Joukon alkukuva

jälkimmäinen osa ensin..

f on surjektio, sillä olkoon y=(y1,y2) mielivaltainen (maalijoukon alkio)piste,
niin piste:
x=y/sgrt(||y||),kun||y|| =/= 0
ja x=0 kun ||y||=0,
on alkukuva, sillä
||x||*x = 1/sgrt(||y||)*||y||*y/sgrt(||y||)=y ja
tapaus x=0 on triviaali.

f on myös injektio, sillä jos ||x||*x=||y||*y, niin taasen jos normi on nolla niin molemmat ovat nollia, jos ei niin => x= ||y||/||x||*y ts. x ja y ovat saman suuntaisia, jos ne ajatellaan vektoreina. ts. y= k*x (k positiivinen reaaliluku) ja näin saadaan k^2=1 eli k=1, siis f on myös injektio.

f on siis myös bijektio (surjektiivinen ja injektiivinen)

Päättele muodosta x=y/sgrt(||y||), kuinka käy B:lle, ymprän kaaret vain lähenevät origoa muoto säilyy..

Kuvaus: f:R²->R², f(x)=||x|| * x

(x1,x2) |-> ||x||( x1,x2 )

y2> |y1| eli kulman (=segmentin) y2=|y1| aidosti yläpuolinen osa leikattuna pallokuoreen
U(0,3)\U(0,1)= U(0,3)^CU(0,1)(U avoimia 2-palloja eli ympyröitä).

Noin hahmottamiseksi: r |-> |r|*r eli radiaalivektori r kerrotaan pituudellaan.
No radiaalivektorin suunta ei muutu, eli se pysyy sektorissaan. Reuna B(0,1) eli yksikköympyrä kuvautuu itselleen, sen ulkopuoli venyy ja sisäpuoli kutistuu.

(x2>|x1|) (y2=||x||x2 > ||x|| |x1| =|y1|)
eli sektori kuvautuu samaksi sektoriksi

||y|| = ||x||||x||=sqrt(R).

Varmaankin alkukuva siis on sektori x2>|x1| leikattuna U(0,sqrt(3))\U(0,1).

kuvaus on bijektio kun osoitat:
(1) jokaisella y on alkukuva x
y!=0 :sqrt(||y||)!=0 ja x= (1/sqrt(||y||)) *(y1,y2) lienee R^2:ssa ja ||x|| = sqrt(||y||).
f(x) = ||x||(x1,x2) = sqrt(||y||) *1/sqrt||y||)(y1,y2)=(y1,y2)

y=0 : x=0 0*(0,0) = 0.


jne:
(2) X1 != X2 => Y1 != Y2
(2') Y1=Y2 => X1=X2