Miten ratkaistaan nämä kaksi tehtävää?
1. Määritä vakiot s ja t niin, että polynomi P(u) = (s^2 1)u^3 - 2su s t on jaollinen binomilla u^2 -1
2. Osoita että n^3 3n^2 2n on jaollinen luvulla kolme, kun n on kokonaisluku
Polynomeja
4
77
Vastaukset
- iisibiisi
2. n^3 3n^2 2n=n(n^2 3n 2)=n(n^2 2) mod 3. Jos n=0 mod 3, on ensimmäinen tulon tekijä n jaollinen kolmella. Toisaalta ( -1)^2 2=3, joten jos n= -1 mod 3, on n^2 2=0 mod 3. Tai sitten Fermat'n pienen lauseen mukaan n^3=n mod 3. Siis n^3 3n^2 2n=n 3n^2 2n=3(n^2 n).
- 4+19
Ekassa on kolmannen asteen polynomi jaettava tasan toisen asteen polynomilla, ja silloin syntyy ensimmäisen asteen polynomi au b
Nyt suoritetaan kertolasku (u^2-1)(au b) ja verrataan saatua tulosta tuohon alkuperäiseen kolmannen asteen polynomiin.
Todetaan tulevista yhtälöpareista, että ensinnäkin b=0 , joten s t on oltava myös 0, ja eliminoimalla a tulee s^2-2s 1=0, eli s=1 ja t=-1
Tokassa jakamalla n^3 3n^2 2n tekijöihinsä tulee: n(n 1)(n 2), eli kolme peräkkäistä kokonaislukua, ja varmasti joku kolmesta peräkkäisestä kokonaisluvusta on jaollinen kolmella Nuo tehtävät ratkeavat vaikkapa näin:
Tehtävä 1)
Polynomin u^2-1=(u-1)(u 1) nollakohtien -1 ja 1 tulee olla myös polynomin P(u) nollakohtia.
P(-1) = 0
-s^2-1 2s s t = 0
s t-(s-1)^2 = 0
P(1) = 0
s^2 1-2s s t = 0
(s-1)^2 s t = 0
Laskemalla yhtälöt puolittain yhteen ja vähentämällä ensimmäinen toisesta saadaan
(s-1)^2 = s t = 0, joista edelleen s=1 ja t=-1
Siis P(u) = (s^2 1)u^3 - 2su s t = 2u^3 -2u = 2u(u^2-1).
Tehtävä 2)
n^3 3n^2 2n == n^3-n = n(n^2-1) = n(n-1)(n 1) == 0 (mod 3)- Tehtävä 2
Osoita että n³ 3n² 2n on jaollinen luvulla kolme, kun n on kokonaisluku.
Tässä olisi vielä yksi ratkaisutapa:
1.) n = 3q, missä q∈Z
n³ 3n² 2n
= (3q)³ 3 * (3q)² 2 * 3q
= 27q³ 27q² 6q
= 3 * ( 9q³ 9q² 2q )
2.) n = 3q 1, missä q∈Z
n³ 3n² 2n
= ( 3q 1 )³ 3 * ( 3q 1 )² 2 * ( 3q 1 )
= 27q³ 27q² 9q 1 3 * ( 3q 1 )² 6q 2
= 27q³ 27q² 9q 3 3 * ( 3q 1 )² 6q
= 3 * ( 9q³ 9q² 3q 1 ( 3q 1 )² 2q )
3.) n = 3q 2, missä q∈Z
n³ 3n² 2n
= ( 3q 2 )³ 3 * ( 3q 2 )² 2 * ( 3q 2 )
= 27q³ 54q² 36q 8 3 * ( 3q 2 )² 6q 4
= 27q³ 54q² 36q 12 3 * ( 3q 2 )² 6q
= 3 * ( 9q³ 18q² 12q 4 ( 3q 2 )² 2q )
Tällainen lähestymistapa on kuitenkin melko työläs.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Persuilla ja Saksi-Riikalla meni sitten pornon levittämiseksi koko touhu.
Onko kenellekään yllätys?1852048Hei A, osaatko
sanoa, miksi olet ihan yhtäkkiä ilmestynyt kaveriehdotuksiini Facebookissa? Mitähän kaikkea Facebook tietää mitä minä en531952Synnittömänä syntyminen
Helluntailaisperäisillä lahkoilla on Raamatunvastainen harhausko että ihminen syntyy synnittömänä.1351588Euroviisut fiasko, Suomen kautta aikain typerin esitys, jumbosija odottaa. Olisi pitänyt boikotoida!
Tämän vuoden euroviisut on monella tapaa täydellinen fiasko. Ensinnäkin kaikkien itseään kunnioittavien eurooppalaisten1481558Mitä tämä tarkoittaa,
että näkyy vain viimevuotisia? Kirjoitin muutama tunti sitten viestin, onko se häipynyt avaruuteen?411324Nukkumisiin sitten
Käsittelen asiaa tavallani ja toiveissa on vielä että tästä pääsee hyppäämään ylitse. Kaikenlaisia tunteita on läpikäyny41217Muistatko komeroinnin?
Taannoin joskus kirjoitin aloituksen tänne komeroinnista eli hikikomoreista; syrjäytyneistä nuorista ihmisistä. Ehkä asu481185Naisten tyypilliset...
Naiset ei varmaan ymmärrä itse miten karmealle heidän tavara haisee. Miehet säälistä nuolevat joskus, yleensä humalassa111184Tuollainen kommentti sitten purjehduspalstalla
"Naisen pillu se vasta Bermudan kolmio on. Sinne kun lähdet soutelemaan niin kohta katoaa sekä elämänilo että rahat"31138Syö kohtuudella niin et liho.
Syömällä aina kohtuudella voi jopa laihtua.On paljon laihoja jotka ei harrasta yhtään liikuntaa. Laihuuden salaisuus on111137