Tarvitsen apua vaikeassa tehtävässä

Niin, siis pitkin tuon suorakaiteen reunaa.

Käytetään funktion f(x) integraalille välillä [a,b] merkintää

Int{f(x)dx: [a,b]}.

Tehtävässä ilmeisesti R pitää kasvaa rajatta. Funktio exp(-z^2) on
suorakaiteessa säännöllinen analyyttinen funktio, joten sen integraali
pitkin kuvion reunaa on = 0.

Kun z = x iy, niin z^2 = x^2 - y^2 2ixy.

Olkoon F(x) = Int{exp(-u^2)du: (-inf, x]}.
Silloin integraali pitkin suorakaiteen alareunaa on F(R) - F(-R),
joka lähenee F(inf), kun R kasvaa. Tunnetusti

F(inf) = sqrt(PI).


Integroidaan sitten pitkin suorakaiteen oikeaa sivua:

Int{exp(-(x^2 - y^2 2ixy))dy: [0,b]}| x = R

= exp(-R^2)*Int{exp(y^2) * (cos(2Ry) - i sin(2Ry))dy: [0,b]}.

Tämä lähenee 0, kun R kasvaa rajatta. Samalla tavalla integraali
pitkin alueen vasenta reunaa lähenee 0.


Integroidaan pitkin alueen yläreunaa oikealta vasemmalle:

Int{exp(-(x^2 - y^2 2ixy))dx: [R,-R]}| y = b

= Int{exp(-(x^2 - b^2 2ibx))dx: [R,-R]}

= exp(b^2) * Int{exp(-x^2) * (cos(2bx) - i sin(2bx))dx: [R, -R]}.

Tässä imaginaariosa on muuttujan x pariton funktio, joten
integraali on 0. Reaaliosa taas on parillinen, joten se voidaan
kirjoittaa muotoon

-2 * exp(b^2) * Int{exp(-x^2) * (cos(2bx)dx: [0, R]}.

Tämä integraali pitkin alareunaa -> 0. Kun R kasvaa rajatta,
saadaan lopuksi

sqrtPI) -2 * exp(b^2) * Int{exp(-x^2) * (cos(2bx)dx: [0, inf]} = 0,

josta edelleen

Int{exp(-x^2) * (cos(2bx)dx: [0, inf]} = exp(-b^2)*sqrt(PI)/2.