Mikä on pienin sellainen positiivinen kokonaisluku, joka voidaan esittää kolmellatoista eri tavalla kolmen erisuuren positiivisen kokonaisluvun kuutioiden summana? Mitkä ovat nämä kolmetoista esitystä?
Esim. luku 36 on pienin tällainen positiivinen kokonaisluku, jolla on etsittyä muotoa oleva esitys, sillä 36 = 1^3 2^3 3^3.
Kokonaislukujen esitys kuutioiden summana
HaastettaKehiin
17
333
Vastaukset
- 12+4
http://keskustelu.suomi24.fi/node/12788616
eikö sen voi laskea samaan malliin? - 17+5
Onko järjestyksellä väliä? Jos on, sanoisin että tuo luku on 45 (kahden ykkösen, kahden kakkosen ja yhden kolmosen kuution summat eri järjestyksissä).
- Luehan
Eikö nimimerkki '17 5' ymmärrä lukemaansa?
- 17+11
Luehan kirjoitti:
Eikö nimimerkki '17 5' ymmärrä lukemaansa?
Kyllä tuo järjestyskysymys on mielestäni relevantti, esim. tuo 36 voidaan esittää kuudella eri tavalla 1, 2 ja 3 kuutiosummina eri järjestyksissä.
- 17+5
Luehan kirjoitti:
Eikö nimimerkki '17 5' ymmärrä lukemaansa?
Kun nikki Luehan lähti solvauslinjalle, on ehkä syytä hieman analysoida tuota kysymyksenasettelua. " joka voidaan esittää kolmellatoista eri tavalla kolmen erisuuren positiivisen kokonaisluvun kuutioiden summana".
Jotta olisi yksikäsitteisempi, kirjoittaisin seuraavasti: "joka voidaan esittää kolmen luvun kuutiosummana. Nämä luvut ovat erisuuria kokonaislukuja eikä yhteenlaskun tekijöiden järjestyksellä ole merkitystä".
Matematiikassa tulisi olla täsmällinen. Nikille Luehan se ei näytä olevan tärkeätä, enemmänkin muiden keskustelijoiden mollaaminen.
- 17+5=23
Ensimmäinen positiivinen kokonaisluku, joka voidaan esittää kahdella eri tavalla kolmen erisuuren positiivisen kuutioluvun summana, on 1009.
1009=1^3 2^3 10^3=4^3 6^3 9^3. - Tiina97
5104?
- HaastettaKehiin
Luku 5104 on tosiaankin pienin sellainen positiivinen kokonaisluku, joka voidaan esittää kolmella eri tavalla kolmen erisuuren positiivisen kuutioluvun summana.
Nimittäin 5104 = 1^3 12^3 15^3 = 2^3 10^3 16^3 = 9^3 10^3 15^3. - 15+7
HaastettaKehiin kirjoitti:
Luku 5104 on tosiaankin pienin sellainen positiivinen kokonaisluku, joka voidaan esittää kolmella eri tavalla kolmen erisuuren positiivisen kuutioluvun summana.
Nimittäin 5104 = 1^3 12^3 15^3 = 2^3 10^3 16^3 = 9^3 10^3 15^3.Entä sitten?
Eihän tuossa mitenkään vastata alkuperäiseen kysymykseen.
- supermate
Modulossa 7 kuutiot ovat vain 0, 1 ja -1. Tästähän ei ole mitään hyötyä, kun summataan kolme, joten kaikki mahdolliset jäännökset modulossa 7 ovat kuitenkin saatavissa. Voisipa kuitenkin ajatella, että jos luku on (monillakin tavoin) kolmen kuution summa, niin se todennäköisesti ei ole 3 (mod 7) tai -3 eli 4 (mod 7), sillä ei ole todennäköistä, että kaikki summattavat kuutiot olisivat juuri 1 tai -1. Mutta kuten sanottu, tästä ei ole mitään hyötyä ratkaisun kannalta, kunhan nyt kirjoittelin kun pohdin, että olisi kelloaritmeetikasta mitään hyötyä ratkaisun kannalta. On kyllä tosi kinkkinen tehtävä, täytyy sanoa. :-D
- enosaa
Mistä tämä tehtävä on? Siis jos tämä on vaikka läksy tai joku kilpatehtävä, niin voisi olettaa, että ratkaisu on löydettävissä. Luku 28^12 on käsittääkseni esitettävissä kolmen positiivisen kuution summana 13 eri tavalla, mutta minulla ei ole hajuakaan, miten sen todistaisi olevan minimiratkaisu.
