Hei,
Miten jostakin toisen asteen funktiosta määritetään suurin ja pienin arvo? Yhtälöt voisivat olla esimerkiksi -2x^2-4x 2 ja x^2-2x 2. Ja sitten mitä tehdään kun tehtävässä käsketään osoittaa algebrallisesti esim että funktion x^2-10x 10 pienin arvo on -15? Kiitos etukäteen!
Funktion pienimmän ja suurimman arvon määrittäminen algebrallisesti?
kirjotuksiin valmistautuva
19
7540
Vastaukset
- jukepuke
Terve
"Miten jostakin toisen asteen funktiosta määritetään suurin ja pienin arvo?"
Pari lähestymistapaa:
1. Derivaatan avulla: Hahmottele funktion kulkua kulkukaaviolla ratkaisemalla derivaatan nollakohta jne... Päättele paikalliset ääriarvot (maksimit ja minimit). Toisen asteen yhtälön tapauksessa tulee vain yksi ja se on myös globaali ääriarvo (miksi?).
2. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: Toisen asteen funktion kuvaaja on paraabeli, jonka aukeamissuunnan määrää toisen asteen termin kertoimen merkki. Paraabelin huippu on funktion nollakohtien keskiarvon kohdalla. Riippuen paraabelin aukeamissuunnasta, saat huippukohdan arvosta epäyhtälön, mitä pienempiä/suurempia funktion arvot aina ovat...
3. Neliöksi täydentäminen: Esimerkkifunktiosi f(x) = x^2-10x 10 pienin arvo -15 voidaan päätellä vaikkapa neliöksi täydentämällä. Toisin sanoen, tässä tapauksessa hyödynnetään kaavaa (a-b)^2 = a^2 - 2ab b^2 "oikealta vasemmalle". Koska
x^2 - 10x = x^2 - 2*5*x,
niin jotta kaavaa voidaan hyödyntää, täytyy tässä tapauksessa olla a=x ja b=5. Mutta nyt puuttuu vielä b^2 = 5^2. Lisätään alkuperäiseen lausekkeeseen 5^2 - 5^2, eli nolla, jolloin se pysyy samana, eli mitään kiellettyä ei tehdä. Eli siis:
x^2 - 10x 10 = x^2 - 2*5*x 5^2 - 5^2 10.
Nyt x^2 - 2*5*x 5^2 = (x-5)^2, joten
x^2 -10x 10 = (x-5)^2 - 15.
Nyt (x-5)^2 ≥ 0 kaikilla x ja nolla saavutetaan, kun x=5. Siispä (x-5)^2 - 15 ≥ -15 ja pienin arvo -15 saavutetaan samaisella x:n arvolla, eli kun x=5.- nkorppi
... argumenttia, että 'kyseessä on ylöspäin aukeava paraabeli, JOTEN nollakohtien keskiarvo blaa blaa...' näkee aina silloin tällöin.
Tuo on paitsi ruma ratkaisu (se ei ole yleinen menetelmä, vaan keinotekoisesti mietitty yhteen funktioon), mutta se on myös väärä ratkaisu. Pyydettiin ALGEBRALLISTA ratkaisua. Et voi tehdä mitään oletuksia f:n muodosta, ellet osoita niitä muodollisesti.
Neliöksi täydentäminen on turhaa kikkailua, joka vaikeuttaa ja pitkittää yksinkertaista tehtävää.
Ainoa oikeasti järkevä ratkaisu on päätellä f:n muoto derivaatoista. - jukepuke
Nollakohtien keskiarvo käy tietenkin vain tapauksiin, missä niitä on olemassa.
- nkorppi
nkorppi kirjoitti:
... argumenttia, että 'kyseessä on ylöspäin aukeava paraabeli, JOTEN nollakohtien keskiarvo blaa blaa...' näkee aina silloin tällöin.
Tuo on paitsi ruma ratkaisu (se ei ole yleinen menetelmä, vaan keinotekoisesti mietitty yhteen funktioon), mutta se on myös väärä ratkaisu. Pyydettiin ALGEBRALLISTA ratkaisua. Et voi tehdä mitään oletuksia f:n muodosta, ellet osoita niitä muodollisesti.
