Riemannin integraali

Kiitos, kultaseni, asiallisesta vastauksesta.

Opiskelen fyssaa ja matikkaa yliopistossa. Fyssassa pärjään hyvin, mutta matikka on välillä tosi hankalaa. Esim. juuri tota Riemannin integraalia en oo kunnolla ymmärtänyt.

Se määritellään näin: "Lim hX->0 pikku sigma(f,X,iso ksii X(X tässä on ison ksiin indeksi)) = A (kuuluu R), jos jokaiselle jonolle {pikku sigma(f,Xn,iso ksii n)}, jolle pätee hXn->0, on voimassa lim n -> ääretöntä pikku sigma(f,Xn,iso ksii n) = A."

"Määritelmän mukaisesti raja-arvo "Lim" tarkoittaa kaikista mahdollisista summista (f,X,iso ksii) poimittujen ehdon hXn->0 täyttävien lukujonojen {pikku sigma(f,Xn,iso ksii n)} yhteistä raja-arvoa".

Haluaisin, että joku suomentaisi ton, esim mitä toi kaikista mahdollisista summista poimittujen lukujononjen yhteinen raja-arvo tarkoittaa?

dafölj kirjoitti:

Opiskelen fyssaa ja matikkaa yliopistossa. Fyssassa pärjään hyvin, mutta matikka on välillä tosi hankalaa. Esim. juuri tota Riemannin integraalia en oo kunnolla ymmärtänyt.

Se määritellään näin: "Lim hX->0 pikku sigma(f,X,iso ksii X(X tässä on ison ksiin indeksi)) = A (kuuluu R), jos jokaiselle jonolle {pikku sigma(f,Xn,iso ksii n)}, jolle pätee hXn->0, on voimassa lim n -> ääretöntä pikku sigma(f,Xn,iso ksii n) = A."

"Määritelmän mukaisesti raja-arvo "Lim" tarkoittaa kaikista mahdollisista summista (f,X,iso ksii) poimittujen ehdon hXn->0 täyttävien lukujonojen {pikku sigma(f,Xn,iso ksii n)} yhteistä raja-arvoa".

Haluaisin, että joku suomentaisi ton, esim mitä toi kaikista mahdollisista summista poimittujen lukujononjen yhteinen raja-arvo tarkoittaa?

Lue lisää

Siis en ole törmännyt moisiin merkintöihin ennen, mutta ilmeisesti tuossa sinullakin muodostetaan jonkinlainen jako integraalivälille. Siis jako on sellainen joukkojen kokoelma joiden yhdiste on koko integraaliväli, mutta niiden keskinäiset leikkaukset ovat aina tyhjiä joukkoja.
Tod.näk. ehto hXn->0 tarkoittaa sitä, että jokainen jaon osajoukon mitta/pituus lähestyy nollaa.

(esim. joukon [1,3] jako on esim. { [1,2),[2,3] })

Edelleen veikkaan, että tuo merkintä
pikku sigma(f,Xn,iso ksii n)
tarkoittaa, jtn seuraavanlaista: iso ksii n tarkoitaa integrointi välin jakoa,
Xn tiettyä jaon osajoukkoa,
f integroitava funktio, ja kokonaisuudessaan
lasketaan kustakin jaon osajoukosta yhdessä mielivaltaissa pisteessä funktion arvo ja kerrotaan tämä kyseisen välin pituudella JA lopuksi summataan nämä kaikkki yhteen! --> Saadaan jokin arvio integraalille.

Funktio on siis integroituva, jos jokaisella jaolla(, jolla on se ominaisuus, että osajoukkojen pituus menee kohti nollaa,) pätee, että laskettu integraalin arvo on aina sama "jokin" reaaliluku.