- supermate
Mistä tämä käsitys? Mitkä ne esitykset ovat? Wolfram Alpha ei suostu tuota komentoa
PowersRepresentations[28^12,3,3]
laskemaan ja kun ei parempia laskukoneita tässä nyt ole niin en pysty tarkistamaan. Mathematicalla tuo tietysti menisi, mutta miten pitkään siinä sitten menee... Mitenköhän tuo algoritmi PowersRepresentations toimii? - enosaa
supermate kirjoitti:
Mistä tämä käsitys? Mitkä ne esitykset ovat? Wolfram Alpha ei suostu tuota komentoa
PowersRepresentations[28^12,3,3]
laskemaan ja kun ei parempia laskukoneita tässä nyt ole niin en pysty tarkistamaan. Mathematicalla tuo tietysti menisi, mutta miten pitkään siinä sitten menee... Mitenköhän tuo algoritmi PowersRepresentations toimii?On voimassa (q^4-9*p^3*q)^3 (3*p*q^3-9*p^4)^3 (3*p^2)^6=q^12. Nyt pitää valita q niin suureksi, että kaikki termit ovat positiivisia kun p=1,...,13. Tämä onnistuu kun q=28. En tunne Mathematicaa, varmaan muutama millisekunti. Tein itse Pythonilla:
q=28
for p in range(1,14):
print(str(q**4-9*p**3*q) "^3 " str(3*p*q**3-9*p**4) "^3 " str((3*p**2)**2) "^3=" str(q**4) "^3")
tulostaa
614404^3 65847^3 9^3=614656^3
612640^3 131568^3 144^3=614656^3
607852^3 196839^3 729^3=614656^3
598528^3 261120^3 2304^3=614656^3
583156^3 323655^3 5625^3=614656^3
560224^3 383472^3 11664^3=614656^3
528220^3 439383^3 21609^3=614656^3
485632^3 489984^3 36864^3=614656^3
430948^3 533655^3 59049^3=614656^3
362656^3 568560^3 90000^3=614656^3
279244^3 592647^3 131769^3=614656^3
179200^3 603648^3 186624^3=614656^3
61012^3 599079^3 257049^3=614656^3 - jokumatikkahärö
supermate kirjoitti:
Mistä tämä käsitys? Mitkä ne esitykset ovat? Wolfram Alpha ei suostu tuota komentoa
PowersRepresentations[28^12,3,3]
laskemaan ja kun ei parempia laskukoneita tässä nyt ole niin en pysty tarkistamaan. Mathematicalla tuo tietysti menisi, mutta miten pitkään siinä sitten menee... Mitenköhän tuo algoritmi PowersRepresentations toimii?Osoitteessa http://mathematica.stackexchange.com/questions/11886/powersrepresentations-algorithm on annettu kaksi linkkiä artikkeleihin, joissa on luku esitetty potenssien summana ja yksi linkki neliöiden summiin. En kuitenkaan pääse lukemaan artikkeleja. On vaikea sanoa, käyttääkö Mathematica noiden artikkelien menetelmiä.
enosaa kirjoitti:
On voimassa (q^4-9*p^3*q)^3 (3*p*q^3-9*p^4)^3 (3*p^2)^6=q^12. Nyt pitää valita q niin suureksi, että kaikki termit ovat positiivisia kun p=1,...,13. Tämä onnistuu kun q=28. En tunne Mathematicaa, varmaan muutama millisekunti. Tein itse Pythonilla:
q=28
for p in range(1,14):
print(str(q**4-9*p**3*q) "^3 " str(3*p*q**3-9*p**4) "^3 " str((3*p**2)**2) "^3=" str(q**4) "^3")
tulostaa
614404^3 65847^3 9^3=614656^3
612640^3 131568^3 144^3=614656^3
607852^3 196839^3 729^3=614656^3
598528^3 261120^3 2304^3=614656^3
583156^3 323655^3 5625^3=614656^3
560224^3 383472^3 11664^3=614656^3
528220^3 439383^3 21609^3=614656^3
485632^3 489984^3 36864^3=614656^3
430948^3 533655^3 59049^3=614656^3
362656^3 568560^3 90000^3=614656^3
279244^3 592647^3 131769^3=614656^3
179200^3 603648^3 186624^3=614656^3
61012^3 599079^3 257049^3=614656^3Minun laskujeni mukaan pienin tällainen kokonaisluku on 119095488.
