HEI
Nyt on aika vetää naru kaulaan. Saatiin tällainen tehtävä.
Laske differenttiaalielementtiä ja integraalia hyväksikäyttäen.
A) Ympyrän pinta-ala
B) Kartion tilavuus
C) Pallon tilavuus
D) Pallon pinta-ala
ps. Miksei tehtävässä ole yhtään luku-arvoa, voiko tehtävän ratkaista pelkillä kaavoilla.
KIITOS
Nyt on aika vetää naru kaulaan. Saatiin tällainen tehtävä.
Laske differenttiaalielementtiä ja integraalia hyväksikäyttäen.
A) Ympyrän pinta-ala
B) Kartion tilavuus
C) Pallon tilavuus
D) Pallon pinta-ala
ps. Miksei tehtävässä ole yhtään luku-arvoa, voiko tehtävän ratkaista pelkillä kaavoilla.
KIITOS
Vastaukset 5
Vanhimmat
esim a-kohdassa mieti ympyrän puolikasta jonka säde on r ja jonka keskipiste on origossa. sen yhtälö on
x^2 y^2=r^2 y=sqrt(r^2-x^2)
integroit sen -r:stä r:ään. tuloksen pitäisi olla 1/2*Pi*r^2 => koko ympyrän pinta-ala = Pi*r^2
b-kohdassa: kartio on jonkun suoran y=kx b pyörähdyskappale. MAOLista näkee miten pyörähdyskappaleen tilavuus lasketaan.
c-kohta: sama yhtälö kuin a:ssa mutta lasketaan pyörähdyskappaleen tilavuus.
d-kohta: taas sama yhtälö kuin a-kohdassa. pyörähdyskappaleen vaipan alan yhtälö on MAOLissa (sivu 46).
Helpointa käyttää pinta- ja tilavuusintegraaleja, mutta olettaen, että olet lukiossa kannattaa tehdä niinkuin edellä on neuvottu. D-kohta on hieman haasteellisempi, näin äkkiseltään ajatellen, koska siinä pitää huomioida kaarenpituus elementti ds.
Pieni ajatuskatkos tapahtui äsken. Siis ds:stä ei tarvitse välittää, kun huomioi f'(x)=dy/dx, sillä tässähän on huomioitu jo ds. MAOL-kaava s46 kaava 35 ja siitä se D-kohta lähtee aika lyhyt lasku, kun otat f(x)=y ja ratkaiset y:n ympyrän yhtälöstä.
Tehtävänä on kai osoittaa, kuinka maolin kaavat on muodostettu, joten valmiiden kaavojen käyttö ei vastaa tehtävän asettelua.
Helpoimmin integrointi onnistuu, kun ratkaiset ensimmäisen ja viimeisen napakoordinaatistossa, ja kahteen muuhun riittää näistä saadut kaavat apuvälineiksi.
Lapset, lapset, ei tällaisten tehtävien ratkaisuun todellakaan mitään MAOLeja tarvita. Yksinkertainen periaatekuva piirtämällä ja sen differentiaaligeometriaa käyttämällä tehtävät ratkeavat helposti:
Kun tuon a-kohdan ongelmaa tarkastellaan napakoordinaatistossa, niin differentiaalialkio dA = r dfi dr, missä r on säde, dfi differentiaalinen kulma ja dr r:n suuntainen differentiaalinen mitta. Nyt kun dA integroidaan r:n suhteen nollasta R:ään ja fi:n suhteen nollasta kahteen piihin, niin saadaan luonnollisesti A = pi R^2.
Vastaavasti b-kohdassa tilannetta tarkastellaan sylinterikoordinaatistossa ja siten, että H:n korkuisen ja pohjan säteeltään R:n suuruisen kartion kärki on origossa. Tällöin saadaan tilavuusalkiokiekoksi dV = pi r^2 dh, missä dh on z-akselin suuntainen differentiaalinen mitta. Toisaalta r kasvaa nollasta R:ään, kun h kasvaa nollasta H:hon eli r = R h/H. Kun tämä sijoitetaan dV:hen, niin dV = pi R^2 h^2 dh/H^2. Tämä on helppo integroida nollasta H:hon ja saada tietysti V = pi R^2 H/3.
C-kohta on vähän mutkikkaampi, mutta jälleen sopiva koordinaatiston valinta tekee asioista helpompia. Tarkastellaan nyt tilannetta pallokoordinaatistossa, jossa koordinaatit ovat r, fi ja theta. Nyt differentiaaligeometrisesta kuvasta nähdään helposti, että kuutio dV = r sin(theta) dfi r dtheta dr. Kun nyt dV integroidaan fi nollasta kahteen piihin, theta nollasta piihin ja r nollasta R:ään, niin saadaan V = 4 pi R^3/3.
D-kohdassa kannattaa taas käyttää pallokoordinaatistoa, jossa differentiaalisen renkaan ala dA = 2 pi (R sin(theta)) R dtheta, joka integroidaan taas thetan suhteen nollasta kahteen piihin. Näin A = 4 pi R^2.
Kannattaa aina piirtää tilanteesta kuva, johon sitten merkitsee eri differentiaaliset suureet, niin tehtävä helpottuu merkittävästi. Jos ei vielä tätä osaa, niin on syytä kiireesti opetella.