Esim. funktio joka saa arvon 1 rationaaliiluku pisteessä ja arvon 0 irrationaaliluku pisteessä, ei ole rieman integroituva (esim. välillä [0,1]), sillä tutkitaan jakoa {[ k/n, (k-1)/n )
|k=0,1,...,n.1}yhdiste{[1-1/n,1]} selvästi jokainen osaväli menee kohti nollaa, kun n kasvaa rajatta. Mutta koska molemmat joukot irrationaali- ja rationaaliluvut ovat tiheitä reaalilukujen joukossa, niin tuolle integraalille saa aina kaksi arvoa 0 ja 1, siis se ei voi olla integroituva.

kysele lisää, jos tuntuu olevan jtn apua, mutta on vähän vaikea auttaa tarkemmin, koska kirjanne syntaksi on täysin tuntematon minulle, ja itse olen tutustunut huomattavasti "yksinkertaisempiin" lähestymistapoihin!

dafölj kirjoitti:

Opiskelen fyssaa ja matikkaa yliopistossa. Fyssassa pärjään hyvin, mutta matikka on välillä tosi hankalaa. Esim. juuri tota Riemannin integraalia en oo kunnolla ymmärtänyt.

Se määritellään näin: "Lim hX->0 pikku sigma(f,X,iso ksii X(X tässä on ison ksiin indeksi)) = A (kuuluu R), jos jokaiselle jonolle {pikku sigma(f,Xn,iso ksii n)}, jolle pätee hXn->0, on voimassa lim n -> ääretöntä pikku sigma(f,Xn,iso ksii n) = A."

"Määritelmän mukaisesti raja-arvo "Lim" tarkoittaa kaikista mahdollisista summista (f,X,iso ksii) poimittujen ehdon hXn->0 täyttävien lukujonojen {pikku sigma(f,Xn,iso ksii n)} yhteistä raja-arvoa".

Haluaisin, että joku suomentaisi ton, esim mitä toi kaikista mahdollisista summista poimittujen lukujononjen yhteinen raja-arvo tarkoittaa?

Lue lisää

määritelmä integraalille on ihan se perustsydeemi. Integroi nyt joku funktio s.e. otat vaikka 5 pistettä integroimisväliltä ja muodostat ton summan ja et välitä raja-arvosta. Saat näin likiarvon integraalille. Sitten kuvittelet, että pisteitä ei ookkaan 5 vaan 5000 eiku 5 000 000 eiku 5 000 000 000 jne. Mut tee toi summajuttu ihan paperilla - ei näitä lukemalla opi. Käytännösähän koulumatikassa yleisimpien fungtioiden integraalifunktiot on taulukoitu ja ne vaan pitää opetella - ellei saa käyttää taulukoita kokeessa.

Raja-arvo taas... Kato jostain parempi selitys. Idea on se, että kun otetaan mikävaan pieni ympäristö raja-arvon ympäriltä niin koko lukujonon häntä jostain alkiosta lähtien kuuluu sinne ympäristöön. Summahan on osasummien jono.

tää Riimannin kirjoitti:

määritelmä integraalille on ihan se perustsydeemi. Integroi nyt joku funktio s.e. otat vaikka 5 pistettä integroimisväliltä ja muodostat ton summan ja et välitä raja-arvosta. Saat näin likiarvon integraalille. Sitten kuvittelet, että pisteitä ei ookkaan 5 vaan 5000 eiku 5 000 000 eiku 5 000 000 000 jne. Mut tee toi summajuttu ihan paperilla - ei näitä lukemalla opi. Käytännösähän koulumatikassa yleisimpien fungtioiden integraalifunktiot on taulukoitu ja ne vaan pitää opetella - ellei saa käyttää taulukoita kokeessa.

Raja-arvo taas... Kato jostain parempi selitys. Idea on se, että kun otetaan mikävaan pieni ympäristö raja-arvon ympäriltä niin koko lukujonon häntä jostain alkiosta lähtien kuuluu sinne ympäristöön. Summahan on osasummien jono.

Lue lisää

summa on osasummien jono meni vähän käsille mutta ymmärrät mitä tarkoitan - no.

mutta mutta kirjoitti:

Siis en ole törmännyt moisiin merkintöihin ennen, mutta ilmeisesti tuossa sinullakin muodostetaan jonkinlainen jako integraalivälille. Siis jako on sellainen joukkojen kokoelma joiden yhdiste on koko integraaliväli, mutta niiden keskinäiset leikkaukset ovat aina tyhjiä joukkoja.
Tod.näk. ehto hXn->0 tarkoittaa sitä, että jokainen jaon osajoukon mitta/pituus lähestyy nollaa.

