Ympyrämäisen nurmikon halkaisija on D. Sen kehälle isketään tolppa, johon köytetään lammas. Kuinka pitkä tulee narun olla, että lammas yltää syömään puolet nurmikosta?
Itse en osannut, eikä kukaan kavereistanikaan ole vielä ongelmaa ratkaissut.
Itse en osannut, eikä kukaan kavereistanikaan ole vielä ongelmaa ratkaissut.
Vastaukset 16
Vanhimmat
Tämä on vanha tehtävä, joka pulpahtelee silloin tällöin esiin, ja muistelen pähkäilleeni tämän parissa jo ennen tietokoneaikaa.
Itse tehtävä on suht. helppo, mutta vaatii kohtuuttoman työmäärän ilman nykyisiä apuvälineitä.
Ratkaisuni lähtee siitä että koordinaatistoon sijoitetaan nurmikko siten, että kehällä oleva paalu on origossa, ja D = 2, jolloin laskun helpottamisaksi R =1 .
Tällöin dA/dx = sqrt( L^2 - x^2 ) sqrt( 1 - x^2 ) - 1 , ja x = 0 .. sqrt(1 - ( 1 - 1/2*L^2 )^2 ) , ja kun pinta-ala merkitään A = PI / 4 , niin L on ratkaistavissa.
No tuota kaavaa ei nykyään enää viitti ruveta käsin ratkomaan, vaan näpyttelin koneelle pienen ohjelman ja sain ratkaisuksi L = 0.5791 * D
ps. Jos joku on kiinnostunut, niin tuon funktion integraali on :
1/2*arcsin(x) - x x/2* sqrt(1-x^2) x/2*sqrt(L^2-x^2) - i/2*L^2 * ln(i*x sqrt(L^2-x^2) ) , niin saa käsityksen ratkaisun työläydestä.
Ehkä helpompiakin tapoja on olemassa. ja olis kiva nähdä muitakin ratkaisutapoja.
Kiitos!
Lukuisten, vuosien varrella tehtyjen yritysten jälkeen olen tajunnut, että tarkka arvo ei ole yksinkertainen juttu.
Moni kaveri on tullut tyrkyttämään likiarvoa, jonka kyllä itsekin osaan säveltää, mutta tämä tarkka arvo on ollut hakusessa.
Mutta... jos joku todellakin on saanut tämän tiimoilta jotain muuta aikaiseksi, niin pistäkää tulemaan viestiä!
Minä sain tulokseksi aivan perusgeometrialla ja analyyttisen geometrian keinoin n. 0,565*D. Voi olla ja varmaan onkin väärin. Sijoitin ympyrät kuten Olle. Käytin oletusta (tämä on varmaankin väärä), että kun kahden ympyrän rajoittama ala jaetaan kahtia siten, että ympyröiden leikkauspisteet yhdistetään, niin syntyvät osat ovat yhtä suuret. Kertokaa.
Olle, millä ohjelmalla olet kyseisen ratkaisun saanut? Oletko joskus ratkaissut kyseisen ongelman käsin? Mistä sait tuon integraalin? Aika hirveä otus.
Kyllä kärsivällisyys loppui siinä vaiheessa, kun piti ruveta sijoittamalla hakemaan lukuarvoa, ja jo ääriarvon sijoittaminen vaikutti niin epätoivoiselta tehtävältä, että innostus ei koskaan riittänyt loppuun asti.
Numeerinen integrointi onnistuu kivuttomasti silmukkaohjelmalla, kun askellat vain x ,ää tuossa kaavassa, ja muutat L;ää niin että tulos on haluttu PI / 4 . ( Huomioi, että kohtuuttoman pieni askellus vain kasvattaa virhettä.)
Eihän tossa integroitavassa kaavassa ole kuin kaksi ympyrän yhtälöå, ja ykkönen, ja jos se näyttää kauheelta, niin viimeinen termi voidaan kirjoittaa myös helpompaan muotoon
L^2/2*arcsin(x/L)
Onko tämä tehtävä esiintynyt joskus oppikirjoissa? Aika vaikea oppikirjatehtäväksi.
Jos ymmärsin, niin tarkoitit ympyräsegmenttejä, jotka eivät tosiaankaan ole yhtäsuuret, ja oletus antaa liian pienen mitan narulle, joten laskut lienee sattunut muuten kohdalleen.
Isäni sen joskus toi Ruotsin tuliaisina reilu 20 vuotta sitten. Sanoi, että oli paikallisessa tiedelehdessä haastetehtävänä. Sellainen se todella on ollut!
Ja tässä mainion ranskalaisen virvokkeen kera jalostettu muoto :
L^2*arccos(L/2) PI - 2*arccos(L/2) - L*sqrt(1-(L/2)^2) = 1/2*PI
( pitäisi löytyä analyyttisestikin ja antaa tuloksen 0.5793 *D )
Otetaan kaksi ympyrää, joista toisen keskipisteenä on origo ja toisen jokin kehän piste eli esim. kohta (r,r) (tai )ja sitten ei muuta kuin integroimaan päällekkäistä pinta-alaa, jolle merkataan arvoksi 1. ympyrän pa/2.
..toteamaan, että miksi juuri origoon, niin vastauksena: voi sen tietysti sijoittaa minne haluaa, kunhan vain toisen ympyrän kp on ensinmainitun kehällä.
Laskut yksinkertaistuvat integroinnissa hieman, kun ratkaistaan ensin ympyröiden leikkauspisteet ja integroidaan näiden väli ja koteihin pohdittavaksi: on kaksi mahdollista integroimis"suuntaa"
Eikös A2 = 1/2*A1 => pii*(r2)exp2 = 1/2*pii*(r1)exp2
=> r2 = r1/sqrt2
No jo piti taas hosua.
Ohessa linkki yhden vastaavanlaisen ongelman ratkaisuun, jokainen matematiikkaa harrastava osannee soveltaa sen esitettyyn ongelmaan...=)
http://www.nurmonlukio.fi/Matem/joulukuu/ratkaisut.htm#20
ja tässä vielä varmuudeksi linkki itse tehtävänantoon:
http://www.nurmonlukio.fi/Matem/joulukuu/joulukuu.htm
tehtävän numero on 20.
Kokeilkaa sitä näin: Otetetaan siitä ympyrästä n-asteinen keskuskulma ja törkätään se paalu sitä keskuskulmaa vastaavan jänteen keskipisteeseen.
Olen ratkaissut tuon itse.On se aika vaikea, mutta jos pystyt ratkaisemaan tuon normaalin version, niin pystyt tämänkin.