Minkä helvetin takia en ole hoksannut yhtälöiden/lausekkeiden sieventämistä.
Perusidea on hanskassa ja osaan sen, mutta tuossa insinöörien pääsyoppaassa tunnen itseni aivan hanskaksi, koska en ole ihan löytänyt sitä punaista lankaa esim murtoluvuista koostuvan yhtälön sieventämistä. Ja vielä lausekkeen purkaminen onkin vasta päänvaiva....
Muuten vektoreista ydinfysiikkaan kaikki on kunnossa. Mutta onko tuo edellämainittu ongelmani sitten vain liian helppo?
Osaan ne pänttäämällä ulkoa, mutta olen rationaalinen ja haluan tietää sen ytimen ja punaisen langan! Kertokaa jokin pieni solmua avaava juttu.
Elikkä lausekkeen purkaaminen ja pelkistäminen?
Perusidea on hanskassa ja osaan sen, mutta tuossa insinöörien pääsyoppaassa tunnen itseni aivan hanskaksi, koska en ole ihan löytänyt sitä punaista lankaa esim murtoluvuista koostuvan yhtälön sieventämistä. Ja vielä lausekkeen purkaminen onkin vasta päänvaiva....
Muuten vektoreista ydinfysiikkaan kaikki on kunnossa. Mutta onko tuo edellämainittu ongelmani sitten vain liian helppo?
Osaan ne pänttäämällä ulkoa, mutta olen rationaalinen ja haluan tietää sen ytimen ja punaisen langan! Kertokaa jokin pieni solmua avaava juttu.
Elikkä lausekkeen purkaaminen ja pelkistäminen?
Vastaukset 9
Vanhimmat
jokin esimerkki niin pääsee paremmin jäljille mistä kiikastaa.
Sieventämisellä lauseke saatetaan mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon, jotta sen laskemisessa esimerkiksi tarvitaan minimimäärä operaatioita.
Taisin nyt hoksaa jutun juonen. Minua vain hämäsi se miten 15/3 oli yhtäkkiä muuttunut 3/2 mutta nyt kun katselin pirteämpänä kirjaa niin ymmärsin sen automaattisesti, että 15/3 on sama asia kuin 3/2. "Keep it simply stupid"
Lausekkeen purkaminen pitää vielä treenaa selkärankaan.
Tuota, tulikohan tuossa typo? Ettet vain tarkoittanut esim 15/10?
15/3 = 5 != 3/2 = 1.5
Sieventäminen on itse asiassa varsin tylsää hommaa. Seuraavassa joitakin sääntöjä:
Tehdään aina mitä voidaan laskusääntöjen puitteissa.
Tehdään kertolaskut summalausekkeen termeissä. Esimerkiksi jos termissä on
3x^3 * 2x, niin se korvataan tietysti termillä 6x^4.
Yhdistetään polynomissa tai summalausekkeessa samanmuotoiset termit. Esimerkiksi jos siinä on termit 2x^2 ja -3x^2, niin ne korvataan termillä -x^2.
Jos summalausekkeen temit ovat polynomien tuloja,niin suoritetaan ensin kertolaskut.
(a 2b) (a - b) 3a(a b) = a^2 - ab 2ab - 2b^2 3a^2 3ab
= 4a^2 4ab - 2b^2.
Jos tällainen lauseke esiintyy murtolausekkeen osoittajana tai nimittäjänä, niin voidaan yrittää ensin ottaa yhteisiä tekijöitä.
(a 2b)(a - b) 3(a^2 - b^2) = (a 2b)(a - b) 3(a - b)(a b)
= (a - b)(a 2b 3(a b)) = (a - b)(4a 5b).
Jos kyseessä on murtolauseke, yritetään ensin sieventää sekä jakoviivan yläpuoli että alapuoli. Sitten koetetaan supistaa lauseketta. Supistamista varten osoittaja ja nimittäjä yritetään jakaa tekijöihin.
Tekijöihin jako: Vedetään yhteiset tekijä eteen. Esim
4a b^2 - 2a^2 b = 2ab(2b - a).
Yritetään soveltaa kaavoja a^2 - b^2 = (a-b)(a b) ja
a^2 2 a b b^2 = (a b)^2. Esim 9b^2 - 4a^2 = (3b - 2a) (3b 2a).
Kun murtolausekkeen osoittaja ja nimittäjä on jaettu tekijöhin, supistetaan jos voidaan. Periaatteessa voitaisiin määrätä osoittajan ja nimittäjän s.y.t (suurin yhteinen tekijä), mutta alkeistasolla se on turhaa hienostelua. Supistetaan vaan niin kauan kuin voidaan.
