opetella termejä suomeksi, mutta on aikaa vastata palstalla lähes jokaiseen kysymykseen. Ei niihin termien opetteluun mene kuin hetki. Olet lahjakan opiskelija, joten eikö kannattaisi keskittyä haastavampiin matikan ongelmiin?
"En IKINÄ tule kirjoittamaan joss -- se näyttää idioottimaiselta."
Ei kukaan pakota. Voithan kirjoittaa myös jos ja vain jos. Minusta joss ei näytä idioottimaiselta, mutta taidatkin olla nirsompi kuin minä.... on varmasti kirjoittaa palstalle viestejä, kuin lukea niitä pelkässä kyttäysmielessä. Se vasta ajanhukkaa onkin.
Tai paremmin sanottuna: Niillä sitä vasta aikaa riittääkin, joilla on päähuolenaiheenaan toisten ihmisten ajankäyttö. :)
Mutta jos sinua oikeasti kiinnostaa minun suomentermistön hallintani, voinet luetella tässä ja nyt kaikki ne termit mitkä opin 'hetkessä'. Niiden luetteleminen käy kai myös 'hetkessä'.
Sitten ei tule enää 'väärinkäsityksiä tietämättömältätopologilta'. - Erdös
nkorppi kirjoitti:
X*Y merkinnällä tarkoitan ihan vain joukkojen karteesituloa.
Todistus löytyy tiedoston metric3.pdf sivulta 4 tässä paketissa:
http://people.pwf.cam.ac.uk/nk283/topology.zip
Voin suomentaa idean tähän:
Teoreema: X*Y on kompakti iff X,Y ovat kompakteja.
Yhteen suuntaan implikaatio on helppo: Oleta, että X*Y on kompakti. Projektiot f:X*Y-->X ja g:X*Y-->Y ovat jatkuvia (todista!). Mutta kompaktin avaruuden jatkuva kuva on kompakti.
(Vaihtoehtoisesti ota X:n peite {U_x} ja Y:n peite {V_y} ja käytä kompaktiutta X*Y:n peitteeseen {U_x*V_y} . )
Siispä varsinainen työ on toiseen suuntaan. Olkoon X ja Y kompakteja, ja {U_i} avoin peite X*Y:lle.
Fiksaa jokin x in X. Huomaa, että {x}*Y on homeomorfinen Y:n kanssa, joten se on kompakti.
Jokaiselle y in Y, piste (x,y) kuuluu johonkin U_i. Tulotopologian määritelmästä seuraa, että U_i sisältää jonkin joukon B_y*C_y, missä x in B_y ja y in C_y (ja B_y, C_y ovat avoimia).
{B_y*C_y} on avoin peite joukolle {x}*Y. Kompaktiudesta seuraa, että on olemassa äärellinen alipeite. Määrittelemme A_x olemaan näin saatujen (äärellisen monen) B_y:n intersektio.
Huomaa, että A_x*Y voidaan siis peittää äärellisen monella A_x*C_y, ja jokainen näistä on jonkin U_i:n osajoukko.
Siispä jokaiselle pisteelle x in X saamme:
*) On olemassa sellainen avoin naapurusto A_x, että äärellinen määrä joukkoja U_i peittää suikaleen A_x*Y.
Huomaa, että {A_x} on X:n avoin peite. Kompaktius antaa äärellisen alipeitteen.
Siispä X*Y voidaan peittää äärellisen monella suikaleella A_x*Y, jotka vuorostaan voidaan peittää äärellisen monella joukolla U_i.
Näin saadaan äärellinen alipeite joukolle X*Y, ja olemme valmiita. QEDOikein tuo nkorpin todistus menee, mutta sen voisi esittää lyhyemminkin, jolloin mielestäni luettavuus paranee. Sitten nkorppi: Voisit jatkossa täsmentää mistä käyttämissäsi linkkeissä tarvittava todistus löytyy. Esimerkiksi niistä topologian prujuistasi en löytänyt sisällysluetteloa, jolloin etsiminen on työläämpää; Heinen-Borelin lause löytyi muistaakseni vasta "kolmannesta" tiedostosta.
Olkoon T = X x Y kompaktien joukkojen X ja Y karteesinen tulo. Toisaalta, koska Y on kompakti, voidaan peitteestä U valita jokaiselle T:n muotoa {x} x Y olevalle osajoukolle äärellinen peite, jota merkitään Ux. Koska X on kompakti, voidaan joukon X x Y peite muodostaa äärellisen monen peitteen Ux avulla.