(esim. joukon [1,3] jako on esim. { [1,2),[2,3] })

Edelleen veikkaan, että tuo merkintä
pikku sigma(f,Xn,iso ksii n)
tarkoittaa, jtn seuraavanlaista: iso ksii n tarkoitaa integrointi välin jakoa,
Xn tiettyä jaon osajoukkoa,
f integroitava funktio, ja kokonaisuudessaan
lasketaan kustakin jaon osajoukosta yhdessä mielivaltaissa pisteessä funktion arvo ja kerrotaan tämä kyseisen välin pituudella JA lopuksi summataan nämä kaikkki yhteen! --> Saadaan jokin arvio integraalille.

Funktio on siis integroituva, jos jokaisella jaolla(, jolla on se ominaisuus, että osajoukkojen pituus menee kohti nollaa,) pätee, että laskettu integraalin arvo on aina sama "jokin" reaaliluku.

Esim. funktio joka saa arvon 1 rationaaliiluku pisteessä ja arvon 0 irrationaaliluku pisteessä, ei ole rieman integroituva (esim. välillä [0,1]), sillä tutkitaan jakoa {[ k/n, (k-1)/n )
|k=0,1,...,n.1}yhdiste{[1-1/n,1]} selvästi jokainen osaväli menee kohti nollaa, kun n kasvaa rajatta. Mutta koska molemmat joukot irrationaali- ja rationaaliluvut ovat tiheitä reaalilukujen joukossa, niin tuolle integraalille saa aina kaksi arvoa 0 ja 1, siis se ei voi olla integroituva.

kysele lisää, jos tuntuu olevan jtn apua, mutta on vähän vaikea auttaa tarkemmin, koska kirjanne syntaksi on täysin tuntematon minulle, ja itse olen tutustunut huomattavasti "yksinkertaisempiin" lähestymistapoihin!

Lue lisää

Kiitos vastanneille.

Ymmärsin kirjastani määrätyn integraalin teorian (summakaavan avulla, esim tasavälisessä jaossa: lim n->ääretöntä (x-a)/n summa (iso sigma) k käy ykkösestä n:ään f(a (k/n)(x-a)). Hankalaa muuten kirjoittaa, ku ei saa tarvittavia symboleja näppäimistöstä).

Tossa Riemannin integraalissa lähinnä hämäsi tuo iso ksii, ja se, miten Riemannin integraali nyt eroaa "normaalista" määrätystä integraalista?

Selvennystä aikaisempaan kirjoitukseeni: X on välin [a,b] yleistä jakoa, hX= max (xk - xk-1) (tiheysparametri,k=1...n). Sitten tähän jakoon X otetaan vielä käyttöön välipisteistö iso ksii X = {pikku ksii 1,...,pikku ksii n}, missä ksii k kuuluu [xk - xk-1].

Ajattelin ostaa Calculuksen tuon kirjan tukimateriaaliksi. Siinä on kuulemma teoria hieman helpompaa.

adfköl kirjoitti:

Kiitos vastanneille.

Ymmärsin kirjastani määrätyn integraalin teorian (summakaavan avulla, esim tasavälisessä jaossa: lim n->ääretöntä (x-a)/n summa (iso sigma) k käy ykkösestä n:ään f(a (k/n)(x-a)). Hankalaa muuten kirjoittaa, ku ei saa tarvittavia symboleja näppäimistöstä).

Tossa Riemannin integraalissa lähinnä hämäsi tuo iso ksii, ja se, miten Riemannin integraali nyt eroaa "normaalista" määrätystä integraalista?

Selvennystä aikaisempaan kirjoitukseeni: X on välin [a,b] yleistä jakoa, hX= max (xk - xk-1) (tiheysparametri,k=1...n). Sitten tähän jakoon X otetaan vielä käyttöön välipisteistö iso ksii X = {pikku ksii 1,...,pikku ksii n}, missä ksii k kuuluu [xk - xk-1].

Ajattelin ostaa Calculuksen tuon kirjan tukimateriaaliksi. Siinä on kuulemma teoria hieman helpompaa.