Neliöjuurilausekkeissa juuren alusta sievennetään. Sitten voidaan kokeilla sen tekijöhin jakoa. Jos siitä irtoaa tekijä, joka on neliö, sen neliöjuuri tuodaan ulos juuresta:
sqrt(4x^3 - 8x^4) = sqrt(4x^2(x - 2x^2)) = 2x sqrt(x - 2x^2).
Kaikkein kamalimpia ovat murtolausekkeiden summat. Niissä täytyy termeihin saada sama nimittäjä. Sitä varten kukin murtolauseka lavennetaan sopivalla lausekkeella, jotta kaikkiin tulee sama nimittäjä. Jos ei mitään muuta keksi, niin nimittäjien tulo sopii aina. Voi tosin välttää paljon ruumiilista työtä, jos valitsee yhteiseksi nimittäjäksi nimittäjien yhteisen jaettavan (siis lausekkeen joka on jaollinen kaikilla nimittäjillä). Paras on nimittäjien pienin (yksinkertaisin) yhteinen jaettava (p.y.j).
1/(a b) 1/(a - b) 1/(a^2 - b^2)
= ((a-b)(a^2 - b*2) (a b)(a^2 - b^2) (a-b)(a b)) /((a b)(a-b)(a^2- b^2)), jne
mutta parempi on tietysti
((a-b) (a b) 1) / (a^2 - b^2) = (2a 1) / (a^2 - b^2)
Sieventämiseen ei kuitenkaan ole mitään täysin koneellista sääntöä (lukuunottamatta mutkikkaita sievennysohjelmistoja). Se vaatii sekä harjotusta että jonkinlaista kokemuksen avulla tulevaa vainua. Mikä sitten on paras sievennyksen lopputulos. Se on jossain määrin makuasia. Edellä olevassa murtolausekkeesta voidaan sanoa, että ei alkuperäinenkään muoto mienkään mahdoton ole. Erimerkiksi linssikaavaa
//a 1/b = 1/f tuskin kannattaa muokata muuhun muotoon.
Tässä vielä yksi hyödyllinen esimerkki sieventämisestä:
(x³ 2x² 5x 10) / (x² 5) = (x²(x 2) 5(x 2)) / (x² 5) = (x 2)(x² 5) / (x² 5) = x 2
Vielä muutama huomautus mutkikkaiden lausekkeiden sieventämisestä:
Jos lausekkeessa on sulkuja, sievennetään ensin sisimpien sulkujen sisällä oleva lauseke ja siitä edetään sitten ulospäin.
Sievennysten aikana ei välttämättä tarvitse kirjoittaa koko lauseketta uudelleen, kun jossain tehdään jokin pieni muunnos. Merkitään osia vaikkapa kirjaimilla A, B,C,.. ja sievennetään jokainen osa erikseen. Sievennetyt osat sijoitetaan sitten omiin paikkoihinsa. Näin voidaan tehdä sievennyksen eri vaiheissa. Tästä on myös se etu, että pienempien osien virheeömyyttä voidaan paremmin tutkia sen sijaan, että raahattaisiin mukana lauseketta, joka ei tahdo mahtua edes paperille. Laskut kannattaa pitää järjestyksessä.
Sieventämisessä tulee melko varmasti virheitä varsinkin, jos tehtäväpaperi alkaa muistuttaa Dhakan slummia. Jos hallitsee sujuvasti myös tietokoneen ohjelmoinnin, niin sievennyksen voi tarkistaa siten, että ohjelmoidaan alkuperäinen ja sievennetty muoto. Lasketaan sitten muutamilla satunnaisilla parametrien arvoilla alkuperäisen ja sievennetyn lausekkeen arvot. Kun käytetään 64 bitin double precision-lukuja, niin lausekkeiden arvojen pitäisi olla samat ainakin 10 numeron tarkkuudella, mikäli parametrit ovat lausekkeiden määrittelyalueella ja eivät ole aivan singulaaripisteiden lähellä. Ohjelman kirjoittamisessa voidaan käyttä apuna yllä mainittua ositusta. Se auttaa myös virheiden paikallistamisessa.
Tässä menetelmässä on tietysti se haitta, että ohjelmoinnissakin voi tehdä virheen, ja siinä sitten sitä ihmetellään. Menetelmää kannattaa kuitenkin käyttää, jos kyseessä on sillan kestävyys tai väitöskirjan teko.
Jos käytössä on sopiva ohjelmisto sievennyksen avuksi (Mathematica yms), niin tietysti kannattaa käyttää sen tarjoamia mahdollisuuksia.
Kiitos nämä avasivat paljon : ) kertaan ahkerasti ja nyt olen jo saannut kaikki laskut tehtyä teidän avulla ja vieläpä oikein.
Itse en kyllä tiedä tuohin vastausta