Huomautus. nkorpin mainitsemia filttereitä ja paria muuta tulosta käyttämällä voidaan lyhyesti todistaa Tikhonovin lause, jonka mukaan mielivaltainen karteesinen tulo kompakteista topologisista avaruuksista on kompakti. Tämä todistus löytyy Dudleyn kirjasta Real Analysis and Probability. - nkorppi
Erdös kirjoitti:
Oikein tuo nkorpin todistus menee, mutta sen voisi esittää lyhyemminkin, jolloin mielestäni luettavuus paranee. Sitten nkorppi: Voisit jatkossa täsmentää mistä käyttämissäsi linkkeissä tarvittava todistus löytyy. Esimerkiksi niistä topologian prujuistasi en löytänyt sisällysluetteloa, jolloin etsiminen on työläämpää; Heinen-Borelin lause löytyi muistaakseni vasta "kolmannesta" tiedostosta.
Olkoon T = X x Y kompaktien joukkojen X ja Y karteesinen tulo. Toisaalta, koska Y on kompakti, voidaan peitteestä U valita jokaiselle T:n muotoa {x} x Y olevalle osajoukolle äärellinen peite, jota merkitään Ux. Koska X on kompakti, voidaan joukon X x Y peite muodostaa äärellisen monen peitteen Ux avulla.
Huomautus. nkorpin mainitsemia filttereitä ja paria muuta tulosta käyttämällä voidaan lyhyesti todistaa Tikhonovin lause, jonka mukaan mielivaltainen karteesinen tulo kompakteista topologisista avaruuksista on kompakti. Tämä todistus löytyy Dudleyn kirjasta Real Analysis and Probability.Mielestäni tuo todistuksen lyhennelmäsi kylläkin hyppää aika dramaattisen askeleen tokan ja kolmannen virkkeen välillä! Jos en olisi ennen lukenut todistusta, tuo kohta kyllä pistäisi miettimään yksityiskohtia siihen väliin.
- tietämätön topologi
nkorppi kirjoitti:
... on varmasti kirjoittaa palstalle viestejä, kuin lukea niitä pelkässä kyttäysmielessä. Se vasta ajanhukkaa onkin.
Tai paremmin sanottuna: Niillä sitä vasta aikaa riittääkin, joilla on päähuolenaiheenaan toisten ihmisten ajankäyttö. :)
Mutta jos sinua oikeasti kiinnostaa minun suomentermistön hallintani, voinet luetella tässä ja nyt kaikki ne termit mitkä opin 'hetkessä'. Niiden luetteleminen käy kai myös 'hetkessä'.
Sitten ei tule enää 'väärinkäsityksiä tietämättömältätopologilta'.iff on suomeksi joss tai jos ja vain jos
intersektio on suomeksi leikkaus
naapurusto viittaa ilmeisesti topologian termiin neighbo(u)rhood, eli se suomennetaan topologiassa ympäristöksi, ja se voidaan lyhentää myös muotoon ystö. - Erdös
nkorppi kirjoitti:
Mielestäni tuo todistuksen lyhennelmäsi kylläkin hyppää aika dramaattisen askeleen tokan ja kolmannen virkkeen välillä! Jos en olisi ennen lukenut todistusta, tuo kohta kyllä pistäisi miettimään yksityiskohtia siihen väliin.
Siis tarkoitukseni ei ollut väittää, että todistuksesi oli puutteellinen tai että omani, joka ei sisällä kaikkia yksityiskohtia, on _välttämättä_ parempi. Älä siis ota itseesi.
Esimerkiksi kohta "Toisaalta, koska Y on kompakti, voidaan peitteestä U valita jokaiselle T:n muotoa {x} x Y olevalle osajoukolle äärellinen peite, jota merkitään Ux." on mielestäni helppo monelle lukijalle:
muodostetaan kokoelma W peitteen U kaikista niistä joukoista, joihin {x} x Y sisältyy. W:stä voidaan nyt valita Y:n kompaktiuden nojalla äärellisen monta joukkoa joiden toisten komponenttien unioni sisältää Y:n. Nämä valitut W:n joukot peittävät joukon
{x} x Y. Periaatteessa tiivistelmän viimeinen argumentti on melkein samanlainen kuin äskeinen. - nkorppi
Erdös kirjoitti:
Siis tarkoitukseni ei ollut väittää, että todistuksesi oli puutteellinen tai että omani, joka ei sisällä kaikkia yksityiskohtia, on _välttämättä_ parempi. Älä siis ota itseesi.