Neliöksi täydentäminen on turhaa kikkailua, joka vaikeuttaa ja pitkittää yksinkertaista tehtävää.
Ainoa oikeasti järkevä ratkaisu on päätellä f:n muoto derivaatoista.... täydentäminen on sekin tehty keinotekoisesti toisen asteen polynomifunktioita varten, eli on todella epäyleinen menetelmä. Jos kokeessa pyydetään neljännen asteen ei-biqvadraattisen polynomifunktion ääriarvoa, menee pupu pöksyyn. Miksi ei siis opettelisi heti aluksi yleistä menetelmää, kun se ei ole yhtään vähemmän havainnollistava, eikä edes vaikeampi ratkaisu?
- jukepuke
nkorppi kirjoitti:
... argumenttia, että 'kyseessä on ylöspäin aukeava paraabeli, JOTEN nollakohtien keskiarvo blaa blaa...' näkee aina silloin tällöin.
Tuo on paitsi ruma ratkaisu (se ei ole yleinen menetelmä, vaan keinotekoisesti mietitty yhteen funktioon), mutta se on myös väärä ratkaisu. Pyydettiin ALGEBRALLISTA ratkaisua. Et voi tehdä mitään oletuksia f:n muodosta, ellet osoita niitä muodollisesti.
Neliöksi täydentäminen on turhaa kikkailua, joka vaikeuttaa ja pitkittää yksinkertaista tehtävää.
Ainoa oikeasti järkevä ratkaisu on päätellä f:n muoto derivaatoista.Unohtui tuo ALGEBRALLINEN sana otsikossa. Tapa nro. 2 ei siis käy.
"Neliöksi täydentäminen on turhaa kikkailua, joka vaikeuttaa ja pitkittää yksinkertaista tehtävää."
Saattoihan se vaikuttaa pitkälle, sillä yritin sitä avata itse lukijalle. Muutoin se on ylivoimaisesti lyhin tapa. Kokeessa tekisin tehtävän voisi tehdä näin:
Koska
x^2 - 10x 10 = x^2 -10x 5^2 - 5^2 10 = (x-5)^2 - 15 ≥ -15
ja f(5) = -15, on -15 funktion pienin arvo.
Aika lyhyt ratkaisu, vai mitä?
Minusta on hienompaa ratkaista tehtävä mahdollisimman "pienillä" työkaluilla. Tuossa ei tarvitse edes tietää, mikä on derivaatta ja että polynomifunktio on derivoituva jne. - jukepuke
nkorppi kirjoitti:
... täydentäminen on sekin tehty keinotekoisesti toisen asteen polynomifunktioita varten, eli on todella epäyleinen menetelmä. Jos kokeessa pyydetään neljännen asteen ei-biqvadraattisen polynomifunktion ääriarvoa, menee pupu pöksyyn. Miksi ei siis opettelisi heti aluksi yleistä menetelmää, kun se ei ole yhtään vähemmän havainnollistava, eikä edes vaikeampi ratkaisu?
" Jos kokeessa pyydetään neljännen asteen ei-biqvadraattisen polynomifunktion ääriarvoa, menee pupu pöksyyn."
Jos ja jos. Alkup. kysymys oli "Miten jostakin toisen asteen funktiosta määritetään suurin ja pienin arvo?" ja siksi ajattelin antaa juuri toisen asteen funktion suurimman ja pienimmän arvon etsimiseen soveltuvia erityiskeinoja. Ensimmäisenä kyllä mainitsin 'Derivaatan avulla'-keinon, joka myös soveltuu vaikkapa niihin neljännen asteen ei-biqvadraattisiin polynomifunktioihin. - nkorppi
jukepuke kirjoitti:
" Jos kokeessa pyydetään neljännen asteen ei-biqvadraattisen polynomifunktion ääriarvoa, menee pupu pöksyyn."
