Ympyrän pinta-ala

Suuri Johtajamme, Loistava Lyhdynkantajamme, Nurmijärven Keripukki ja Ajatusten Mätäjoki, osoitti, että ratkaisu löytyy aproksimaattisen intuition menetelmällä, kunhan syö uuniperunaa ja hiihtää.

Ongelmana on piin arvo. Mutta koska pii = r^2/A, arvo saadaan helposti mittaamalla ensin ympyrän ala A, kun r tiedetään. M.M.T. (Minkä Matti Todisti).

ajattele tuollaista pystyä suorakulmiota
ABCD, jonka pystysivut CA ja DB ovat pi*r ja vaakasivut AB ja CD r.
Jaat sen vakaviivoilla yhtäsuuriin osiin ja teet siitä viuhkan kutistamalla pystysivun DB pieneksi.
Nuo pienet (pi*r)/n x r vaakanelikulmiot muuttuvat lähes kolmioiksi, eli niiden pinta-ala noin puolittuu. Siis myös kokonaispinta-ala noin puolittuu.
Mutta viuhkahan muuttuu puoliympyräksi eli siis puoliympyrän pinta-ala lienee ½*pi*r * r ja varmaankin ympyrän siten pi * r^2.

Piin taas saat aikaa myöten laskettua, kun piirrät neliöarkille (maksimaalisen)ympyrän, nakkelet pienenpientä lanttia arkille ja lasket montako heitoista jää ympyrään = y ja montako = a arkille. Luku 4*y/a lähestyy lukua pi.

Koko projektin aikataulu kannatta laittaa aika pitkäksi!

Kaksi tapaa tulee heti mieleen, muitakin on olemassa:

(1) Jaa ympyrä n yhtenevään tasasivuiseen kolmioon, joilla on yhteinen kärki ympyrän keskipisteessä ja kyljen pituus on säde. Laske kolmioiden alojen summa, ja anna summassa n:n kasvaa rajatta. Kolmioiden lukumäärän n kasvaessa kolmioiden yhteenlaskettu ala lähestyy ympyrän alaa.

Saatat tarvita tietoa siitä, että lim [sin(x) / x] = 1, kun x lähestyy nollaa.

(2) Integroi origokeskisen, r-säteisen ympyrän ylempi puoliympyrä y = sqrt{r^2 - x^2} välillä [-r, r]. Näin saat puoliympyrän alan.

Tässä pitää sitten osata tehdä järkevä trigonometrinen sijoitus, jotta integrointi onnistuu.

http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi?category=2000000000000020&conference=4000000000000027&posting=22000000039210472#22000000039210472
on väännetty

koulukirjojen kirjoittajillekin mietinnän paikka joskus! Minkä luokan tai tason tiedoilla yritit itse tuota selvittää? Liittyy myös läheisesti piin mysteeriin.

Kaikenlaisia johdatteluja oppikirjat sisältävät. Yksi on, että piirretään ympyrän sisälle säännöllinen n-monikulmio. Muodostuvan yhden tasakylkisen kolmion kanta olkoon s, korkeus a ja ala 1/2*a*s. Monikulmion ala 1/2*a*(n*s), ns edustaa siis ympärysmittaa. Kun n:ää kasvatetaan, a->r (säde), ns -> 2*pii*r (kehä). Siis kun n-> suuri luku, niin ala -> puoli*säde*kehä eli 1/2*r* (2*pii*r) = pii*r^2 mot.

Matemaatikkojen tehtävänä on kaiketi arvostella, missä määrin päteviä (matemaattisesti) tällaiset todistelut ovat. Vai onko vain tehtävänä uskotella oppilaille, että näin on, ja silloin opettajalla (ja oppikirjan tekijälläkin) olisi kaikki hyvin. Mutta joku sattuu kuitenkin kysymään, miten se täsmällisesti todistetaan. Silloin lienee vain sanominen, että josko malttais odottaa tuonne lukion pitkän matematiikan loppupuolelle 8-| Siellä havaitaan esim. että ympyrän kehä on pinta-alansa derivaatta; siihen tosiasiaan voi perustaa yhden matemaattisesti kiistattoman todistuksen (luulen).
Myös eri lausekkeiden täsmälliset raja-arvomäärittelyt käsitellään vasta differentiaalilaskennan yhteydessä (esim. ylempänä mainittu sin(x)/x raja-arvo). Kun tällaisia on ns.hyväksytty pohjalle tosiasioiksi, niitten päälle ja varaan eri todistuksia on mahdollista kehitellä.

