Olkoon (R, ,*) rengas ja S joukon R ei-tyhjä osajoukko. Silloin (S, ,*) on (R, ,*):n alirengas, joss S on sulkeutuva vähennyslaskun ja kertolaskun suhteen.
Kysymyksiä:
Onko siinä siksi vähennyslasku, jotta samalla määräytyisi, että jokaisella alkiolla joukossa S on käänteisalkio yhteenlaskun suhteen?
Miten tämä alirengaskriteeri todistetaan?
Itse ajattelisin, että muut ovat sitten selviä, jos kerta jokaisella on käänteisalkio yhteenlaskun suhteen. Mutta pitää todistaa osittelulakien voimassa olo.
a(b c)=... Enpähän enempää keksikään ;) APua!
Alirengaskriteeristä
Algebraata
5
488
Vastaukset
- hatara hattara
Jos menee päin honkia, niin saa pamputtaa ja korjata.
Nyt on pyydetty todentamaan alirengaskriteeri, eli että S on R:n alirengas, jos S subset R ja S on rengas. Nyt jos S on sulkeutuva vähennyslaskun suhteen, niin kaikilla a,b in S a-b in S. Nyt jos a-b in S, niin a (-b)=a b^{-1}, missä b^{-1} on b:n käänteisalkio vähennyslaskun suhteen. Mutta nythän tämä on aliryhmäkriteeri, eli S on R:n aliryhmä yhteenlaskun suhteen.
Koska kaikilla a,b in S, a*b in S, niin saanet todistettua renkaaksi suoraan ryhmän R alkioiden ominaisuuksiin ja S:n laskutoimitusten sulkeutuneisuuteen vedoten? En muista kuollaksenikaan noita ehtoja, joten en sano enempää. Toivottavasti tästä nyt jotain iloa oli... - nkorppi
Määritelmä: Joukko S on renkaan R alirengas (S, ) on ryhmän (R, ) aliryhmä, jossa S on suljettu * suhteen ja sisältää *-identiteetin.
'Vähennyslasku' on vähän typerä sana, sillä ' ' ei tarvitse suinkaan merkitä perinteistä yhteenlaskua. Mutta se välttäköön.
'Vähennyslaskun' sulkeutuvuus antaa meille paljon enemmän kuin pelkät käänteisalkiot. Toki se antaa nekin.
Osittelulakia ei tietenkään tarvitse todistaa! Huomaa, että joukon S jäsenet kuuluvat R-renkaaseen, joten osittelulait pätevät automaattisesti -- sen takia, että R on rengas!
Nyt todistamme kriteerisi (Nimim. 'hattara' teki jotain ihan muuta, asian vierestä):
Yhteen suuntaan kriteeri on triviaali. Nyt todistamme sen toiseen suuntaan.
-identiteetin olemassaolo: Koska S on epätyhjä, se sisältää jonkun alkion s. Nyt s-s = s (-s) = 0 kuuluu S-joukkoon, suljetun vähennyslaskun ansiosta.
-käänteisalkion olemassaolo: 0-s = -s kuuluu S-joukkoon, suljetun vähennyslaskun ja 0 olemassaolon takia.
on suljettu: r s = r-(-s), eli kuuluu S-joukkoon, suljetun vähennyslaskun sekä -s olemassaolon takia.
-assosiatiivisuus, -kommutatiivisuus, *-assosiatiivisuus, sekä osittelulait periytyvät suoraan (sillä S jäsenet kuuluvat R-renkaaseen!)
*-identiteetin olemassaoloa sen sijaan en osaa todistaa, joten joko se puuttui vahingossa kriteeristäsi, tai en vain näe miten sen voi johtaa. Mietin asiaa.- fffffs
Renkaassa ei välttämättä tarvitse olla kertolaskun 1-alkiota. Usein kirjallisuudessa (engl) sanotaan "unit ring" tai "ring with identity".
Eli jos tarkemmin ei sovita, että R on ykkösrengas, niin olet valmis.
Vastaesimerkki riittää osoittamaan, että S voi olla rengas muttei samanlainen rengas kuin R. Esim. R on (Z, ,*) ja S on rengas, joka generoidaan alkioista {0,2,-2} ja * laskuilla.
