Olkoon (R, ,*) rengas ja S joukon R ei-tyhjä osajoukko. Silloin (S, ,*) on (R, ,*):n alirengas, joss S on sulkeutuva vähennyslaskun ja kertolaskun suhteen.
Kysymyksiä:
Onko siinä siksi vähennyslasku, jotta samalla määräytyisi, että jokaisella alkiolla joukossa S on käänteisalkio yhteenlaskun suhteen?
Miten tämä alirengaskriteeri todistetaan?
Itse ajattelisin, että muut ovat sitten selviä, jos kerta jokaisella on käänteisalkio yhteenlaskun suhteen. Mutta pitää todistaa osittelulakien voimassa olo.
a(b c)=... Enpähän enempää keksikään ;) APua!
Kysymyksiä:
Onko siinä siksi vähennyslasku, jotta samalla määräytyisi, että jokaisella alkiolla joukossa S on käänteisalkio yhteenlaskun suhteen?
Miten tämä alirengaskriteeri todistetaan?
Itse ajattelisin, että muut ovat sitten selviä, jos kerta jokaisella on käänteisalkio yhteenlaskun suhteen. Mutta pitää todistaa osittelulakien voimassa olo.
a(b c)=... Enpähän enempää keksikään ;) APua!
Vastaukset 5
Vanhimmat
Jos menee päin honkia, niin saa pamputtaa ja korjata.
Nyt on pyydetty todentamaan alirengaskriteeri, eli että S on R:n alirengas, jos S subset R ja S on rengas. Nyt jos S on sulkeutuva vähennyslaskun suhteen, niin kaikilla a,b in S a-b in S. Nyt jos a-b in S, niin a (-b)=a b^{-1}, missä b^{-1} on b:n käänteisalkio vähennyslaskun suhteen. Mutta nythän tämä on aliryhmäkriteeri, eli S on R:n aliryhmä yhteenlaskun suhteen.
Koska kaikilla a,b in S, a*b in S, niin saanet todistettua renkaaksi suoraan ryhmän R alkioiden ominaisuuksiin ja S:n laskutoimitusten sulkeutuneisuuteen vedoten? En muista kuollaksenikaan noita ehtoja, joten en sano enempää. Toivottavasti tästä nyt jotain iloa oli...
Määritelmä: Joukko S on renkaan R alirengas (S, ) on ryhmän (R, ) aliryhmä, jossa S on suljettu * suhteen ja sisältää *-identiteetin.
'Vähennyslasku' on vähän typerä sana, sillä ' ' ei tarvitse suinkaan merkitä perinteistä yhteenlaskua. Mutta se välttäköön.
'Vähennyslaskun' sulkeutuvuus antaa meille paljon enemmän kuin pelkät käänteisalkiot. Toki se antaa nekin.
Osittelulakia ei tietenkään tarvitse todistaa! Huomaa, että joukon S jäsenet kuuluvat R-renkaaseen, joten osittelulait pätevät automaattisesti -- sen takia, että R on rengas!
Nyt todistamme kriteerisi (Nimim. 'hattara' teki jotain ihan muuta, asian vierestä):
Yhteen suuntaan kriteeri on triviaali. Nyt todistamme sen toiseen suuntaan.
-identiteetin olemassaolo: Koska S on epätyhjä, se sisältää jonkun alkion s. Nyt s-s = s (-s) = 0 kuuluu S-joukkoon, suljetun vähennyslaskun ansiosta.
-käänteisalkion olemassaolo: 0-s = -s kuuluu S-joukkoon, suljetun vähennyslaskun ja 0 olemassaolon takia.
on suljettu: r s = r-(-s), eli kuuluu S-joukkoon, suljetun vähennyslaskun sekä -s olemassaolon takia.
-assosiatiivisuus, -kommutatiivisuus, *-assosiatiivisuus, sekä osittelulait periytyvät suoraan (sillä S jäsenet kuuluvat R-renkaaseen!)
*-identiteetin olemassaoloa sen sijaan en osaa todistaa, joten joko se puuttui vahingossa kriteeristäsi, tai en vain näe miten sen voi johtaa. Mietin asiaa.
Renkaassa ei välttämättä tarvitse olla kertolaskun 1-alkiota. Usein kirjallisuudessa (engl) sanotaan "unit ring" tai "ring with identity".
Eli jos tarkemmin ei sovita, että R on ykkösrengas, niin olet valmis.
Vastaesimerkki riittää osoittamaan, että S voi olla rengas muttei samanlainen rengas kuin R. Esim. R on (Z, ,*) ja S on rengas, joka generoidaan alkioista {0,2,-2} ja * laskuilla.
Eli muodostuva joukko on 2Z eli 1 ei kuulu siihen. Toisin sanoen, jos joukkoon S ei kuulu 1 niin sitä ei voida osoittaa 1-renkaaksi.
Mitä itse olen kirjallisuudessa nähnyt, niin aina *-identiteetti on kuulunut renkaan määritelmään:
http://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)
Mutta niin kuin usein matikassa, eri konventioita on monta:
1) ring , unit ring
2) ring without unit, ring
Itse asiassa omassa algebra-kurssissani mentiin aikanaan pidemmälle, ja oletettiin kaikkien renkaiden olevan kommutatiivisia.
... että jos *-identiteettiä ei oteta renkaan määritelmään, silloin alirengas täsmälleen 'ideaali' (jos emme työskentele kommutatiivisessa renkaassa, tarkoitan tällä 'vasen Ja oikea ideaali').
Siispä otan mielelläni *-identiteetin renkaan määritelmään.