Onko yksikköympyrällä oikeasti lukion matematiikassa mitään käytännön hyötyjä, jossa sitä voisi soveltaa ? Yleensähän selitetään, että sen avulla voi laskea trigonometrisiä yhtälöitä, mutta omasta mielestäni kyseiset laskutoimitukset onnistuvat opettelemalla oppikirjoista ja taulukkokirjasta löytyvät laskusäännöt. Miten on ?
Yksikköympyrä
Opiskelija123
9341
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 9
Vanhimmat
Laskut toki onnistuvat opettelemalla taulukkokirjasta löytyvät kaavat. Jos kuitenkin ymmärtää yksikköympyrän yksinkertaisen idean, voi monet symmetrioihin perustuvat säännöt järkeillä, eikä kaavoja tarvitse opetella ulkoa.
Ja vaikka käyttäsikin apuna taulukkokirjaa (niinkuin käytännössä on toimittava), on vaikea ajatella jonkun ymmärtävän trigonometriaa, ellei yksinkertaisten asioiden päättely yksikköympyrän avulla onnistu.
Tuo on erittäin hyvä kysymys. Matematiikassa opiskeltavat asiat ovat paljon abstraktimpeja kuin muissa oppiaineissa, ja siten niiden opiskeleminen herättää helposti tämänkaltaisia kysymyksiä.
Kuten aiempi vastaaja jo totesikin, niin tärkeintä on ymmärtäminen. Miksi yksikköympyrä? Mikä on kolmio? Mistä sana trigonometria tulee?
Ymmärtämistä voi helpottaa, jos piirrät paperille kolmion ja mietit:
* mitä kaikkea tiedät siitä
* mitä et mahdollisesti tiedä
* miten teet määritelmät
Trigonometrian tavoitteena on löytää/määritellä mahdollisemman paljon ristiriidatonta tietoa kolmioista. Näistä esimerkkinä vaikka sini- ja kosini-funktiot. Matematiikan luonteenomaisesti hyvien määritelmien jälkeen voimme johtaa niistä taianomaisia teoreemoja (kuten sinin summakaava jne.).
Modernissa matikassa trigonometrisia funktioita ei määritellä yksikköympyrän avulla vaan usein sarjakehitelmillä tai differentiaaliyhtälön ratkaisuina. Siten yksikköympyrätulkinta on vain yksi ominaisuus, jonka funktiot toteuttavat. Lähinnä sen avulla muistaa, mitä symmetrisiä identiteettejä funktioilla on, ja miten saa tiettyjen kulmien trigonometristen funktioiden tarkat arvot.
Itse opettelin lukiossa trigonometrisistä funktioista kompleksimääritelmät, Eulerin ja de Moivren kaavan, summakaavat ja yksikköympyrän symmetriat. Näiden avulla sain johdettua tarvittavat muut kaavat siten, että pystyin ratkaisemaan kaikki tarkat arvot sisältävät trigonometriset YO-tehtävät ilman taulukoita tai laskinta. Tosin eipä niitä muitakaan tehtäviä tyyliin "Laske tan 16,7 astetta." tullut kovin paljoa vastaan.
Olen hieman eri mieltä yksikköympyrän tarpeellisuudesta.
Tosin mykymenetelmillä sitä ei tarvitse laskuissa, mutta havainnollistamisen kannalta hyöty on kiistämätön, esimerkiksi laskutoimitus tan(3x) tan(x).n funktiona on yksinkertaisesti laskettavissa ja havainnoitavissa, sarja-tai Euler-menetelmät vaatii jo käsittelytaitoa, jonka omaava todennäköisesti tuntee jo yksikköympyränkin aika tarkoin.
Tuosta tulikin mieleen, että miten ennen differentiaalilaskennan työkaluja laskettiin eri trigonometristen funktioiden arvoja. Mahtoikohan menetelmät olla kokeelliset..
Äkkiseltään pähkäiltyäni en kyllä keksi, miten sinin arvoja voisi laskea tietokoneella ilman integroimista (oletuksena myös että piin arvoa ei tunneta).
Ainakin yksi tapa on käyttää kaavaa cos (x/2)=sqrt((1 cos x)/2) toistuvasti. Tietty etumerkki on osattava valita oikein. Tällöin kosinin laskenta onnistuu, jos kosinia osataan approksimoida riittävän hyvin nollan lähiympäristössä. Tunnetusti muut trigonometriset funktiot voidaan ilmaista kosinin avulla.
Tästä olisi kiva saada vielä jonkinlainen esimerkkikoodi. Omilla ohjelmointitaidoilla kun saa koneen vaan jumiin.
Käyttämälläni koneella ei ole kääntäjiä, mutta osoitteessa http://www.cs.bgu.ac.il/~berend/teaching/Past-Courses/Intro2CS-Fall01/examples/Example7SinCos.java näyttäisi olevan koodia.
Jes. Tuo linkin menetelmä on vielä parempi lähestymistapa, kun siinä käytetään rekursiivisesti siniä ja kosinia molempia. Yksöisversiossa, kuten kosinin tapauksessa, aproksimaatio cos(1E-6) = 1 ei toimi.