Esimerkiksi kohta "Toisaalta, koska Y on kompakti, voidaan peitteestä U valita jokaiselle T:n muotoa {x} x Y olevalle osajoukolle äärellinen peite, jota merkitään Ux." on mielestäni helppo monelle lukijalle:
muodostetaan kokoelma W peitteen U kaikista niistä joukoista, joihin {x} x Y sisältyy. W:stä voidaan nyt valita Y:n kompaktiuden nojalla äärellisen monta joukkoa joiden toisten komponenttien unioni sisältää Y:n. Nämä valitut W:n joukot peittävät joukon
{x} x Y. Periaatteessa tiivistelmän viimeinen argumentti on melkein samanlainen kuin äskeinen.... itseeni, vaan tarkoitukseni oli sanoa, että nähdäkseni todistuksen avainkohta (eli varsinainen työ) on argumentti jolla muodostetaan se X:n alipeite, jonka avulla X:n kompaktiuteen vedotaan:
"Kustakin äärellisestä alipeitteestä Ux saadaan x:lle avoin ympäristö ottamalla intersektio -- tämä antaa avoimen peitteen X:lle."
Itse laittaisin tuon virkkeen väliin, jolloin koossa olisi ihan kelpo lyhennelmä. - nkorppi
tietämätön topologi kirjoitti:
iff on suomeksi joss tai jos ja vain jos
intersektio on suomeksi leikkaus
naapurusto viittaa ilmeisesti topologian termiin neighbo(u)rhood, eli se suomennetaan topologiassa ympäristöksi, ja se voidaan lyhentää myös muotoon ystö.... korjata ne mitä tässä tuli jo esiin, mutta ei ei ei. Eihän tämä riitä mihinkään. Sinun pitäisi luetella nyt saman tien myös kaikki ne 'hetkessä' opeteltavat termit, mitä saatan käyttää väärin tulevaisuudessa. :)
- Erdös
nkorppi kirjoitti:
... itseeni, vaan tarkoitukseni oli sanoa, että nähdäkseni todistuksen avainkohta (eli varsinainen työ) on argumentti jolla muodostetaan se X:n alipeite, jonka avulla X:n kompaktiuteen vedotaan:
"Kustakin äärellisestä alipeitteestä Ux saadaan x:lle avoin ympäristö ottamalla intersektio -- tämä antaa avoimen peitteen X:lle."
Itse laittaisin tuon virkkeen väliin, jolloin koossa olisi ihan kelpo lyhennelmä.Voi asian toki noinkin muotoilla.
- jukepuke
Kompaktiuden määritelmällä voi olla joskus hankalahkoa todistaa. R^n:ssä joukko on kompakti täsmälleen silloin, kun se on suljettu ja rajoitettu. Esim. metrisessä avaruudessa M tuo menee vain toiseen suuntaan, eli kompakti on suljettu ja rajoitettu, mutta suljettu ja rajoitettu ei välttämättä ole kompakti.
Joissakin tilanteissa on näppärä käyttää jonokompaktiutta, mikä on ekvivalentti peitekompaktiuden kanssa.
Mutta jos pelkällä määritelmällä pitäisi todistaa, niin todistetaan esimerkin vuoksi R:n suljettu väli [a,b] kompaktiksi. (todistus suurpiirteinen)
Tod. Antiteesi: [a,b] ei ole kompakti.
=> Löytyy ääretön avoi peite, jolla ei ole äärellistä osapeitettä.
Peitetään vasen alkupiste sellaisella tämän peitekokoelman avoimella joukolla, joka sisältää välin [a,r_1[, missä r_1 on suurin mahdollinen. Tämän jälkeen r_1 peitetään sellaisella kokoelman avoimella joukolla, joka sisältää välin [r_1,r_2[, missä r_2 on suurin mahdollinen.
Näin jatketaan ja väitetään, että äärellinen määrä n riittää, eli viimeinen väli [r_n-1,r_n[ on sellainen, missä r_n > b. (Ei haittaa, vaikka tavallaan lisättäisiin sama joukko uudelleen)
Jono (r_j) on aidosti kasvava, joten jos äärellinen määrä ei riittäisi, se suppenee jotain c:tä kohti c ≤ b. Otetaan nyt mikä tahansa avoin joukko kokoelmasta, joka sisältää b:n. Koska se on avoin, löytyy b:n ympäristö ]b-q,b q[, joka sisältyy valittuun joukkoon. Edelleen, koska r_j -> b, niin löydetään sellainen N, että [r_N,r_N 1[ sisältyy joukkoon ]b-q,b q[. Tästä saatiin ristiriita, sillä b q > r_N 1. Siispä väite seuraa.
