en osannut ratkaista!

matti

Ympyrämäisen nurmikon halkaisija on D. Sen kehälle isketään tolppa, johon köytetään lammas. Kuinka pitkä tulee narun olla, että lammas yltää syömään puolet nurmikosta?

Itse en osannut, eikä kukaan kavereistanikaan ole vielä ongelmaa ratkaissut.

16

3737

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Olle

      Tämä on vanha tehtävä, joka pulpahtelee silloin tällöin esiin, ja muistelen pähkäilleeni tämän parissa jo ennen tietokoneaikaa.
      Itse tehtävä on suht. helppo, mutta vaatii kohtuuttoman työmäärän ilman nykyisiä apuvälineitä.

      Ratkaisuni lähtee siitä että koordinaatistoon sijoitetaan nurmikko siten, että kehällä oleva paalu on origossa, ja D = 2, jolloin laskun helpottamisaksi R =1 .

      Tällöin dA/dx = sqrt( L^2 - x^2 ) sqrt( 1 - x^2 ) - 1 , ja x = 0 .. sqrt(1 - ( 1 - 1/2*L^2 )^2 ) , ja kun pinta-ala merkitään A = PI / 4 , niin L on ratkaistavissa.

      No tuota kaavaa ei nykyään enää viitti ruveta käsin ratkomaan, vaan näpyttelin koneelle pienen ohjelman ja sain ratkaisuksi L = 0.5791 * D

      ps. Jos joku on kiinnostunut, niin tuon funktion integraali on :
      1/2*arcsin(x) - x x/2* sqrt(1-x^2) x/2*sqrt(L^2-x^2) - i/2*L^2 * ln(i*x sqrt(L^2-x^2) ) , niin saa käsityksen ratkaisun työläydestä.

      Ehkä helpompiakin tapoja on olemassa. ja olis kiva nähdä muitakin ratkaisutapoja.

      • matti

        Kiitos!

        Lukuisten, vuosien varrella tehtyjen yritysten jälkeen olen tajunnut, että tarkka arvo ei ole yksinkertainen juttu.

        Moni kaveri on tullut tyrkyttämään likiarvoa, jonka kyllä itsekin osaan säveltää, mutta tämä tarkka arvo on ollut hakusessa.

        Mutta... jos joku todellakin on saanut tämän tiimoilta jotain muuta aikaiseksi, niin pistäkää tulemaan viestiä!


      • jup

        Minä sain tulokseksi aivan perusgeometrialla ja analyyttisen geometrian keinoin n. 0,565*D. Voi olla ja varmaan onkin väärin. Sijoitin ympyrät kuten Olle. Käytin oletusta (tämä on varmaankin väärä), että kun kahden ympyrän rajoittama ala jaetaan kahtia siten, että ympyröiden leikkauspisteet yhdistetään, niin syntyvät osat ovat yhtä suuret. Kertokaa.


      • mikä ohjelma

        Olle, millä ohjelmalla olet kyseisen ratkaisun saanut? Oletko joskus ratkaissut kyseisen ongelman käsin? Mistä sait tuon integraalin? Aika hirveä otus.


      • Olle
        mikä ohjelma kirjoitti:

        Olle, millä ohjelmalla olet kyseisen ratkaisun saanut? Oletko joskus ratkaissut kyseisen ongelman käsin? Mistä sait tuon integraalin? Aika hirveä otus.

        Kyllä kärsivällisyys loppui siinä vaiheessa, kun piti ruveta sijoittamalla hakemaan lukuarvoa, ja jo ääriarvon sijoittaminen vaikutti niin epätoivoiselta tehtävältä, että innostus ei koskaan riittänyt loppuun asti.

        Numeerinen integrointi onnistuu kivuttomasti silmukkaohjelmalla, kun askellat vain x ,ää tuossa kaavassa, ja muutat L;ää niin että tulos on haluttu PI / 4 . ( Huomioi, että kohtuuttoman pieni askellus vain kasvattaa virhettä.)