Jos ja jos. Alkup. kysymys oli "Miten jostakin toisen asteen funktiosta määritetään suurin ja pienin arvo?" ja siksi ajattelin antaa juuri toisen asteen funktion suurimman ja pienimmän arvon etsimiseen soveltuvia erityiskeinoja. Ensimmäisenä kyllä mainitsin 'Derivaatan avulla'-keinon, joka myös soveltuu vaikkapa niihin neljännen asteen ei-biqvadraattisiin polynomifunktioihin.... ei ollut niinkään kritiikki viestiäsi tai erilaisten ratkaisutapojen kokeilua vastaan, vaan arvio noiden tapojen keskinäisestä tärkeydestä.
- mat. opiskelija
nkorppi kirjoitti:
... täydentäminen on sekin tehty keinotekoisesti toisen asteen polynomifunktioita varten, eli on todella epäyleinen menetelmä. Jos kokeessa pyydetään neljännen asteen ei-biqvadraattisen polynomifunktion ääriarvoa, menee pupu pöksyyn. Miksi ei siis opettelisi heti aluksi yleistä menetelmää, kun se ei ole yhtään vähemmän havainnollistava, eikä edes vaikeampi ratkaisu?
Eri menetelmiä on hyvä hallita ja käyttää kulliseenkin tilanteeseen sopivaa menetelmää. Minusta ainakin on ihan kaunista tehdä välillä tehtäviä alkeellisilla menetelmillä, mikäli ratkaisu ei veny kohtuuttomasti. Ja jos haluaa nähdä, miksi derivaatat toimivat, on mentävä aina raja-arvon määritelmiin ja Bernoullin epäyhtälöön, ja tätä sekä tästä seuraavia epäyhtälöitä ei parane todistaa derivaatan avulla.
- Doctöör
nkorppi kirjoitti:
... argumenttia, että 'kyseessä on ylöspäin aukeava paraabeli, JOTEN nollakohtien keskiarvo blaa blaa...' näkee aina silloin tällöin.
Tuo on paitsi ruma ratkaisu (se ei ole yleinen menetelmä, vaan keinotekoisesti mietitty yhteen funktioon), mutta se on myös väärä ratkaisu. Pyydettiin ALGEBRALLISTA ratkaisua. Et voi tehdä mitään oletuksia f:n muodosta, ellet osoita niitä muodollisesti.
Neliöksi täydentäminen on turhaa kikkailua, joka vaikeuttaa ja pitkittää yksinkertaista tehtävää.
Ainoa oikeasti järkevä ratkaisu on päätellä f:n muoto derivaatoista.Sekä lukiossa, että yliopistossa tulee eteen vastaava tehtävä, jossa derivaattaa ei saa vielä käyttää. Käytettävissä on ainoastaan tiedot, jotka löytyvät mm. osoitteesta
http://fi.wikipedia.org/wiki/Paraabeli
Eli ratkaisu saadaan myös tutkimalla paraabelin kertoimia. - nkorppi
Doctöör kirjoitti:
Sekä lukiossa, että yliopistossa tulee eteen vastaava tehtävä, jossa derivaattaa ei saa vielä käyttää. Käytettävissä on ainoastaan tiedot, jotka löytyvät mm. osoitteesta
http://fi.wikipedia.org/wiki/Paraabeli
Eli ratkaisu saadaan myös tutkimalla paraabelin kertoimia.... minulle tullut yliopistossa vastaan. Paraabelit esiintyivät yhdessä geometrian kurssissa, mutta paljon yleisemmässä 'quadratic forms' yhteydessä.
- ash
Jos funktio on jatkuva ja derivoituva, sen suurin ja pienin arvo löytyvät usein määrittämällä derivaatan nollakohdat ja laskemalla funktion arvot niissä pisteissä. Näin saaduista arvoista suurin on suurin arvo ja pienin on pienin arvo. Jos tarkastelu on rajattu suljetulle välille, saattaa funktio saada pienimmän ja suurimman arvonsa myös näissä välin päätepisteissä.
Siis ei muuta kuin derivoimaan.
