Meillä on matikan kotikokeessa tehtävä, jossa on ensin pitänyt selvittää pyörähdysparabeloidin muotoisen maljan tilavuus ja massa ja sitten pitäisi laskea, kuinka syvälle kappale uppoaa, kun sen laittaa veteen kellumaan. Maljan materiaalin tiehys on tunnettu (lähellä veden tiheyttä) ja massan olen laskunutkin jo. En millään muista, miten tällaisia laskuja lasketaan... Arkhimedeen lakia kai tässä pitäisi jotenkin soveltaa?
Olisin kiitollinen kaikesta avusta!
Olisin kiitollinen kaikesta avusta!
Vastaukset 10
Vanhimmat
http://fi.wikipedia.org/wiki/Arkhimedeen_laki
Piirrä vapaakappalekuva jonka jälkeen voimien summa sigma F = m*a missä a = 0 kun kappale on tasapainotilassa.
Sinun olisi pitänyt saada maljan tilavuudelle kaava: V=pii*r^2*h/2.
Arkhimeden lain mukaan kappaleeseen kohdistuu noste, joka on sen syrjäyttämän vesimäärän paino, eli N=roo(vesi)*g*V.
Kun se kappale kelluu, niin noste on yhtä suuri kuin kappaleen paino mg.
mg=roo(vesi)*g*pii*r^2*y/2, ja tuosta ratkaistaan y, joka on kappaleen veden alla olevan osan korkeus, eli niin syvälle se uppoaa.
Jos se paraboloidi on kuitenkin annettu esim. halkaisija ja korkeus, on siitä ensin muodostettava paraabelin yhtälö y=ax^2, joka sitten pyörähtää y-akselin ympäri.
Tuohon yhtälöön pitää ensin sijoittaa x=r ja y=h, jolloin saadaan h=ar^2=>a=h/r^2.
Paraabelin yhtälö on y=h/r^2*x^2, ja tämä nyt pyörähtää y-akselin ympäri matkalla
0---h.
Tilavuus on V=pii*int 0-----h (yr^2/h)dy, ja tuosta tulee V=pii*h^2r^2/(2h)=½*pii*h*r^2
Mutta eikö samaan pääse vähän helpommin, jos paraabeli on y=x^2, niin tilavuus on int 0...h pii*y*dy -> ½*pii*h^2
Periaatteeltaan ratkaisu on: tilavuus on int 0....h pii*x^2*dy, ja tuohon
sijoitetaan paraabelin yhtälöstä ratkaistu x^2. Silloin kun paraabeli on y=x^2 tulee tuo
int 0...h pii*y*dy -> ½*pii*h^2.
Tuo pätee vain erikoistapaukselle y=x^2, eli h=r^2
Jos paraabeli on kuitenkin y=ax^2 tulee: x^2=y/a, ja tilavuus on int 0...h pii*y/a*dy -> ½*pii*h^2/a, ja koska a=h/r^2, niin ½*pii*h*r^2.
Kerrotko jonkun pätevän syyn miksi tilavuuden kaava täytyisi saada kahden muuttujan funktioksi, varsinkin kun ovat toisistaan riippuvia.
Miksi sotkea selvää asiaa , jos tarkoituksenmukaisuus vaatii tilavuuden mm. x.n funktiona, niin se, mutta tässä riittää että V=½*pii*h^2/a eikä mitään muuta !
Se syy oli ihan siinä alussa lauseessa: "Jos se paraboloidi on kuitenkin annettu esim. halkaisija ja korkeus". Niin sen kuvittelen annetun.
Eihän tuossa oo mitään järkee, ei paraboloidia voi määritellä noilla suureilla .
Parabelin yhtälö on tunnettava jos yleensä tilavuutta halutaan haarukoida ja sen jälkeen säde ja korkeus ovat toisistaan riippuvia eli jompi kumpi riittää.
Kaikki muu on turhaa asian sotkemista tai ymmärryksen puutetta.
Paraabelin yhtälö saadaan kolmella pisteellä, ja kun kulhon huippu laitetaan origoon, pisteet ovat (-r, h), (0, 0) ja (r, h), jossa r on suurin säde ja h korkeus. Integroimalla saadaan tilavuus. Taulukkokirjassa on kuitenkin kaava V=1/2*pi*r^2*h, joten sitä varmaan voi käyttää suoraan.
Tuo kaava on parabelille jonka yhtälö on y=x^2
Paraabeli on yleisessä muodossaan y=ax^2 bx c
On hyvä katsoa mitä kaavaa katsoo silloin kun tällaiseen täytyy hakea valmista apua.
Vertaillaan näitä kaavoja, ja tehdään uusikin kaava:
http://www.aijaa.com/v.php?i=003499006177.jpg
Sitten kun lasketaan tätä varsinaista kysymystä, eli kuinka syvälle R-säteinen ja H-korkuinen malja uppoaa, niin käyttökelpoinen kaava on: V=pii*R^2/(2H)*h^2.
Nyt: roo(vesi)*g*V=mg=>h=Sqrt((2Hm/(roo*pii*R^2))