        Eihän tossa integroitavassa kaavassa ole kuin kaksi ympyrän yhtälöå, ja ykkönen, ja jos se näyttää kauheelta, niin viimeinen termi voidaan kirjoittaa myös helpompaan muotoon
        L^2/2*arcsin(x/L)


      • juu
        Olle kirjoitti:

        Kyllä kärsivällisyys loppui siinä vaiheessa, kun piti ruveta sijoittamalla hakemaan lukuarvoa, ja jo ääriarvon sijoittaminen vaikutti niin epätoivoiselta tehtävältä, että innostus ei koskaan riittänyt loppuun asti.

        Numeerinen integrointi onnistuu kivuttomasti silmukkaohjelmalla, kun askellat vain x ,ää tuossa kaavassa, ja muutat L;ää niin että tulos on haluttu PI / 4 . ( Huomioi, että kohtuuttoman pieni askellus vain kasvattaa virhettä.)

        Eihän tossa integroitavassa kaavassa ole kuin kaksi ympyrän yhtälöå, ja ykkönen, ja jos se näyttää kauheelta, niin viimeinen termi voidaan kirjoittaa myös helpompaan muotoon
        L^2/2*arcsin(x/L)

        Onko tämä tehtävä esiintynyt joskus oppikirjoissa? Aika vaikea oppikirjatehtäväksi.


      • Bruno
        jup kirjoitti:

        Minä sain tulokseksi aivan perusgeometrialla ja analyyttisen geometrian keinoin n. 0,565*D. Voi olla ja varmaan onkin väärin. Sijoitin ympyrät kuten Olle. Käytin oletusta (tämä on varmaankin väärä), että kun kahden ympyrän rajoittama ala jaetaan kahtia siten, että ympyröiden leikkauspisteet yhdistetään, niin syntyvät osat ovat yhtä suuret. Kertokaa.

        Jos ymmärsin, niin tarkoitit ympyräsegmenttejä, jotka eivät tosiaankaan ole yhtäsuuret, ja oletus antaa liian pienen mitan narulle, joten laskut lienee sattunut muuten kohdalleen.


      • matti
        juu kirjoitti:

        Onko tämä tehtävä esiintynyt joskus oppikirjoissa? Aika vaikea oppikirjatehtäväksi.

        Isäni sen joskus toi Ruotsin tuliaisina reilu 20 vuotta sitten. Sanoi, että oli paikallisessa tiedelehdessä haastetehtävänä. Sellainen se todella on ollut!


      • sama

        Ja tässä mainion ranskalaisen virvokkeen kera jalostettu muoto :

        L^2*arccos(L/2) PI - 2*arccos(L/2) - L*sqrt(1-(L/2)^2) = 1/2*PI

        ( pitäisi löytyä analyyttisestikin ja antaa tuloksen 0.5793 *D )


      • Rahikka

        Otetaan kaksi ympyrää, joista toisen keskipisteenä on origo ja toisen jokin kehän piste eli esim. kohta (r,r) (tai )ja sitten ei muuta kuin integroimaan päällekkäistä pinta-alaa, jolle merkataan arvoksi 1. ympyrän pa/2.


      • rahikka
        Rahikka kirjoitti:

        Otetaan kaksi ympyrää, joista toisen keskipisteenä on origo ja toisen jokin kehän piste eli esim. kohta (r,r) (tai )ja sitten ei muuta kuin integroimaan päällekkäistä pinta-alaa, jolle merkataan arvoksi 1. ympyrän pa/2.

        ..toteamaan, että miksi juuri origoon, niin vastauksena: voi sen tietysti sijoittaa minne haluaa, kunhan vain toisen ympyrän kp on ensinmainitun kehällä.


      • Rahikka
        Rahikka kirjoitti:

        Otetaan kaksi ympyrää, joista toisen keskipisteenä on origo ja toisen jokin kehän piste eli esim. kohta (r,r) (tai )ja sitten ei muuta kuin integroimaan päällekkäistä pinta-alaa, jolle merkataan arvoksi 1. ympyrän pa/2.