Virheitä saa ja pitää metsästää, jos niitä tuosta löytyy! :)- jukepuke
≤ piti olla 'pienempi tai yhtäsuuri'-merkki ≤
- Erdös
Minusta tuo todistus vähän ontuu. Esimerkiksi alkiota r_1 ei aina ole olemassa, koska äärettömällä rajoitetulla reaalilukujoukolla ei aina ole maksimia.
Usein tämä Heinen-Borelin lause todistetaan osoittamalla, että
y = sup { x \in [a,b] : välin [a,x] äärellinen osapeite saadaan annetusta [a,b]:n avoimesta peitteestä } = b. - aloittaja
Muutamia kysymyksiä tuosta todistuksesta:
"Peitetään vasen alkupiste sellaisella tämän peitekokoelman avoimella joukolla, joka sisältää välin [a,r_1[, missä r_1 on suurin mahdollinen."
Mitä tarkoitat "suurimmalla mahdollisella"?
"Jono (r_j) on aidosti kasvava, joten jos äärellinen määrä ei riittäisi, se suppenee jotain c:tä kohti c ≤ b." , ja kohta sanot "Edelleen, koska r_j -> b, niin..."
Ensin sanot, että (r_j)--->b leq c ja sitten, että (r_j)---> c??
"...koska r_j -> b, niin löydetään sellainen N, että [r_N,r_N 1[ sisältyy joukkoon ]b-q,b q[. Tästä saatiin ristiriita, sillä b q > r_N 1."
Missä tässä on ristiriita? Ja vaikka olisikin ristiriita, tulisi vain todistetuksi, että tällä tavalla konstruoidulla peitteellä on oltava äärellinen alipeite. Kuitenkin jollakin muunlaisella avoimella peitteellä voisi päteä, että sillä ei ole äärellistä alipeitettä? Vai voisiko?
Anteeksi, jos kysymykset olivat yksinkertaisia, mutta haluaisin tajuta tämän. - aloittaja
Muutamia kysymyksiä tuosta todistuksesta:
"Peitetään vasen alkupiste sellaisella tämän peitekokoelman avoimella joukolla, joka sisältää välin [a,r_1[, missä r_1 on suurin mahdollinen."
Mitä tarkoitat "suurimmalla mahdollisella"?
"Jono (r_j) on aidosti kasvava, joten jos äärellinen määrä ei riittäisi, se suppenee jotain c:tä kohti c ≤ b." , ja kohta sanot "Edelleen, koska r_j -> b, niin..."
Ensin sanot, että (r_j)--->b leq c ja sitten, että (r_j)---> c??
"...koska r_j -> b, niin löydetään sellainen N, että [r_N,r_N 1[ sisältyy joukkoon ]b-q,b q[. Tästä saatiin ristiriita, sillä b q > r_N 1."
Missä tässä on ristiriita? Ja vaikka olisikin ristiriita, tulisi vain todistetuksi, että tällä tavalla konstruoidulla peitteellä on oltava äärellinen alipeite. Kuitenkin jollakin muunlaisella avoimella peitteellä voisi päteä, että sillä ei ole äärellistä alipeitettä? Vai voisiko?
Anteeksi, jos kysymykset olivat yksinkertaisia, mutta haluaisin tajuta tämän. - jukepuke
Erdös kirjoitti:
Minusta tuo todistus vähän ontuu. Esimerkiksi alkiota r_1 ei aina ole olemassa, koska äärettömällä rajoitetulla reaalilukujoukolla ei aina ole maksimia.
Usein tämä Heinen-Borelin lause todistetaan osoittamalla, että
y = sup { x \in [a,b] : välin [a,x] äärellinen osapeite saadaan annetusta [a,b]:n avoimesta peitteestä } = b.Ei tosiaan olekaan. Huomasin sen itsekin. Mutta se ei lienee ongelma, kun muutetaan tätä niin, että asetetaan supremum r_1:ksi ja ylipäätään aina r_m:ksi joka askeleessa.