Eli muodostuva joukko on 2Z eli 1 ei kuulu siihen. Toisin sanoen, jos joukkoon S ei kuulu 1 niin sitä ei voida osoittaa 1-renkaaksi. - nkorppi
fffffs kirjoitti:
Renkaassa ei välttämättä tarvitse olla kertolaskun 1-alkiota. Usein kirjallisuudessa (engl) sanotaan "unit ring" tai "ring with identity".
Eli jos tarkemmin ei sovita, että R on ykkösrengas, niin olet valmis.
Vastaesimerkki riittää osoittamaan, että S voi olla rengas muttei samanlainen rengas kuin R. Esim. R on (Z, ,*) ja S on rengas, joka generoidaan alkioista {0,2,-2} ja * laskuilla.
Eli muodostuva joukko on 2Z eli 1 ei kuulu siihen. Toisin sanoen, jos joukkoon S ei kuulu 1 niin sitä ei voida osoittaa 1-renkaaksi.Mitä itse olen kirjallisuudessa nähnyt, niin aina *-identiteetti on kuulunut renkaan määritelmään:
http://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)
Mutta niin kuin usein matikassa, eri konventioita on monta:
1) ring , unit ring
2) ring without unit, ring
Itse asiassa omassa algebra-kurssissani mentiin aikanaan pidemmälle, ja oletettiin kaikkien renkaiden olevan kommutatiivisia. - nkorppi
fffffs kirjoitti:
Renkaassa ei välttämättä tarvitse olla kertolaskun 1-alkiota. Usein kirjallisuudessa (engl) sanotaan "unit ring" tai "ring with identity".
Eli jos tarkemmin ei sovita, että R on ykkösrengas, niin olet valmis.
Vastaesimerkki riittää osoittamaan, että S voi olla rengas muttei samanlainen rengas kuin R. Esim. R on (Z, ,*) ja S on rengas, joka generoidaan alkioista {0,2,-2} ja * laskuilla.
Eli muodostuva joukko on 2Z eli 1 ei kuulu siihen. Toisin sanoen, jos joukkoon S ei kuulu 1 niin sitä ei voida osoittaa 1-renkaaksi.... että jos *-identiteettiä ei oteta renkaan määritelmään, silloin alirengas täsmälleen 'ideaali' (jos emme työskentele kommutatiivisessa renkaassa, tarkoitan tällä 'vasen Ja oikea ideaali').
Siispä otan mielelläni *-identiteetin renkaan määritelmään.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Vesikin maksaa, miksei hengitysilma?
Jatkuvasti itketään ettei ole rahaa mihinkään, mutta tilastojen mukaan rahaa on enemmän kuin koskaan, joten miksei asial301920Satuolennoista tarinointi ei kuulu peruskoulun tehtäviin
Opetustunteja on muutenkin käytössä vain rajallinen määrä. Eli nämä satuhommat koulun ulkopuolelle vapaaehtoisiin harras1651890Suomalainen perheenisä vaatii Suvivirren esittämisestä hyvityksiä
Itse lapsena uskonnonopetuksesta vissiin traumoja saanut ihka suomalainen (!) perheenisä vaatii Espoon kaupungilta korva3781768Mies profiloin sinut
Etsit täysin hallittavaa mutta samalla poikkeuksellista ihmistä. Etsit jotain mitä et koskaan tule saamaan.2161248Lahkokasteen ja kristillisen kasteen erot
Raamatun mukaan Kristillisessä yhdessä kasteessa Jumala pesee ja puhdistaa ihmisen sydämen ja poistaa perisynnin kirouks4221158- 121131
- 921103
Heikki Paasosen Marita-vaimo jätti tunteikkaat jäähyväiset: "Tällä kertaa me..."
Heikki Paasonen on naimisissa Marita Paasosen (os. Alatalo) kanssa ja heillä on kaksi pientä lasta. Nyt koitti aika jätt81076- 2851025
Pirkanlinna yleisötapahtuma
Oli todella hyvä tilaisuus. Ja EERO. L. Aivan mahtava tyyppi. Veti rennosti ja asiallisesti. Ja yleisöltä hyviä kysymyks501011