Muuten, kirjoitat, että "Yhtälöt voisivat olla esimerkiksi -2x^2-4x 2 ja x^2-2x 2.". Nämä eivät kuitenkaan ole yhtälöitä, vaan lausekkeita. Eihän niissä esiinny edes yhtäsuuruusmerkkiä. Tarkoitat varmaankin f(x) = -2x^2-4x 2, tms. Asioista pitää puhua niiden oikeilla nimillä, tai luvassa on sekaannuksia jossain vaiheessa.
"-- mitä tehdään kun tehtävässä käsketään osoittaa algebrallisesti esim että funktion x^2-10x 10 pienin arvo on -15?"
Tämä riippuu siitä, mitä tehtävän asettaja tarkoittaa algebrallisella osoittamisella. Todennäköisesti --- jos tämä on esimerkiksi kirjoitustehtävä --- vastaukseksi halutaan jokin tarkka osoitus, eikä esimerkiksi kuvaajalta lukemiseen perustuva tapa. Esimerkiksi se derivaatan tutkiminen kävisi tällöin. - nkorppi
... 'algebrallisesti', vaan analyyttisesti. Mutta jos tehtävässä lukee 'algebrallisesti', se tarkoittaa yksinkertaisesti, että 'ei piirtämällä'.
-2x^2-4x 2 ei voisi olla yhtälö, sillä se ei ole yhtälö lainkaan, vaan polynomifunktio! Esim. -2x^2-4x 2 = 0 on yhtälö, sillä siinä kaksi asiaa laitetaan yhtä suuriksi.
Tiedätkö mikä on derivaatta? Polynomin derivaatta lasketaan käyttämällä faktaa, että derivaatta on lineaarinen operaatio, jolle pätee muistisääntö f'(x^k) = kx^(k-1). Lineaarisuus tarkoittaa sitä, että f'(ax^k bx^m) = akx^(k-1) bmx^(m-1).
f'(x) antaa käyrän f hetkellisen kaltevuuden (kulmakertoimen) pisteessä x.
Jos f on määritelty kaikilla reaaleilla, funktion suurin ja pienin arvo toteuttavat f'(x)=0, ellei f lähesty äärettömyyksiä kumpaankaan suuntaan.
f'(x) = 0 yhtälön ratkaisut ovat ns. paikallisia ääriarvoja, kun taas pienin ja suurin arvo koko määrittelyjoukolla ovat ns. globaaleja ääriarvoja.
Tietysti jos määrittely joukko on vaikkapa intervalli [0,1], on tarkistettava erikseen arvot f(0) ja f(1).
Jos funktio f'(x) on derivoituva, f''(x) on derivaatan derivaatta, eli ns. f:n toka derivaatta. Huomaa, että f''(x) kertoo 'kiihtyvyyden' pisteessä x.
Oletetaan, että f'(x) = 0. Jos f''(x)0, f(x) on paikallinen minimiarvo. (Jos f''(x)=0, x on satulapiste.)
Nyt sitten valitaan kaikista harkituista pisteistä se suurin tai pienin, niin saamme globaalin maksimin.
Esimerkki. f(x) = x^2-10x 10, kun x saa olla mikä tahansa reaaliluku.
Laskemme, että f'(x) = 2x-10. Siispä f'(x) = 0 pisteessä x=5.
Huomaa, että kun x 0. Siispä on selvää, että kun x lähestyy ääretöntä tai miinus ääretöntä, f lähestyy ääretöntä. Siispä f:llä ei ole suurinta mahdollista arvoa, vaan se saa mielivaltaisen suuria arvoja.
Eli f:n arvo pienenee, kunnes ollaan pisteessä x=5, ja sen jälkeen f:n arvo suurenee. (*)
Voimme tarkistaa paikallisen ääriarvon f(5) = -15 luonteen myös katsomalla tokaa derivaattaa. f''(x) = 2 > 0 kaikilla x:n arvoilla, joten -15 on paikallinen minimiarvo, ja huomion (*) perusteella sen on oltava myös globaali minimiarvo.- nkorppi
Niin, meidän pitää toki olettaa, että funktio on derivoituva niillä arvoilla mitä tarkistamme. Kaikki muut pisteet pitää tarkistaa erikseen.