Lue lisää

Jos integraali olisi määritelty yksinkertaisesti vain näin:

Lim n->ääretöntä (x-a)/n summa (iso sigma) k käy ykkösestä n:ään f(a (k/n)(x-a)),

niintuo funktio (1 rationaalipisteissä, ja 0 irrationaalipisteissä) olisi kyllä integroituva, mutta se saisi joskus arvon 0 ja joskus arvon (x-a),
riippuen siitä kumpaan joukkoon arvot a (k/n)(x-a) kuuluvat (HUOM! ne ovat aina kokonaisuudessaan joko rationaalisia tai irrationaalisia)!

Riemann integraali parantaa tätä vaatimalla, että
arvon on oltava yksikäsitteinen! Määritelmään perustuen funktion Riemann integroituvaksi osoittaminen on työlästä, ellei funktio ole todella yksinkertainen ja monotoninen, tällöin tiedetään missä pisteissä funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa, ja jokainen osasummien jono voidaan rajoittaa näiden välille. Nyt kun nuo ylä- ja alaraja "summaukset" yhtyvät jakoa tihennettäessä, niin sanotaan, että funktion on riemann integroituva.

dafölj kirjoitti:

Opiskelen fyssaa ja matikkaa yliopistossa. Fyssassa pärjään hyvin, mutta matikka on välillä tosi hankalaa. Esim. juuri tota Riemannin integraalia en oo kunnolla ymmärtänyt.

Se määritellään näin: "Lim hX->0 pikku sigma(f,X,iso ksii X(X tässä on ison ksiin indeksi)) = A (kuuluu R), jos jokaiselle jonolle {pikku sigma(f,Xn,iso ksii n)}, jolle pätee hXn->0, on voimassa lim n -> ääretöntä pikku sigma(f,Xn,iso ksii n) = A."

"Määritelmän mukaisesti raja-arvo "Lim" tarkoittaa kaikista mahdollisista summista (f,X,iso ksii) poimittujen ehdon hXn->0 täyttävien lukujonojen {pikku sigma(f,Xn,iso ksii n)} yhteistä raja-arvoa".

Haluaisin, että joku suomentaisi ton, esim mitä toi kaikista mahdollisista summista poimittujen lukujononjen yhteinen raja-arvo tarkoittaa?

Lue lisää

jokainen summa suppenee kohti SAMAA raja-arvoa, kun jakovälit tihennetään "äärettömän" kapeiksi eli jakopisteitä lisätään.

Ajattelepa vaikka funktiota (sopivassa välissä):
f(x)=1, kun x on rationaalinen,
f(x)=0, muualla.

Nyt rationaalinen jako, antaa vissiin summaksi != 0,
kun taas eirationaalinen jako antaa summaksi 0.

Kumpaakin jakoa voidaan kuitenkin tiivistää tavattoman tiheäksi. Eli funktio ei ehkä ole Riemann integroituva.

Funktio olisi kuitenkin LebesGue-integroituva, konsa rationaalilukujen joukko on numeroituvana 0-mittainen tavanomaisessa LebesGuen mielessä.

Jos kerran olet fyysikoksi aikova, niin ei ehkä ole oleellista keskittyä niinkään matematiikan todistuksiin, kuin tekniikoiden sujuvaan käyttöön.

Sitten taas jos aikomus on opiskella sangenkin pitkälle on taas välttämätöntä ymmärtää matemaattisia määritelmiä kohtuu hyvin.

Insinööritasolla riittää hyvä laskutekniikka, joskin jälleen pätee: mitä pitemmälle pyrkii, sitä varmemmin on taas matikka perusteiltaan ymmärrettävä.

Klassinen fysiikkahan kuvataan ja ymmärretään nimenomaan integrointikaavojan ja derivoinnin muodossa.
Ihan vaikka F=dp/dt eli voima on impulssin ajallinen muutos.

Integrointi taas sinänäsä on tärkeää siksi, että se soveltuu sangen laajaan funktioluokkaan ja juuri tuolla jakovälipolitiikalla voi approksimoida varsin tehokkaasti, kun taas derivointi toimii vain derivoituvilla funktioilla.

Lisäksi integraalimuotoinen kaava on usein helpompi "lukea" fysikaalisesti.

Se on Lebesgue, ei Lebesque.

Integraali-ilpo kirjoitti:

Se on Lebesgue, ei Lebesque.

-x