Heips, matemaatikot! Joillekin tämä voi olla helppo tehtävä, mutta minä en nyt saa kiinni. Olen miettinyt lähes koko päivän pääsemättä puusta pitkään. Avusta olisin kiitollinen.
Tehtävä kuuluu: osoita integroimalla funktiota f(z) = e^(-z^2) pitkin suorakaiteen |x| < R, 0
Tehtävä kuuluu: osoita integroimalla funktiota f(z) = e^(-z^2) pitkin suorakaiteen |x| < R, 0
Vastaukset 3
Vanhimmat
Niin, siis pitkin tuon suorakaiteen reunaa.
Käytetään funktion f(x) integraalille välillä [a,b] merkintää
Int{f(x)dx: [a,b]}.
Tehtävässä ilmeisesti R pitää kasvaa rajatta. Funktio exp(-z^2) on
suorakaiteessa säännöllinen analyyttinen funktio, joten sen integraali
pitkin kuvion reunaa on = 0.
Kun z = x iy, niin z^2 = x^2 - y^2 2ixy.
Olkoon F(x) = Int{exp(-u^2)du: (-inf, x]}.
Silloin integraali pitkin suorakaiteen alareunaa on F(R) - F(-R),
joka lähenee F(inf), kun R kasvaa. Tunnetusti
F(inf) = sqrt(PI).
Integroidaan sitten pitkin suorakaiteen oikeaa sivua:
Int{exp(-(x^2 - y^2 2ixy))dy: [0,b]}| x = R
= exp(-R^2)*Int{exp(y^2) * (cos(2Ry) - i sin(2Ry))dy: [0,b]}.
Tämä lähenee 0, kun R kasvaa rajatta. Samalla tavalla integraali
pitkin alueen vasenta reunaa lähenee 0.
Integroidaan pitkin alueen yläreunaa oikealta vasemmalle:
Int{exp(-(x^2 - y^2 2ixy))dx: [R,-R]}| y = b
= Int{exp(-(x^2 - b^2 2ibx))dx: [R,-R]}
= exp(b^2) * Int{exp(-x^2) * (cos(2bx) - i sin(2bx))dx: [R, -R]}.
Tässä imaginaariosa on muuttujan x pariton funktio, joten
integraali on 0. Reaaliosa taas on parillinen, joten se voidaan
kirjoittaa muotoon
-2 * exp(b^2) * Int{exp(-x^2) * (cos(2bx)dx: [0, R]}.
Tämä integraali pitkin alareunaa -> 0. Kun R kasvaa rajatta,
saadaan lopuksi
sqrtPI) -2 * exp(b^2) * Int{exp(-x^2) * (cos(2bx)dx: [0, inf]} = 0,
josta edelleen
Int{exp(-x^2) * (cos(2bx)dx: [0, inf]} = exp(-b^2)*sqrt(PI)/2.
cos-tekijän edessä näyttää olevan ylimääräinen sulkumerkki. Sen siitä saa, kun jäljentelee kaavojen osia leikepöydän avulla.