Todistuksen jatko ei muutu, sillä ristiriita tulee nyt siitä, että supremum ei olekaan tullut valituksi jossain vaiheessa.
Lopuksi sitten joudutaan vielä valitsemaan joukot, joissa supremum ei kuulu kokoelmaan. Lähdetään liikkeelle ylhäältä päin. Eli kun r_m on peitetty, menee tämä peite hieman sen alapuolelle. Nyt koska r_m on supremum luvuista, löytyy sellainen peite, joka peittää r_m-1 ja menee sopivasti lomittain r_m:n peittävän peitteen kanssa, ettei "reikiä" jää. Tällä menetelmällä homman pitäisi onnistua ja äärellisen alipeitteen löytyä.
Pahoittelen huonoa ilmaisua. Ei ole nyt oikein aikaa panostaa, mutta kun leikkiin lähdin, niin yritän sen loppuun viedä edes jotenkin. - jukepuke
aloittaja kirjoitti:
Muutamia kysymyksiä tuosta todistuksesta:
"Peitetään vasen alkupiste sellaisella tämän peitekokoelman avoimella joukolla, joka sisältää välin [a,r_1[, missä r_1 on suurin mahdollinen."
Mitä tarkoitat "suurimmalla mahdollisella"?
"Jono (r_j) on aidosti kasvava, joten jos äärellinen määrä ei riittäisi, se suppenee jotain c:tä kohti c ≤ b." , ja kohta sanot "Edelleen, koska r_j -> b, niin..."
Ensin sanot, että (r_j)--->b leq c ja sitten, että (r_j)---> c??
"...koska r_j -> b, niin löydetään sellainen N, että [r_N,r_N 1[ sisältyy joukkoon ]b-q,b q[. Tästä saatiin ristiriita, sillä b q > r_N 1."
Missä tässä on ristiriita? Ja vaikka olisikin ristiriita, tulisi vain todistetuksi, että tällä tavalla konstruoidulla peitteellä on oltava äärellinen alipeite. Kuitenkin jollakin muunlaisella avoimella peitteellä voisi päteä, että sillä ei ole äärellistä alipeitettä? Vai voisiko?
Anteeksi, jos kysymykset olivat yksinkertaisia, mutta haluaisin tajuta tämän.>Mitä tarkoitat "suurimmalla mahdollisella"?
Katso vastaukseni Erdösin viestiin. Pitää muuttaa, että otetaankin supremum. Loppukin "vähän" muuttuu.
>Ensin sanot, että (r_j)--->b leq c ja sitten, että
>(r_j)---> c??
Joo. Pahoittelut painovirheestä. Eli c:tä kohti suppenee.
>Missä tässä on ristiriita? Ja vaikka olisikin
>ristiriita, tulisi vain todistetuksi, että tällä
>tavalla konstruoidulla peitteellä on oltava
>äärellinen alipeite.
No ristiriita tulee siitä, että ei ollakaan aiemmin valittu sitä suurinta mahdollista väliä, eli "korjatussa versiossa" supremumia.
Todistus on antiteesi, eli väitetään päinvastaisesti, että väli [a,b] ei ole kompakti. Tällöin on olemassa sellainen ääretön peite, jolla ei ole äärellistä osapeitettä, joka peittäisi välin [a,b]. Kuitenkin tällainen vastoin antiteesia löydetään, mikä on ristiriita ja alkuperäinen väite tosi.
Toivottavasti edes vähän selveni. Huomenna ehkä paremmalla ajalla ehdin paremmin selittämään, jos tarvetta vielä on. :) - Erdös
aloittaja kirjoitti:
Muutamia kysymyksiä tuosta todistuksesta:
"Peitetään vasen alkupiste sellaisella tämän peitekokoelman avoimella joukolla, joka sisältää välin [a,r_1[, missä r_1 on suurin mahdollinen."
Mitä tarkoitat "suurimmalla mahdollisella"?
"Jono (r_j) on aidosti kasvava, joten jos äärellinen määrä ei riittäisi, se suppenee jotain c:tä kohti c ≤ b." , ja kohta sanot "Edelleen, koska r_j -> b, niin..."
Ensin sanot, että (r_j)--->b leq c ja sitten, että (r_j)---> c??
"...koska r_j -> b, niin löydetään sellainen N, että [r_N,r_N 1[ sisältyy joukkoon ]b-q,b q[. Tästä saatiin ristiriita, sillä b q > r_N 1."