Tällä luvulla on esitykset
119095488
= 24^3 204^3 480^3
= 48^3 85^3 491^3
= 72^3 384^3 396^3
= 113^3 264^3 463^3
= 114^3 360^3 414^3
= 149^3 336^3 427^3
= 176^3 204^3 472^3
= 190^3 279^3 449^3
= 207^3 297^3 438^3
= 226^3 332^3 414^3
= 243^3 358^3 389^3
= 246^3 328^3 410^3
= 281^3 322^3 399^3
Nimimerkin 'enosaa' esittämä ratkaisu ei siis ole lähelläkään pienintä, mutta käytetty tekniikka on mielenkiintoinen. Olisi mielenkiintoista kuulla, miten 'enosaa' on polynomiyhtälöönsä päätynyt.- enosaa
MattiKSinisalo kirjoitti:
Minun laskujeni mukaan pienin tällainen kokonaisluku on 119095488.
Tällä luvulla on esitykset
119095488
= 24^3 204^3 480^3
= 48^3 85^3 491^3
= 72^3 384^3 396^3
= 113^3 264^3 463^3
= 114^3 360^3 414^3
= 149^3 336^3 427^3
= 176^3 204^3 472^3
= 190^3 279^3 449^3
= 207^3 297^3 438^3
= 226^3 332^3 414^3
= 243^3 358^3 389^3
= 246^3 328^3 410^3
= 281^3 322^3 399^3
Nimimerkin 'enosaa' esittämä ratkaisu ei siis ole lähelläkään pienintä, mutta käytetty tekniikka on mielenkiintoinen. Olisi mielenkiintoista kuulla, miten 'enosaa' on polynomiyhtälöönsä päätynyt.En keksinyt itse, vaan kysyin osoitteesta http://math.stackexchange.com/questions/1013045/how-to-compute-the-smallest-integer-which-is-sum-of-cubes-in-13-ways/1016104#1016104 apua. Toisaalta olisi kiva tietää perustelut, miksi ratkaisusi on optimaalinen.
- enosaa
enosaa kirjoitti:
En keksinyt itse, vaan kysyin osoitteesta http://math.stackexchange.com/questions/1013045/how-to-compute-the-smallest-integer-which-is-sum-of-cubes-in-13-ways/1016104#1016104 apua. Toisaalta olisi kiva tietää perustelut, miksi ratkaisusi on optimaalinen.
Tai no, nyt keksinkin sopivan ohjelman, jolla optimaalisuus todistetaan:
l = list()
for i in range(1,500):
for j in range(i,500):
for k in range(j,500):
l.append(i**3 j**3 k**3)
l.sort()
for i in range(0,len(l)-11):
if l[i] == l[i 11]:
luku = l[i]
for i in range(1,500):
for j in range(i,500):
for k in range(j,500):
if i**3 j**3 k**3==luku:
print(str(luku) "=" str(i) "^3 " str(j) "^3 " str(k) "^3")
Tulostus:
119095488=24^3 204^3 480^3
119095488=48^3 85^3 491^3
119095488=72^3 384^3 396^3
119095488=113^3 264^3 463^3
119095488=114^3 360^3 414^3
119095488=149^3 336^3 427^3
119095488=176^3 204^3 472^3
119095488=190^3 279^3 449^3
119095488=207^3 297^3 438^3
119095488=226^3 332^3 414^3
119095488=243^3 358^3 389^3
119095488=246^3 328^3 410^3
119095488=281^3 322^3 399^3
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Vain vasemmistolaiset rakennemuutokset pelastavat Suomen
Kansaa on ankeutettu viimeiset 30+ vuotta porvarillisella minäminä-talouspolitiikalla, jossa tavalliselta kansalta on ot1283912Purra on kantanut vastuuta täyden kympin arvoisesti
Luottoluokituksen lasku, ennätysvelat ja ennätystyöttömyys siitä muutamana esimerkkinä. Jatkakoon hän hyvin aloittamaans143361- 193285
- 793237
Persut huutaa taas: "kato! muslimi!"
Persut on lyhyessä ajassa ajaneet läpi kaksi työntekijöiden oikeuksien heikennystä, joita se on aiemmin vastustanut. Pe573214- 292875
- 472677
- 542617
- 672397
- 192337