Jospa kysäisen taas klassisen laskutehtävän
Jännitetyn jousen varassa on massa 1kg, jousi on jännitetty 0-asennostaan vaakasuuntaan 5cm etäisyydelle ja voima on tässä kohtaa 5 N.
Kyseessä on lautasjousi, jonka voima kasvaa 2 cm matkalla niin että se noudattaa muotoa 1/s, siis 3 cm kohdalla voima on 25/3 N.
Kuinka kauan massan liike paikaltaan tuohon 3 cm kohdalle kestää kun jousi vapautetaan ?
Jousen massa ja muut muuttujat jätetään huomiotta.
Jännitetyn jousen varassa on massa 1kg, jousi on jännitetty 0-asennostaan vaakasuuntaan 5cm etäisyydelle ja voima on tässä kohtaa 5 N.
Kyseessä on lautasjousi, jonka voima kasvaa 2 cm matkalla niin että se noudattaa muotoa 1/s, siis 3 cm kohdalla voima on 25/3 N.
Kuinka kauan massan liike paikaltaan tuohon 3 cm kohdalle kestää kun jousi vapautetaan ?
Jousen massa ja muut muuttujat jätetään huomiotta.
Vastaukset 45
Vanhimmat
Lasketaan nyt jotakin. ½k*(5/100)^2=½k*(3/100)^2 ½mv^2=>v^2=k*(2/5)^2.
y`` k/y=0 (y=s, x=t)
y`=p (p=v)
y``=pdp/dx =>pdp/dx k/y=0=>pdp=-kdx/y
p^2=-2k*lny p^2=v^2 , y=t =>4/25*k=-2k*ln(t)=>t=e^(-2/25) noin 0,9 s
Toi meni ihan päin h...ä, täytyy miettiä lisää
Lasketaan nyt jotakin. ½k*(5/100)^2=½k*(3/100)^2 ½mv^2=>v^2=k*(2/5)^2.
y`` k/y=0 (y=s, x=t)
y`= dy/dx=p, y``=pdp/dy
pdp/dy k/y=0=>pdp=-kdy/y=>½*p^2=-k(lnC*y) v^2=p
k*4/25=-2k*ln(C*3)=>C=(e^(-2/25))/3
(y`)^2 2k*ln(C*y)=0, (k =25), en jaksa enempää, varmaan tämäkin väärin
ainakin toi p^2=v^2
ms'' = m*dv/dt = -k/s, k = 0,25 Nm
Koska d/dt (ln(s/so)) = 1/s*ds/dt = v/s, saadaan
d/dt (ln(s/so)) = -m/k*v*dv/dt = -m/(2*k)*d(v^2)/dt
Integroimalla saadaan ln(s/so) = -m*v^2/2*k, joten
v = sqrt(2*k/m*ln(so/s) ja s = so*exp(-m*v^2/2*k)
dt = ds/v, sijoittamalla edelliset ja intergroimalla saadaan T
Mutta miksi kaavasta
v = sqrt(2*k/m*ln(so/s), pitäisi ratkaista s ?
kun dt= ds/v , niin sehän voidaan integroida suoraan em kaavasta.
Helppous vaan näyttää loppuvan tähän vaiheeseen.
Differentrioimalla ja sijoittamalla saadaan T:lle integraali funktiosta exp(-v^2) mikä ei ratkea suljetussa muodossa.
Siis ds = so*exp(-m*v^2/2*k)*(-m/k)*vdv
Mistä dt = so*exp(-m*v^2/2*k)*(-m/k)*dv
v:n intergointi nollasta nopeuteen v1=sqrt(2*k/m*ln(so/s1)
Kone antaa tollasen ratkaisun (s0 =a )
http://www.wolframalpha.com/input/?i=dt/ds= 1/sqrt(2*k/m*ln(a/s)
http://www3.wolframalpha.com/input/?i=integrate 1/sqrt(-½*ln(20x)) from 0 to 0.03
http://aijaa.com/CoXJ5H
onkohan toi kuvakaan edes oikein ?
Ei mielestäni, koska lähtötila oli 5 cm ja lopputila 3 cm.
Voima on alkutilassa 5 cm kohdalla 5 N ja lopputilassa 3 cm kohdalla 25/3 N ?
Eihän tuo voi noin mennä.
Aloitus on niin sekava, että ei tuota viitsi alkaa laskemaan, kun ei saa alkutilanteesta ja jousen ominaisuuksista selvää.
Tuo integrointiraja on kyllä vaihdettava 0.02:ksi, ei siinä muuten mitään johdonmukaisuutta ole. Aika putoo aika lailla (vitsi)
http://www3.wolframalpha.com/input/?i=integrate 1/sqrt(-½*ln(20x)) from 0 to 0.02
http://www3.wolframalpha.com/input/?i=plot sqrt(-½*ln(20x))
ei tuo nopeuskäyrä hullummalta näytä, en tosin ymmärrä lautasjousista mitään
Kalvojousen ominaisuus on juuri se että sen puristusvoima kasvaa tiettyyn maksimiin nollakohtiensa välillä ja heikkenee sitten .