Kehän ja halkaisijan suhdetta eli piin olemusta lukuna on mietitty jo aikojen alusta (kehän pituus pii*d:hän tulee tästä määrittelystä). Piin historiaa voi lukea vaikka wikipediasta. On pitänyt todeta, että pii on irrationaalinen elikkä jaksottomia desimaaleja riittää loputtomiin. Mutta on pitänyt hyväksyä vielä, että piin 'epäjärjellisyys' nousee vielä vähintään toiseen potenssiin; se on luonteeltaan eri kuin esim neliöjuuri(2). Sqrt(2)-mitanhan voi ottaa esim. 1-neliön lävistäjästä harpilla, mutta on osoitettu, että pii-mittaa ei voi ottaa vastaavalla tavalla mistään piirroskonstruktiosta. Se on tässä mielessä 'ylijärjetön', sanotaan transsendenttiluvuksi tai transkendenttiluvuksi (tuosta kirjoitusasusta kieli-ihmiset kiistelevät :) Myös Neperin luku e on tällainen. (Seuraava aste sarjassa olisi imaginäärinen, 'megajärjetön' ehkä; vaikeudeksi tulee jo sama kuin pyykkipulverin markkinoijalla: adjektiivit loppuu... no pii on reaaliluku kuitenkin :)

Matemaatikoille kysymys: voiko vielä irrationaaliset ei-transkendenttiluvut numeroida, eli missä mahtavuuksien raja kulkee. Ja toinen: onko piin irrationaaliseksi ja myös transkendentiaaliseksi todistamiset jo korkeamman asteen humooria vai onko ne kenties ymmärrettävissä pitemmällä koulumatematiikalla.

Btw, pii (lukuarvoltaan) on yhtälailla kömpelö kuin armeijan lusikkahaarukkamysteeriokin, mutta niin yleinen, että se on pakko sietää tuli mitä tuli. Toisaalta sen kanssa on vietetty monta kisaa varmaankin: lienee tutkittu, onko muistettujen desimaalien määrä suoraan vai kääntänen verrannollinen juotujen oluiden määrään...tällä hetkellä muistan neljä..

Voi hyvät ihmiset.Minkä takia lähteä merta edemmäksi kalaan kun tuon ympyrän pinta-alan voi määrittää kongreettisemminkin.
Esimerkiksi Sigma 2:Geometria kirjasta löytyy hyvä geometrinen todistus,joka antaa hyvän ymmärryksen siitä kuinka tuo ympyrän ala muodostuu.
Vaikka luettekin pitkää matematiikkaa,niin ei niitä aivoja nyt joka kerta tarvitse tunkea siihen analyytisyyden piparkakkumuottiin.

Tässä se todistus:

Kun ympyrä pilkotaan äärettömän moneen pieneen yhtäsuureen osaan ja ne osat laitetaan vierekkäin,niin tadaa,syntyy suorakulmio.
Tuon suorakulmion kanta on puolet ympyrän piiristä,eli pii*r ja korkeus on säde r.
Tuon suorakulmion pinta-ala on siis kanta*korkeus=pii*r*r=pii*r^2

T:Älkää laittako aivoja narikkaan.

en minäkään, mutta hienoa, että joku on tommoisenkin kaavan saanut kehitettyä, on nyt helpompi laskea esim. piirakkavuoan pinta-ala (pyöreän) verrattuna suorakaiteen muotoiseen

Säännöllisissä kappaleissa ala on rajoittavien tulo. Kierrät sädettä kehän mitan niin saat ympyrän peittoon. Kehä on toinen rajoittava mitta ja se on 2*pii*säde. Toinen rajoittava mitta on säde. Eli ala olisi silloin 2*pii*säde toiseen mutta oppikirjojen mukaan näin ei ole. Miksi ei?

Jo kauan on tiedetty, että ympyrälle pätee
s = r * 2 pii # s on kaaren pituus ja r on säde
2 pii voidaan katsoa edustavan täyden kierroksen kulmaa. Muille kulmille fii pätee
s = r fii
Differentioimalla saadaan
ds = r dfii # eli kaarialkion pituus = r * kulma-alkio dfii
dA = (1/2) r ds = (1/2) r^2 dfii # kolmion pinta-alan säännöstä
Intergroidaan yli kulman fii
A-A0 = (1/2) r^2 (fii-fii0)
Koko ympyrälle fii käy nollasta täyteen kulmaan eli 2*pii:hin. A0=0 ja fii0=0. Siis
fii = 2 pii
ja
A = pii r^2 # täyden kierroksen kulmaa vastaava pinta-ala eli koko ympyrän ala