Missä tässä on ristiriita? Ja vaikka olisikin ristiriita, tulisi vain todistetuksi, että tällä tavalla konstruoidulla peitteellä on oltava äärellinen alipeite. Kuitenkin jollakin muunlaisella avoimella peitteellä voisi päteä, että sillä ei ole äärellistä alipeitettä? Vai voisiko?
Anteeksi, jos kysymykset olivat yksinkertaisia, mutta haluaisin tajuta tämän.Heinen-Borelin lause: Suljettu ja rajoitettu väli [a,b] on kompakti.
Todistus. Olkoon U välin [a,b] avoin peite ja
olkoon H joukko niistä välin [a,b] pisteistä x, joilla [a,x] voidaan peittää äärellisen monella peitteen U avoimella joukolla. Koska a kuuluu johonkin peitteen U avoimeen joukkoon V, niin jollekin h>a väli [a,h] sisältyy joukkoon H. Jos H ei ole [a,b], niin olkoon y = inf([a,b]\H). Tällöin y kuuluu johonkin peitteen U avoimeen joukkoon V', joten jollakin c>0 väli [y-c,y] sisältyy joukkoon V' ja siis y-c kuuluu joukkoon H. Näin ollen saadaan välille [a,y] äärellinen peite välin [a,y-c] äärellisestä peitteestä ja joukosta V'. Jos y = b, niin todistus on valmis, muuten jollakin d>0 väli [y,y d] sisältyy joukkoon V' eli [a,y d] sisältyy joukkoon H, mikä on ristiriidassa y:n valinnan kanssa. - nkorppi
aloittaja kirjoitti:
Muutamia kysymyksiä tuosta todistuksesta:
"Peitetään vasen alkupiste sellaisella tämän peitekokoelman avoimella joukolla, joka sisältää välin [a,r_1[, missä r_1 on suurin mahdollinen."
Mitä tarkoitat "suurimmalla mahdollisella"?
"Jono (r_j) on aidosti kasvava, joten jos äärellinen määrä ei riittäisi, se suppenee jotain c:tä kohti c ≤ b." , ja kohta sanot "Edelleen, koska r_j -> b, niin..."
Ensin sanot, että (r_j)--->b leq c ja sitten, että (r_j)---> c??
"...koska r_j -> b, niin löydetään sellainen N, että [r_N,r_N 1[ sisältyy joukkoon ]b-q,b q[. Tästä saatiin ristiriita, sillä b q > r_N 1."
Missä tässä on ristiriita? Ja vaikka olisikin ristiriita, tulisi vain todistetuksi, että tällä tavalla konstruoidulla peitteellä on oltava äärellinen alipeite. Kuitenkin jollakin muunlaisella avoimella peitteellä voisi päteä, että sillä ei ole äärellistä alipeitettä? Vai voisiko?
Anteeksi, jos kysymykset olivat yksinkertaisia, mutta haluaisin tajuta tämän.... selkeät luentomuistiinpanot, missä kaikki aiheeseen liittyvät todistukset ovat hyvin luettavissa.
http://people.pwf.cam.ac.uk/nk283/topology.zip
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Olet toisen kanssa
...ja minä yhä vain sinua kaipaan. Tiedän ettet ole onnellinen siellä. Älä hukkaa aitoa onnea ja rakkautta hukkaan vain2241576- 301426
Kuka teistä on paras nainen
A-nainen? J-nainen? K-nainen? M-nainen? S-nainen? Vai kenties joku muu...? 😊611279Immu otti pataan
Olen pettynyt, hänen piti viedä Stagalaa kuin litran mittaa - mutta kuinka kävikään? Voi hemmetti sentään.... Ääääääh!731270- 781204
Osaako joku selittää tätä
Että miksi mulle on joka toinen ventovieras ihminen tyly ainakin ilmeillään ja eleillään?761189Jos me joskus nähtäisiin
niin ei kai sen vielä tarvitsisi merkitä sen enempää? Ja voihan olla ettei kumpikaan enää siinä vaiheessa edes haluaisi1031173- 541008
Lesken uusi
Onko totta että puolangan kunnalla töissä ollut mies joka kuoli niin sen vaimolla jo uusi lohduttaja. Pitäneekö paikkans18992Persun suusta:"Köyhät on luusereita ja ansaitsevat köyhyyden"
Ministeri Juuston apulainen näin uhoaa. Mitäs siinä. Kyllä on jo tiedetty muutaman vuoden hallitustyön pohjalta että per179883