Tehtävässä on yksinkertaistettu jousivoima muotoon 1/s, todellisuudessa se on jotain (cos(x)-c)*sin(x)
Tehtävä kuvaa likimain jousen tartuntanopeutta.
Sulla kulkee lautasjousessa x- väärään suuntaan.
Siis 3 ja 5 vaihtaa paikkaa.
Tarkoitus ei liene puuttua lautasjousen mekaniikkaan, vaan laskentaan kun voima muuttuu esitetyn mukaisesti.
-1/(4x) on voiman muutosnopeus. Alussa jousi on sen viisi senttiä jännitettynä, eli voima on 5 N, ja kun se jousi palautuu lepotilaan voima pienenee nollaan. koordinaatisto on ikäänkuin suhteellinen, siksi juuri vaihdoin tuon integrointirajankin 0.02:ksi, koska sen verranhan siinä vaan jousi palautuu.
Jousen energia lähtöasemassa on ¼*ln(5/100), noin –1/4*3
Jousen energia väliasemassa on ¼*ln(3/100), -1/4*3.5
E lähtö on suurempi kuin E väli
Energiaperiaatteella: 1/4ln(5/100)=1/4lnx ½m(dx/dt)^2
½ln(1/(20x)=(dx/dt)^2
-½ln(1/(20x)=-(dx/dt)^2
½ln(20x)=-(dx/dt)^2
(dx/dt)^2=-½ln(20x) , tuli yllättäen sama lauseke kuin aikaisemminkin , ja tuon kun integroi sillä liikevälillä x, joka on 0….0.02, niin t on sen 0,022
Kyllä minun on nyt myönnettävä, että noi integroimisrajat oli tässä koko ajan väärin.
Jos tuohon laittaa oikeat, eli ne mitä minulle on koko ajan syötettykin 0,03...0,05, niin tulee 0,086 s
http://www3.wolframalpha.com/input/?i=integrate 1/sqrt(-½*ln(20x)) from 0.03 to 0.0499999999999999
jokohan se nyt olis
http://aijaa.com/zXyZuG
http://www3.wolframalpha.com/input/?i=integrate -1/sqrt(-½*ln(20x)) from 0.0499999999999999 to 0.03
Joo mun menetelmällä, kun tarkkaan laskee, kolmella merkitsevällä numerolla sama.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate 0.2*exp(-2*x^2) from 0 to 0.5054
Kysyjällä oli aikaisemmin vaikea ohjustehtävä, joka ratkesi muuttujien vaihdolla, ja vähän epäilen, että tässäkin vaihdetaan jollain kohtaa muuttujia ja saatetaan kiertää koordinaatistoakin. Integroinnista tulee varmaan helppo, mutta minun järki ei riiitä noihin muuttujien vaihtoihin...
Muuttujien vaihtaminen tarkoittaa kai käänteisfunktiota. Funktion ja käänteisfunktion derivaatat ovat kai käänteislukujen vastalukuja. Jos ottaa sellaisen tuosta aeijan integroitavasta, tulee tuon mun integroitavan muotoa oleva (e-x^2) eli ei ratkea sekään suljetussa muodossa.
Mitä ihmettä sinä kirjoittelet? Tuostahan selvästi tulee e x-x^3/3.
Siis 1/sqrt(lnx), käänteisvastaluku -sqrt(lnx), käänteisfunktio exp(-y^2)
Jos vielä täsmennän ajatuskulkuani. Annatussa tehtävässä saadaan nopeus matkan funktiona v(s) tai käänteisesti matka nopeuden funktiona s(v). Aika voidaan integroida lausekkeesta ds/v, jolloin integroitavaksi tulee muotoa 1/sqrt(ln(s)) oleva funktio. Jos halutaan välttää singulariteetti, vaikkakin funktio on integroituva, voidaan integroida nopeuden suhteen: 1/v*(ds/dv)*dv. Tällöin integroitavaksi tulee exp(-v^2) oleva funktio.
Ei ole tällä kertaa mitään lisättävää.
Katselen vain ihaillen luinka aiemmin ratkaisemattomaksi osoittautuneet ongelmat selviää lähes rutiinilla.
Ps.
Se aikaisemmin oli ajalta jolloin apuvälineinä oli taulukkokirjat ja laskutikku.
Etkö kuitenkin olisi voinut kysyä tehtävääsi selkosuomella, kun sinulla ilmeisestikin on ollut aikaa muutamia kymmeniä vuosia viilata kysymyksesi viimeistellyksi myös suomen kielen kannalta?
Eikä noissa ratkaisuissa ole esitetty mitään sellaista, mikä ei olisi ollut tiedossa esimerkiksi 50 vuotta sitten.
Olen pahoillani jos ulosantini ei ole ollut kaikilta osin kaikille aukeava, nykyinen kielenkäyttö on muuiltakin osin aika kaukana omaksumastani.