        Laskut yksinkertaistuvat integroinnissa hieman, kun ratkaistaan ensin ympyröiden leikkauspisteet ja integroidaan näiden väli ja koteihin pohdittavaksi: on kaksi mahdollista integroimis"suuntaa"


    • Roadrunner

      Eikös A2 = 1/2*A1 => pii*(r2)exp2 = 1/2*pii*(r1)exp2
      => r2 = r1/sqrt2

      • Roadrunner

        No jo piti taas hosua.


    • Rahikka
    • Ammattilainen

      Kokeilkaa sitä näin: Otetetaan siitä ympyrästä n-asteinen keskuskulma ja törkätään se paalu sitä keskuskulmaa vastaavan jänteen keskipisteeseen.

      Olen ratkaissut tuon itse.On se aika vaikea, mutta jos pystyt ratkaisemaan tuon normaalin version, niin pystyt tämänkin.

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Hoitajalakko peruuntuu, tilalle joukkoirtisanoutumiset

      "Tehyn ja Superin hallitukset kokoontuivat tänään toteamaan, että tilanne edellyttää järeämpiä työtaistelutoimia." https://www.hs.fi/politiikka/art-2
      Maailman menoa
      739
      9154
    2. Johan tuli oikea aivopieru Britti Lordilta

      Emeritusprofessori Lordi Robert Skidelsky sanoi Suomen rikkovan YYA sopimusta joka on tehty Neuvostoliiton kanssaa 1948. Mitä pir
      Maailman menoa
      373
      7897
    3. Tehyn Rytkösellä tallessa tekstiviestit A-studiokohussa

      https://www.mtvuutiset.fi/artikkeli/a-studiosta-kohu-tehyn-rytkosen-mukaan-ministeri-linden-sai-paattaa-osallistujat-ohjelma-kiistaa-vaitteen/8407068
      Maailman menoa
      160
      5600
    4. William ja Sonja Aiello ERO

      Hyvä Sonja! Nyt etsit uudet kaverit ja jätät nuo huume- ja rahanpesu porukat haisemaan taaksesi!
      Kotimaiset julkkisjuorut
      54
      2341
    5. Oho! Seurapiirikaunotar, ex-missi Sabina Särkkä yllättää tällä harvinaisella kyvyllä: "Mulla on..."

      Sabina Särkkä on nähty monissa tv-reality-sarjoissa. Mutta tiesitkö, että Särkällä on valokuvamuisti? https://www.suomi24.fi/viihde/oho-seurapiirikaun
      Kotimaiset julkkisjuorut
      6
      2085
    6. Se siitä sitten

      Kirjoitan tänne kun en sulle voi. En vaivaa sua enää koskaan. En ikinä tarkoittanut olla ahdistava tai takertuva. Tunteet heräsi enkä osannut olla tyy
      Ikävä
      82
      1734
    7. Ohhoh! Rita Niemi-Manninen otti ison tatuoinnin - Herätti somekansan: "Täydellinen paikka!"

      Rita Niemi-Mannisen suuri, uusi tatuointi on saanut somekansan heräämään talvihorroksesta. Niemi-Manninen otti tatskan rakkauslomalla Aki-miehensä kan
      Kotimaiset julkkisjuorut
      19
      1673
    8. Ihastumisesta kertominen

      Olen päättänyt kertoa tunteistani ihastukseni kohteelle. Erityisen vaikeaksi tilanteeni tekee se, että kyseessä on ns. kielletty rakkaus. Olen jo toi
      Ihastuminen
      92
      1419
    9. Taas Venäjän tiedoittaja akka Varoitti Suomea ja Ruotsia liittymästä Natoon

      Juuri sopivasti julkaistu varoitus, kun Suomen eduskunta alkaa klo 13:50 käsitellä asiaa suorassa TV 1:n lähetyksessä. ILtasanomat.
      Maailman menoa
      438
      1355
    10. Harvoin julkisuudessa nähty Jari Sillanpää, 56, julkaisi uusia kuvia - Karisti Suomen pölyt jaloista

      Huumekohun jälkeen matalaa profiilia pitänyt Jari "Siltsu" Sillanpää on ollut vaitonainen elämästään. Tänä keväänä miehen some on ollut hiljainen. Nyt
      Kotimaiset julkkisjuorut
      7
      1243
    Aihe