- korjailija
"...derivaatta on lineaarinen operaatio, jolle pätee muistisääntö f'(x^k) = kx^(k-1). Lineaarisuus tarkoittaa sitä, että f'(ax^k bx^m) = akx^(k-1) bmx^(m-1)."
Tarkoitat varmaan, että
D(x^k) = kx^(k-1) ja D(ax^k bx^m) = akx^(k-1) bmx^(m-1). - sama korjailija
"Oletetaan, että f'(x) = 0. Jos f''(x)0, f(x) on paikallinen minimiarvo. (Jos f''(x)=0, x on satulapiste.)"
Onko f tässä nyt polynomi? Yleisesti x ei sentään kai ole välttämättä satulapiste, jos f''(x)=0. Polynomeille tuo varmasti pätee. - jukepuke
"Jos f''(x)=0, x on satulapiste."
Jos f''(x)=0, ei voida päätellä mitään! Kyseessä voi olla satulapiste, paikallinen/globaali minimi tai paikallinen/globaali maksimi. - nkorppi
jukepuke kirjoitti:
"Jos f''(x)=0, x on satulapiste."
Jos f''(x)=0, ei voida päätellä mitään! Kyseessä voi olla satulapiste, paikallinen/globaali minimi tai paikallinen/globaali maksimi.Sanotaan vaikka, että jos f''(x)=0, x on Robin Hood. :)
Ja joo, tietysti tarkoitin D(x^k).
- tietämätööööön
Entä mitä tarkoittaa Ratkaise algebrallisesti esim tälläinen yhtälölasku: x = y - 10
y= -2x ?
Olisin kiitollinen jos joku viitsisi tähän vastata oikein :)- Mymmelini
Perusyhtälöpari, joka ratkeaa 50 vuoden takaa olevilla tiedoillakin ;).
Helpoin tapa on sijoittaa toisen tuntemattoman ratkaistu muoto toiseen yhtälöön, jolloin tuntemattomia on vain yksi.
Tuossahan sinulla on molemmista tuntemattomista ratkaistu muoto toisen avulla.
Otetaan vaikka tuo y=-2x
Sijoittamalla toiseen yhtälöön tuo y:n arvo saadaan:
x=y-10 ja siitä x=-2x-10 ja siitä 3x =-10 ja siitä x=-10/3
Ja y:n arvoksi saadaan: y=-2x ja y=-2(-10/3)=20/3=6 2/3
Siis x=-3 1/3 ja y=6 2/3
Näin tuo homma meni ainakin 50 vuotta sitten, eiköhän vielä nytkin, vaikka kaikki pyrkiikin muuttumaan :-O
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 866338
Nikkalassa vauhdilla nokka kohti taivasta
Mitähän Darwin sanoisi näistä 4 suomalaisesta, jotka kävivät Haparandan puolella näyttämässä, kuinka Suomi auto kulkee t303793törniöläiset kaaharit haaparannassa
isäpapan autolla kaahatta 270 km/h metsään https://www.lapinkansa.fi/nsd-kaksi-suomalaista-kuoli-kolarissa-haaparannall/283160Sitä saa mitä tilaa Perussuomalaiset!
https://yle.fi/a/74-20160212 SDP:n kannatus se vain nousee ja Keskusta on kolmantena. Kokoomus saanut pienen osan persu3691716- 331398
- 271330
Eelin, 20, itsemurhakirje - Suomalaisen terveydenhuollon virhe maksoi nuoren elämän
Yksikin mielenterveysongelmien takia menetetty nuori on liikaa. Masennusta sairastava Eeli Syrjälä, 20, ehti asua ensi46959Anteeksi kulta
En oo jaksanut pahemmin kirjoitella, kun oo ollut tosi väsynyt. Mut ikävä on mieletön ja haluisin kuiskata korvaasi, hyv11956Perttu Sirviö laukoo täydestä tuutista - Farmi Suomi -kisaajista kovaa tekstiä "Pari mätää munaa..."
Ohhoh, Farmilla tunteet alkaa käydä kuumana, kun julkkiksia tippuu jaksosta toiseen! Varo sisältöpaljastuksia: https:11880- 42859