Ne kaikki tiedot varmaan oli jo aikoinaan olemassa, niiden saatavuus vaan oli silloin hieman hankalaa, toisaalta suosittu selitys pyyhkeen heittoon oli myös toteamus että opiskelijaelämään täytyy kuuluu paljon muutakin kuin näiden kanssa nyhrääminen.
Oliko Wolfram Alpha jo 50 vuotta sitten?
Sen aikaiset "tietokoneiden" valtamerkit oli Rietz ja Darmstadt.
Tässä selvitystä käyttöjärjestelmästä:
http://fi.wikipedia.org/wiki/Laskutikku
On päädytty välitulokseen
v = sqrt(2*k/m*ln(so/s).
Tuosta edelleen saadaan yhtälö
dt/ds = f(s)
Pelkkä integrointi riittää t.n määritykseen s. n funktiona, vakio määräytyy kun t=0, s=5cm, ja sijoittamalla kaavaan s=3cm antaa yhtälö t.n
nopeuden laskeminen tai integrointivälin arviointi on tarpeetonta.
Luulisin. !
v = sqrt(2*k/m*ln(so/s)) ja s = so*exp(-m*v^2/2*k)
dt = -ds/v
Differentioidaan s niin päästään singulariteetista
ds = so*exp(-m*v^2/2*k)*(-m/k)*vdv
Mistä dt = so*exp(-m*v^2/2*k)*(m/k)*dv=0,2*exp(0,5*v^2)dv
v:n intergointi nollasta nopeuteen v1=sqrt(0,5*ln(0,05/0,03)=0,51
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate 0.2*exp(-1/2*x^2) from 0 to 0.51
Tulos 0,098
Tuloksen järkevyyden voisi vielä tarkistaa olettamalla vakiovoima F=25/4 N liikeradan keskikohdalta (4 cm). Tällöin:
s0-s1=F/m*T^2/2 eli 0,05-0,03=25/8*T^2
T=sqrt(0,0064)=0,08 eli samalla hehtaarilla.
Huomasit kai että laskemasi 98 ms ei voi pitää paikkaansa.
Pelkästään alkuarvolla 5m/s^2 aika olisi alle 90 ms ja kiihtyvyys vielä kasvaa matkan varrella.
Kiihtyvyyden keskiarvon mukaan aika olisi 77 ms, joten noiden väliin se pitäisi osua.
Kasikutonen on sitten hyvä
Joo, tuli laskuvirhe tossa, piti olla dt=0,2*exp(2*v^2)dv eikä 0,2*exp(0,5*v^2)dv. Eli korjattuna: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate 0.2*exp(-2*x^2) from 0 to 0.51
Ja tulos: 0,0868 s
Aloittajan matemaatikon kyvyt eivät ilmeisestikään ole riittäneet tehtävän selvään ja yksikäsitteiseen formulointiin, vaan hän on hyväuskoisesti olettanut, että tuosta risukasasta joku saa kuitenkin kootuksi jonkinlaisen ongelmantapaisen.
Voisiko joku muu, matemaattisen formuloinnin aloittajaa merkittävästi paremmin osaava kirjoittaa tuon tehtävän suomen kielelle? Sitten tehtävän viitsisi ottaa jopa ratkaistavakseen.
Joukossa näyttää aina olevan joku, jonka ymmärrys kulkee sen verran vajaalla tasolla että ei edes käsitä tehtävää.
Kun ei osaa, niin helpointa on puuttua lillukanvarsiin ja keksiä selityksiä.
Minulle ainakin tehtävä oli aika selvä, kuten useille muillekin vastaajille.
En viitsi ryhtyä kaivelemaan tunkiota, vaikka sieltä saataisikin löytyä helmiä, kun helmet olisi voitu yhtä helposti tarjota hopealautaseltakin.
Edellä on ollut puhe lautasjousista ja kalvojousista. Itse en tiedä jousista niin paljon, että voisin sanoa, mistä on kysymys. Muistaakseni kuitenkin jousiammunnassa on tuollaisia progressiivisia jousia, eli ääriasennossa voima on pienempi kuin myöhemmässä vaiheessa.
Ne jouset ovat silloin kylläkin degressiivisiä.
Noo, se kai riippuu siitä, miten asiaa ajattelee. Netissä löytyi: progressiivinen jousitus – jäykempi kovemmalla kuormituksella. No näin kai yleensä on, että jousen puristamiseen tai venyttämiseen tarvittava voima lisääntyy kun poikkeama kasvaa. Tarkoitin oikeastaan sellaista jousipyssyä, jota jännitettäessä voimantarve ensin lisääntyy mutta sitten lisää jännítettäessä se alkaa vähetä. Vastaavasti nuoleen kohdistuva voima aluksi kasvaa sen lähtiessä. Tämä saadaan kai aikaan jonkinlaisella taljamekanismilla. Valitan väärää terminkäyttöäni, mutta ei nuo jouset mielestäni degressiivisiäkään ole.